- 1 -
Đại học thái nguyên
Trờng đại học s phạm
Trần thiện toản
MộT Số TíNH CHấT định tính của hệ phơng
trình SAI phân ẩN TUYếN TíNH
Luận văn thạc sĩ toán học
Thỏi Nguyờn 2008
www.VNMATH.com
- 2 -
Đại học thái nguyên
Trờng đại học s phạm
trần thiện toản
MộT Số TíNH CHấT định tính của hệ phơng
trình SAI phân ẩN TUYếN TíNH
Chuyên nghành: Giải tích
Mã số: 60.46.01
Luận văn thạc sĩ toán học
Ngời hớng dẫn khoa học : pGS-TS Tạ Duy Phợng
Thỏi Nguyờn 2008
Thái Nguyên 2008
www.VNMATH.com
- 3 -
Mục lục
Trang
Lời nói đầu 1-2
Chơng 1. CễNG THC NGHIM CA H PHNG TRèNH SAI
PHN N TUYN TNH 3
1.1 H phng trỡnh sai phõn n cha tham s iu khin 3
được mô tả bởi phương trình sai phân ẩn có điều khiển. Mặc dù các nghiên
cứu định tính (tính điều khiển được và quan sát được, ổn định và ổn định
hóa,…) các hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân và sai phân
thường đã được nghiên cứu khá đầy đủ, nhất là cho các hệ phương trình tuyến
tính trong không gian hữu hạn chiều, nhiều bài toán định tính (tính điều khiển
được cho hệ có hạn chế trên biến điều khiển, bài toán ổn định hóa,…) cho hệ
phương trình vi phân và sai phân ẩn còn chưa được nghiên cứu đầy đủ.
Mục đích của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu định tính của
hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính có tham số điều khiển.
Luận văn gồm ba Chương.
Chương 1 trình bày các khái niệm và công thức nghiệm của hệ phương
trình sai phân ẩn tuyến tính theo các tài liệu [6], [3] và [2].
Chương 2 trình bày một số nghiên cứu định tính (tính điều khiển được
và quan sát được, ổn định và ổn định hóa, quan sát trạng thái,…) của hệ
phương trình sai phân ẩn tuyến tính theo tài liệu [6].
Chương 3 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình sai phân
ẩn tuyến tính có hạn chế trên biến điều khiển theo tài liệu [7].
Mặc dù luận văn được trình bày chủ yếu theo các cuốn sách [6] và [7],
nhưng chúng tôi đã cố gắng tổng hợp và sắp xếp theo thứ tự phù hợp với nội
dung luận văn. Để hiểu và trình bày vấn đề một cách rõ ràng, chúng tôi đã cố
gắng chứng minh chi tiết các định lý. Đặc biệt, nhằm làm sáng tỏ các khái
www.VNMATH.com
- 5 -
niệm và các kết quả, các thí dụ được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết.
Các tính toán này thường không được trình bày chi tiết trong các tài liệu trích
dẫn.
Tác giả chân thành cám ơn PGS-TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học,
người Thầy đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin được cám ơn
Trường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả đã hoàn thành
chương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thày,cô. Xin chân
trạng thái pha;
( )
m
u k
được gọi là biến điều khiển;
( )
p
y k
được gọi là
tham số đo đầu ra hay đầu ra.
Một trong những trường hợp của hệ (1.1) được quan tâm nhiều là hệ
( ) ( 1) ( ( ), ( ));
( ) ( ( ), ( )), 0,1,2,
E k x k H x k u k
y k J x k u k k
(1.2)
trong đó H, J là những vectơ hàm của các biến x(k) , u(k) có số chiều tương
ứng là
n
và
p
. Ma trận E(k) có thể suy biến (định thức có thể bằng 0).
Nếu H, J là các vectơ hàm tuyến tính của x(k) và u(k) thì (1.2) trở thành
( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ), 0,1,2,
1 -1
( 1) ( ) ( )
( ) ( ), 0,1,2,
x k E Ax k E Bu k
y k Cx k k
(1.5)
Hệ (1.5) là hệ phương trình sai phân thường, nó đã được nghiên cứu khá kĩ
trong các tài liệu, thí dụ, [7], [8]. Trong luận văn này, khi nghiên cứu hệ
phương trình (1.3), chúng ta thường coi
( )E k
là ma trận suy biến, tức là
( )rankE k n
với mọi
0,1,2, k
Tuy nhiên, nhiều kết quả phát biểu cho
hệ (1.3) vẫn đúng cho hệ phương trình sai phân thường (1.5) như là trường
hợp đặc biệt.
1.2 CÔNG THỨC NGHIỆM CAUCHY CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI
PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH KHÔNG DỪNG
Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng
0
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( );
(0) , 0,1,2,
E k x k A k x k f k
( , 1) ( ) ( , ) ( ), 0,1, , 1F k i E i F k i A i i k
(1.7)
với điều kiện ban đầu
www.VNMATH.com
- 8 -
( , 1) , ( , ) 0,
n
F k k I F k i i k
. (1.8)
Khi ấy nghiệm của hệ (1.6) có thể được tính theo công thức sau:
1
0
0
( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( ), 1,2,
k
i
E k x k F k E x F k i f i k
(1.9)
Ở đây
n
I
được kí hiệu là ma trận đơn vị cấp n.
Chứng minh
Viết lại (1.7) theo i, sau đó cho i thay đổi từ 0 đến k-1, thời điểm k cố định,
ta có:
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2, , 1E i x i A i x i f i i k
F k i E i x i
1
0
( , 1) ( ) ( ) ( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0)
k
i
F k i E i x i F k k E k x k F k E x
nên (1.12) có thể viết dưới dạng
( , 1) ( ) ( ) ( , 1) (0) (0)F k k E k x k F k E x
1 1
0 0
( , 1) ( ) ( ) [ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )]
k k
i i
F k i E i x i F k i A i x i F k i f i
.
Do giả thiết
( , 1)
k
i
E k x k F k E x F k i A i F k i E i x i
1
0
( , ) ( )
k
i
F k i f i
.
Do
( , 1) ( ) ( , ) ( ), 0,1, , 1F k i E i F k i A i i k
.
nên từ phương trình trên kết hợp với điều kiện ban đầu
0
(0)x x
ta có:
1
0
0
( ) ( ) ( , 1) (0) ( , ) ( )
k
là cặp ma trận chính quy. Dựa vào Bổ đề 1.3.2 dưới đây, ta có thể
chứng minh công thức nghiệm cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính
dừng có tham số điều khiển.
1.3 KHÁI NIỆM CẶP MA TRẬN CHÍNH QUY
1.3.1 Định nghĩa
Cặp ma trận
,
n n
E A
được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức
sao cho định thức
0E A
hay đa thức
0sE A
.
www.VNMATH.com
- 10 -
1.3.2 Bổ đề
Cặp ma trận
,E A
là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không
suy biến
P
và
Q
1
1
1
n n
A
,
1
n
I
và
2
n
I
là hai ma trận đơn vị tương
ứng cấp
1
n
và
2
n
;
2 2
n n
N
là ma trận lũy linh (tức là tồn tại một số tự
nhiên
). Vì
1
( )As
chỉ có hữu hạn số nên có vô số các số
1
( )Aa s
. Khi đó ta có
1 1
1 1 1 1
1
0.
E A Q Q E A PP
Q QEP QAP P Q I A P
a a
a a
Suy ra
0E Aa
. Vậy theo Định nghĩa 1.3.1, cặp ma trận
( , )E A
là chính
quy.
Điều kiện đủ Giả sử
( , )E A
là cặp ma trận chính quy. Theo định nghĩa, tồn
tại số
Mặt khác, từ phân tích dạng chính tắc Jordan trong lý thuyết về ma trận (xem
[10]), tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho
www.VNMATH.com
- 11 -
1
1 2
ˆ ˆ ˆ
( , )TET diag E E
,
trong đó
1 1
1
ˆ
n n
E
là ma trận không suy biến và
2 2
2
ˆ
n n
E
1
P T
.
Khi đó
1 1 1 1
1 2
ˆ ˆ
,( ) ( )QEP diag E I E T E A ETa a
=
1 1 1
1 2
ˆ ˆ ˆ
,( )diag E I E TETa
=
1 1
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
,( ) ( , )diag E I E diag E Ea
=
1
1
0
,
0
n
n
I
diag I N
ˆ ˆ
,( ) ( )QAP diag E I E T E A ATa a
=
1 1 1
1 2 1 2 1 2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ,( )) ( ,( )) (( ),( ))diag E I E TAT diag E I E diag I E I Ea a a a
2
1
1
1 1
1 1
1
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
0 ( ) 0
( ) 0
ˆ ˆ
0
0 ( ) 0 ( )
n
E I E
E I E
I
2
1
( , )
n
diag A I
,
trong đó
1
1 1 2
ˆ ˆ
: ( )A E I Ea
.
Vậy bổ đề 1.3.2 được chứng minh.
1.3.3 Thí dụ
Xét cặp ma trận
( , )E A
dưới đây
www.VNMATH.com
- 12 -
0 1 1 1 0 1
1 1 0 , 0 2 0
1 0 1 1 0 1
E A
Do đó,
,E A
là cặp ma trận chính quy.
Phương pháp trực tiếp kiểm tra tính chính quy của cặp ma trận sẽ gặp khó
khăn khi E, A là các ma trận cấp cao. Từ quan điểm tính toán, Luenbeger đã
đưa ra một tiêu chuẩn khác kiểm tra tính chính qui của cặp ma trận
,E A
,
được gọi là thuật toán trộn.
Cho
E A
là ma trận cấp n
. Khi đó, ta trộn dòng
khối thứ hai trong (1.15) để đưa nó về dạng
1 1
2
0
E A
A
. (1.16)
Nếu
1
1 2
2
/
E
E A
A
là không suy biến thì
,E A
là cặp ma trận chính quy và
dừng thuật toán. Còn không, ta lặp lại thuật toán. Thuật toán sẽ kết thúc theo
www.VNMATH.com
. (1.17)
Ma trận E là suy biến. Biến đổi dòng trong (1.17) như sau:
Cộng dòng thứ hai với dòng thứ 3, sau đó nhân dòng thứ nhất với (-1) và cộng
với dòng thức ba ta được:
0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1
1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0
1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 2 2 0
E A
. (1.18)
Trộn (1.18) bằng cách đổi chỗ ma trận
0 0 0
và
2
( 1) ( ) ( )Ex k Ax k Bu k
,
( ) ( ) ( )y k C k x k
,
0,1,2, k
(1.19)
Bổ đề 1.3.2 chỉ ra rằng, với giả thiết chính quy của cặp ma trận
,E A
, hệ
(1.19) có thể đưa về dạng sau:
1 1 1 1
2 2 2
( 1) ( ) ( ) ( ); (1.20 )
( 1) ( ) ( ) ( ), 0,1,2, (1.20 )
x k A x k B k u k a
Nx k x k B k u k k b
Thật vậy, do
( , )E A
là cặp ma trận chính quy nên theo Bổ đề 1.3.2 tồn tại hai
ma trận không suy biến
.
Đưa vào biến mới
1
( ) ( )z k P x k
hay
1
2
( )
( ) ( )
( )
z k
x k Pz k P
z k
z k z k
EP AP B k u k
z k z k
. (1.21)
Nhân hai vế của (1.21) với
Q
ta được:
1 1
2 2
( 1) ( )
( ) ( )
( 1) ( )
z k z k
QEP QAP QB k u k
z k z k
z k z k B k
N
Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn có tham số điều khiển (1.22).
1.4.1 Mệnh đề
Với mỗi điều kiện ban đầu
1
1
(0)
n
z
và dãy điều khiển
( ), 0,1,2, u i i
,
nghiệm của (1.22a) có dạng
1
1
1 1 1 1 1
0
( ) (0) ( ) ( )
k
k k i
i
z k A z A B i u i
. (1.23a)
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh công thức (1.23a) bằng phương pháp quy nạp.
Với
.
Ta sẽ chứng minh công thức (1.23a) đúng với
1k s
.
Thật vậy, từ (1.20a) và qui nạp ta có:
1 1 1 1
( 1) ( ) ( ) ( )z s A z s B s u s
=
=
1
1
1 1 1 1 1 1
0
( (0) ( ) ( )) ( ) ( )
s
s s i
i
A A z A B i u i B s u s
=
1
1
phân thường tuyến tính đã biết trong các tài liệu (xem, thí dụ, [7], [8]).
1.4.2 Mệnh đề
Giả sử L>0 là một số cố định cho trước. Khi đó với điều kiện cuối
2
( )z L
và
dãy điều khiển
( )u k
,
0,1,2, ,k L
cho trước, nghiệm của phương trình
2 2 2
( 1) ( ) ( ) ( )Nz k z k B k u k
,
0,1,2, ,k L
(1.20b)
được tính theo công thức sau:
1
2 2 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
L k
L k i
i
z k N z L N B k i u k i
L k L k
L k L k
L k L k L k
L k
N z L N z L N B L u L
N Nz L N B L u L
N z L B L u L N B L u L
N Nz L N B L u L N B L u L
N z L B L u L
2 1
1 1
0
2 2 2 2
0 0
3)
( 2) ( 2) ( 1) ( 1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L k L k
L k L k
Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng (1.20) (hay (1.22)) với
0,1,2, ,k L
thường được gọi là chuỗi thời gian hữu hạn (the finite time
series). Nghiệm của chuỗi thời gian hữu hạn có thể tính được tường minh theo
công thức các công thức (1.23a) và (1.23b).
Trong trường hợp (1.22) là hệ phương trình hệ sai phân ẩn tuyến tính dừng
(
( )B k B
) thì các công thức nghiệm của nó được xác định như sau:
1
1
1 1 1 1 1
0
( ) (0) ( )
k
k k i
i
z k A z A B u i
,
0,1,2, ,k L
; (1.24a)
1
2 2 2
0
( ) ( ) ( )
1
2
1 2
2
( )
( ) ; ( ), ( )
( )
x k
x k x k x k
x k
. Khi ấy hệ (1.25) có thể viết lại như sau:
1 1
2 2
1 1 0
( 1) ( ) ( );
0 1 1
0 1 1
( 1) ( ) ( ), 0,1,2, .
0 0 1
Ta có:
1
1 1
0 1
A
,
2
1
1 1 1 1 1 2
0 1 0 1 0 1
A
,…,
1
1 1
1 1 0 1
0 1 1 1
k i
k i k i
A B
;
0 1
0 0
N
,
2
0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
N
.
Trạng thái
2
( )x k
được tính theo công thức:
0 1 1
( ) ( ), 1;
2
1
0 0 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
0
1
( 1) ( ), 0 2.
1
1
0
x L u k k L
Ta thấy
2
( )x k
là không phụ thuộc vào trạng thái cuối
2
( )x L
khi
2k L
.
Phương trình (1.22a) là một công thức truy hồi tiến và nghiệm của nó được
tính theo công thức (1.23a), trong đó trạng thái
1
( )z k
tại thời điểm
( )z k
hoàn toàn được xác định bởi
2
( )z L
và các điều khiển
( ), , 1, ,u i i k k L
theo công thức (1.23b).
Khi
0N
, từ (1.23b), ta có
2 2
( ) ( ) ( )z k B k u k
, tức là
2
( )z k
hoàn toàn xác
định bởi duy nhất một điều khiển
( )u k
, và ta cũng có mối quan hệ nhân quả.
Công thức (1.23a) và (1.23b) cũng chỉ ra rằng, điều kiện ban đầu
1
(0)z
và
điều kiện cuối
2
( )z L
tạo thành một điều kiện trọn vẹn (the complete
condition), với điều kiện ấy trạng thái
( )x k
và đầu ra
( ) ( ) ( )y k C k x k
,
0,1, ,k L
. (1.24)
Công thức (1.24) cho ta nghiệm tổng quát của chuỗi thời gian hữu hạn. Ta
thấy, trạng thái
( )x k
tại mỗi thời điểm
k
của chuỗi thời gian hữu hạn được
xác định không chỉ bởi điều kiện ban đầu
1
(0)z
và các điều khiển
( ), 0,1, , 1u i i k
trước đó (như trong hệ phương trình sai phân thường),
mà còn bởi trạng thái cuối
2
( )z L
và các điều khiển tương lai
( ), 1, ,u i i k L
(từ thời điểm
1k
cho tới tận thời điểm
L
. Điều này thể
;
,A B
là các ma trận có số chiều tương ứng là
n n
và
n r
. Trong phương trình trên ma trận E nói chung suy biến (định thức có thể
bằng 0), vì vậy phương trình (2.1) nói chung không giải được một cách hiển
đối với
( )x k
.
Trong 1.4 của Chương 1 ta đã chứng minh công thức nghiệm của chuỗi thời
gian hữu hạn (2.1). Dưới đây chúng ta sẽ trình bày các khái niệm và các tiêu
chuẩn điều khiển được của hệ (2.1).
2.1.1 Điều khiển được hoàn toàn
2.1.1.1 Định nghĩa
Chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) được gọi là điều khiển được hoàn toàn nếu với
mọi điều kiện trọn vẹn
1 2
(0)/ ( )x x L
và mọi trạng thái
n
w
tồn tại một
thời điểm
1
k
,
1
n
nhờ các điều khiển tương ứng.
Nếu
,E A
là cặp ma trận chính qui thì (xem 1.4) tồn tại các ma trận không
suy biến
P
và
Q
sao cho (2.1) có thể được đưa về dạng
1 1 1 1
2 2 2
( 1) ( ) ( ); (2.2a)
( 1) ( ) ( ), 0,1,2, , . (2.2b)
x k A x k B u k
Nx k x k B u k k L
Với điều kiện trọn vẹn
1 2
,
0,1,2, ,k L
. (2.3b)
Hai công thức trên có thể viết gọn thành
1
2
1 1
1
1 1 1 1 2 2
0 0
0
( ) (0) ( ) ( ) ( )
0
k L k
n
k k i L k i
n
i i
I
x k P A z A Bu i P N z L N B u k i
I
. (2.5b)
Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn
toàn. Khi ấy với
1 2
(0) 0, ( ) 0x x L
và với bất kỳ
n
w
tồn tại một thời
www.VNMATH.com
- 22 -
điểm
1
k
và u(i), i=0,1, ,L sao cho
1
( )x k w
. Mặt khác, từ công thức (2.4)
ta có (với
1 2
(0) 0, ( ) 0x x L
):
1 1
2 2
1
1
1
(2.6)
Kí hiệu
1 1
2 2
1
1
1
1
, , , , ,
1 1 1 1
:
1
, , , , ,
2 2 2
n m n m
n m n m
k
A B A B B O O
M
L k
O O B NB N B
Khi ấy với mỗi
n
w
bất kì phương trình
Mu w
luôn có nghiệm (tồn tại
u
) hay
M
là ánh xạ tràn. Từ đây suy ra (2.5a) và (2.5b).
Điều kiện đủ Với bất kỳ điều kiện trọn vẹn
1 2
(0)/ ( )
n
x x L
, từ các công
thức (2.3a) và (2.3b), trạng thái x(k) được xác định như sau:
1 1
2 2
1
1 2
1 1
2
1
(0)
, , , , ,
1 1 1 1
( ) ( )/ ( )
(2.7)
Giả sử (2.5a) và (2.5b) được thỏa mãn. Khi ấy ma trận
1 1
1 1
1 1 1 1 1 2 2 2
, , , , , , ,
n L n
M diag A B AB B B NB N B
với
L n
là ma trận có hạng dòng đầy đủ (ma trận có n dòng độc lập tuyến
tính), tức là ma trận vuông
T
MM
là ma trận khả nghịch. Do đó với
n
w
thì ta có
1
1
, , , , ,
(0)
1 1 1 1 1
1 1
( ) ( )/ ( )
1 1 1 2 1
1
( )
1
, , , , ,
2 2 2
2 2
1 1
(0) (0)
1
1 1 1 1
(0)
1 1
1
( )
1
( )
1 1
2
( ) (
2 2
n n
n
A x A x
A x
T T
MM MM w w
L n
L n L n
N x L
N x L N x
)
1
(0)
1 1
.
1
( )
2
L
n
A x
w
L n
N x L
( )x n w
, tức là từ bất kì vị trí trọn vẹn
1 2
(0)/ ( )x x L
nào ta đều có thể
đi tới vị trí bất kì
n
w
sau
1
n
bước bởi các điều khiển được chọn như trên.
Điều kiện đủ chứng minh xong.
Chứng tỏ (2.5a) và (2.5b) là điều kiện cần và đủ để chuỗi thời gian hữu hạn
(2.1) là điều khiển được hoàn toàn.
Nhận xét Theo chứng minh trên, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển
được hoàn toàn khi và chỉ khi hai hệ tiến (2.2a) và hệ lùi (2.2b) tương ứng là
điều khiển được hoàn toàn. Hơn nữa, bởi vì
1
( )x k
được tính một cách độc lập
chỉ theo các điều khiển
(0), (1), , ( 1)u u u k
và
2
( )x k
được tính chỉ theo các
điều khiển
( ), ( 1), , ( 1)u k u k u L
w x k L v u u u L
R x L
x k w
(2.8)
Rõ ràng ta thấy tập đạt được ban đầu
2
( )Rx L
phụ thuộc vào
2
( )x L
. Với
2
( )x L
khác nhau,
2
( )Rx L
có thể khác nhau.
2.1.2.1 Thí dụ
Xét chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc
1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1
( 1) ( ) ( ), 0,1,2,
0 0 0 1 0 0 1 0 1
,
1 2
2n n
. Khi ấy hệ (2.9) có thể viết
lại như sau:
1 1
2 2
1 1 0
( 1) ( ) ( );
0 1 1
0 1 1
( 1) ( ) ( ), 0,1,2, .
0 0 1
x k x k u k
x k x k u k k L
A
;
1
0
1
B
;
1 1
1 1 0 1
0 1 1 1
A B
;
1 1 1 1
0 1
, 2
1 1
rank B A B rank n
;
2 2 2
1 1
, 2
1 0
rank B NB rank n
.
Chứng tỏ chuỗi thời gian hữu hạn (2.9) là điều khiển được hoàn toàn theo
Định lí 2.1.1.2, do đó ta có
2
( )
n
Rx L
với bất kỳ điều kiện cuối
2
( )x L
(không phụ thuộc vào điều kiện cuối
( ) , ( )x k x k
, tức là
1 1
( 1) 2 ( ) ( )x k x k u k
và
2 2
0 1 1 0
( 1) ( )
0 0 0 1
x k x k
.
Với điều kiện đầy đủ
1 2
(0)/ ( )x x L
, trạng thái của (2.10) được biểu diễn theo
công thức:
1
1
1
0
2
2
( ) 2 (0) 2 ( );
0 1
( ) khi 1;
cho trước, tập đạt được ban đầu là
2 2 2
0 1
( ) ( ) ( )
0 0
Rx L x L x L
.
Rõ ràng
2
( )Rx L
phụ thuộc vào
2
( )x L
.
www.VNMATH.com
Copyright: Tài liệu đại học ©