ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mai Nam Phong

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62.46.01.01

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội.

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS. Vũ Văn Khương
Đại học GTVT
2. PGS.TS. Đặng Đình Châu
ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội

Phản biện :

Phản biện :

Phản biện :

tính giới nội, khoảng bất biến của nghiệm,...
Trong các nghiên cứu về phương trình sai phân phi tuyến thì nghiên cứu về
phương trình sai phân hữu tỷ cấp lớn hơn 1 luôn đóng vai trò rất quan trọng,
vì một số nguồn gốc cho sự phát triển của lý thuyết cơ bản về dáng điệu toàn
cục các phương trình sai phân phi tuyến bậc cao bắt nguồn từ các kết quả của
phương trình sai phân hữu tỷ.
Một số quy luật phát triển của sự vật, hiện tượng trong thực tế được rời
rạc hóa dưới dạng phương trình hoặc hệ phương sai phân hữu tỷ, có thể kể đến
một số mô hình như:
• Mô hình sinh trưởng của một loại cây hàng năm:
xn+1 =

λxn
, n = 0, 1, 2, . . . ,
(1 + axn )p + bλxn

(1)

trong đó các tham số a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) và giá trị ban đầu x0
là số thực dương.
• Mô hình sản xuất tế bào máu Mackey-Glass:
xn+1 = αxn +

β
xpn−k
1

, n = 0, 1, 2, . . . ,

(2)

• Khi γ = C = 0, phương trình (4) trở thành
xn+1 =

α + βxn
, n = 0, 1, 2, . . . ,
A + Bxn

(5)

với tên gọi Phương trình sai phân Riccati.
• Khi α = γ = B = 0, phương trình (4) trở thành
xn+1 =

βxn
, n = 0, 1, 2, . . . ,
A + Cxn−1

(6)

có tên là Phương trình sai phân Pielou.
• Khi γ = A = B = 0, phương trình (4) trở thành
xn+1 =

α + βxn
, n = 0, 1, 2, . . . ,
Cxn−1

với tên gọi Phương trình sai phân Lyness.
2



trong đó a ∈ (0, 1), b ∈ (0, ∞), c1 , c2 ∈ [0, ∞), c1 + c2 > 0 và các giá trị
ban đầu x−2 , x−1 , x0 là các số thực dương.
• Mô hình dân số của loài muỗi:
xn+1 = (axn + bxn−1 e−xn−1 )e−xn , n = 0, 1, 2, . . . ,

(10)

trong đó a ∈ (0, 1), b ∈ [0, ∞), các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các số thực
dương.
• Mô hình loài ruồi xanh Nicholson:
xn+1 = (1 − α)xn + βxn−k e−γxn−k , n = 0, 1, 2, . . . ,

(11)

trong đó α ∈ (0, 1), β ∈ (α, ∞), γ ∈ (0, ∞), k là số nguyên dương, các
giá trị ban đầu x−k , . . . , x−1 ∈ [0, ∞), x0 ∈ (0, ∞).

3


Tiếp tục hướng nghiên cứu về các dạng phương trình và hệ phương trình sai
phân phi tuyến trong thời gian gần đây, trong luận án này, chúng tôi đề xuất
nghiên cứu các dạng phương trình có tính chất tổng quát hơn, hoặc các dạng
tương tự, hoặc các dạng mới nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả
về lý thuyết định tính các phương trình sai phân. Cụ thể chúng tôi tập trung
nghiên cứu một số vấn đề sau:
1. Xây dựng dạng tiệm cận của nghiệm dương không dao động hai dạng
phương trình sai phân hữu tỷ.
2. Tính ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng một dạng phương

Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm và các kết quả đã được
chứng minh để thuận tiện cho việc theo dõi các nội dung tiếp theo của luận án.

1.1

Phương trình sai phân cấp cao

1.1.1

Các định nghĩa về ổn định

Phương trình sai phân cấp (k + 1) là phương trình có dạng:
xn+1 = F (xn , xn−1 , ..., xn−k ), n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.1)

trong đó F là hàm số từ I k+1 vào I. Tập I thường là một khoảng của tập số
thực hoặc là hợp của các khoảng hoặc là tập rời rạc như tập các số nguyên.
Một nghiệm của phương trình (1.1) là một dãy {xn }∞
n=−k thỏa mãn phương
trình (1.1) với mọi n ≥ 0.
Một nghiệm của phương trình (1.1) là hằng số với mọi n ≥ −k được gọi là
nghiệm cân bằng. Nếu xn = x¯ với mọi n ≥ −k là một nghiệm cân bằng của
phương trình (1.1) thì x¯ được gọi là điểm cân bằng của phương trình (1.1).
Định nghĩa 1.1. i) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi
là ổn định địa phương nếu với mỗi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu
{xn }∞
n=−k là một nghiệm của phương trình (1.1) với
|x−k − x¯| + |x−k+1 − x¯| + ... + |x0 − x¯| < δ,
thì

bằng x¯. Đặt
∂F
(¯
x, x¯, ..., x¯), với i = 0, 1, ..., k
qi =
∂ui
là các đạo hàm riêng của hàm F (u0 , u1 , ..., uk ) tương ứng theo ui lấy giá trị tại
điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1). Khi đó phương trình:
yn+1 = q0 yn + q1 yn−1 + ... + qk yn−k , n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.2)

được gọi là phương trình tuyến tính hóa của phương trình (1.1) xung quanh
điểm cân bằng x¯, và phương trình
λk+1 − q0 λk − q1 λk−1 − ... − qk−1 λ − qk = 0,

(1.3)

được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.2) xung quanh x¯.
Kết quả sau đây được biết đến với tên gọi "Định lý ổn định tuyến tính
hóa" đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính ổn định địa phương của
điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1).
Định lý 1.1. Giả sử hàm số F khả vi liên tục xác định trong một lân cận
mở nào đó của x¯. Khi đó các phát biểu sau là đúng:
i) Nếu tất cả các nghiệm của phương trình (1.3) có mô đun bé hơn 1 thì
điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là ổn định tiệm cận địa phương.
ii) Nếu có ít nhất một nghiệm của phương trình (1.3) có mô đun lớn hơn
1 thì điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là không ổn định.
6


n=−k gọi là dao động xung quanh x, hay gọi đơn giản là
dao động.
iv) Nghiệm {xn }∞
n=−k gọi là dao động ngặt xung quanh x nếu với mỗi n0 ≥
0, tồn tại n1 , n2 ≥ n0 sao cho (xn1 − x¯)(xn2 − x¯) < 0.
Nửa vòng đầu tiên của nghiệm phương trình (1.1) được bắt đầu với số hạng
x−k , là nửa vòng dương nếu x−k ≥ x¯, là nửa vòng âm nếu x−k < x¯.

7


1.2
1.2.1

Hệ phương trình sai phân
Ổn định tuyến tính hóa

Gọi I là một khoảng của tập số thực, các hàm số
f, g : I × I −→ I

(1.4)

là các hàm số khả vi liên tục. Khi đó, với mọi giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ I, hệ
phương trình sai phân
xn+1 = f (xn , yn ), yn+1 = g(xn , yn ), n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.5)

có duy nhất nghiệm {(xn , yn )}∞
n=0 .

Định nghĩa 1.5. Gọi (¯
x, y¯) là điểm cân bằng của ánh xạ F (x, y) = (f (x, y), g(x, y)),
trong đó f và g là các hàm khả vi liên tục tại (¯
x, y¯). Hệ tuyến tính hóa của
hệ (1.5) xung quanh điểm cân bằng (¯
x, y¯) được xác định bởi
Xn+1 = F (Xn ) = FJ Xn ,
xn
và FJ là ma trận Jacobian của hệ (1.5) xung quanh
yn
điểm cân bằng (¯
x, y¯).
trong đó Xn =

8


Kết quả về ổn định sau đây sẽ hữu ích cho các nội dung tiếp theo của luận
án.
Định lý 1.3. (Định lý ổn định tuyến tính hóa)Gọi (¯
x, y¯) ∈ I là điểm cân
bằng của ánh xạ F = (f, g), trong đó f , g là các hàm số khả vi liên tục,
xác định trên tập mở I trong R2 , .
i) Nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận Jacobian JF (¯
x, y¯) có môđun
nhỏ hơn 1, thì điểm cân bằng (¯
x, y¯) là ổn định tiệm cận.
ii) Nếu ít nhất một trong các giá trị riêng của ma trận Jacobian JF (¯
x, y¯)
có mô đun lớn hơn 1 thì điểm cân bằng (¯

về tính giới nội của phương trình dạng
xn+1 =

A
B
, n = 0, 1, . . . ,
p + q
xn xn−1

(2.1)

trong đó A, B, p, q ∈ (0, ∞) và các giá trị ban đầu x−1 , x0 ∈ (0, ∞). Đồng
thời, các tác giả cũng nghiên cứu tính ổn định và tính tuần hoàn của phương
trình dạng
A
1
xn+1 =
+
, n = 0, 1, . . . ,
(2.2)
xn xn−2
trong đó A, x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞).
Mở rộng kết quả của R. Devault, G. Ladas và S.W. Schultz đối với phương
trình (2.1), trong một nghiên cứu của S. Stevi´c năm 2002, tác giả đã chỉ ra điều
kiện cần và đủ đối với tính giới nội của nghiệm phương trình sai phân:
k

xn+1 =
i=0


xn−k+1 xn−k

(2.4)

k−1

với A1 , A2 , ..., Ak−1 ∈ [0, ∞),

Ai > 1 và các giá trị ban đầu x−k , x−k+1 , ...,
i=1

x−3 , x−2 , x−1 là các số thực dương tùy ý, và phương trình:
A1
A2
A3
1
+
+
− 3 , n = 0, 1, 2, . . . ,
xn xn−1 xn−2 xn−1 xn−2 xn−3 xn−2 xn−3 xn−4 xn−5
(2.5)
trong đó A1 , A2 , A3 ∈ [0, ∞) và A = A1 +A2 +A3 −1 > 0, x−5 , x−4 , x−3 ,
x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞).
Nội dung chính của chương này được lấy từ một phần bài báo [2] và một
phần bài báo [3] của tác giả.
xn+1 =

2.1.2

Dạng tiệm cận nghiệm của phương trình (2.4)

x2
x2
x2

(2.6)

Đa thức đặc trưng tương ứng với phương trình (2.6) có dạng
p(t) = x2 tk + A1 tk−1 + ... + Ak−1 t − 1 = 0.

(2.7)

Với mỗi p > 0, α > 0 có một nghiệm dương duy nhất t0 của đa thức đặc trưng
thuộc khoảng (0, 1). Dựa trên ý tưởng trong các nghiên cứu của L. Berg và
được phát triển bởi S. Stevi´c, ta tin tưởng rằng các nghiệm của phương trình
(2.4) có dạng tiệm cận sau
xn = x + atn0 + o(tn0 ),
11

(2.8)


với a ∈ R và t0 là nghiệm của phương trình (2.7).
Bài toán được giải quyết bởi việc xây dựng hai dãy phù hợp yn và zn với
yn ≤ xn ≤ zn

(2.9)

với n đủ lớn.
Từ (2.8) và các kết quả của L. Berg ta dự đoán ba số hạng đầu tiên của
dạng tiệm cận nghiệm có dạng

4
cân bằng dương x = A khi n → ∞.

2.2
2.2.1

Tính ổn định của một dạng phương trình sai phân hữu tỷ
Đặt vấn đề

Năm 1998, G. Ladas đã đề xuất nghiên cứu tính ổn định tiệm cận toàn cục của
phương trình sai phân hữu tỷ
xn+1 =

xn + xn−1 xn−2
, n = 0, 1, 2, . . . ,
xn xn−1 + xn−2

(2.11)

với các giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞).
Năm 2002, X. Li, D. Zhu đã chứng minh được nghiệm cân bằng của phương

12


trình (2.11) là ổn định tiệm cận toàn cục.
Năm 2004, T. Nesemann đã nghiên cứu phương trình
xn+1 =

xn−1 + xn xn−2

định tiệm cận toàn cục.
Định lý 2.3. Giả sử {xn }∞
n=−3 là một nghiệm dao động ngặt của phương
trình (2.13). Khi đó quy luật xuất hiện của độ dài các nửa chu kỳ dương và
nửa chu kỳ âm là:
hoặc,. . . , 1− , 2+ , 1− , 2+ , 1− , 2+ , 1− , 2+ , . . . ,
hoặc,. . . , 1+ , 1− , 1+ , 3− , 1+ , 1− , 1+ , 3− , . . . ,
hoặc,. . . , 4+ , 2− , 4+ , 2− , 4+ , 2− , 4+ , 2− , . . . .
Sau đây ta sẽ phát biểu định lý về sự ổn định của điểm cân bằng.
Định lý 2.4. Giả sử a ∈ [0, ∞). Khi đó điểm cân bằng dương của phương
trình (2.13) là ổn định tiệm cận toàn cục.

13


Chương 3
Ba dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến

3.1

Tính giới nội và ổn định của một dạng hệ phương trình sai
phân phi tuyến

Nội dung của phần này là nghiên cứu tính bị chặn, tính bền vững và tính ổn
định tiệm cận của nghiệm dương hệ phương trình sai phân dạng mũ:
xn+1 = a+bxn−1 +cxn−1 e−yn , yn+1 = α+βyn−1 +γyn−1 e−xn , n = 0, 1, 2, . . . ,
trong đó a, b, c, α, β, γ ∈ (0, ∞), các giá trị ban đầu x−1 , x0 , y−1 , y0 là
các số thực dương.
3.1.1


(3.1)
trong đó a, b, c, α, β, γ là các hằng số dương và các giá trị ban đầu
x−1 , x0 , y−1 , y0 là các số thực dương. Ta sẽ nghiên cứu tính giới nội, tính
bền vững và tính ổn định tiệm cận của nghiệm dương hệ phương trình (3.1).
Ta xét trong một số trường hợp đặc biệt, khi b = β = 0 hệ phương trình
(3.1) trở thành hệ phương trình (∗), và khi xn = yn , a = α, b = β = 0, c = γ
ta có phương trình (∗).
Nội dung chính của phần này được lấy từ bài báo [5] của tác giả.

3.1.2

Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (3.1)

Trước hết ta sẽ chỉ ra điều kiện để nghiệm của hệ (3.1) là giới nội và bền vững.
Định lý 3.1. Xét hệ (3.1) với điều kiện:
b + ce−α < 1, β + γe−a < 1.

(3.2)

Khi đó mọi nghiệm của (3.1) là giới nội và bền vững.
Trong nội dung tiếp theo ta sẽ chỉ ra khoảng bất biến của hệ (3.1).
Định lý 3.2. Xét hệ (3.1) với điều kiện (3.2) được thỏa mãn. Khi đó ta có
các phát biểu sau:
(i) Tập
a,

α
a
×
α,

Sau đây ta sẽ phát biểu các kết quả về tính duy nhất và tính hút của điểm
cân bằng.
Định lý 3.3. Xét hệ (3.1) với các điều kiện sau được thỏa mãn:
Nếu α(1 − b) ≥ a(1 − β) thì
a2 (1 − 2β)2 + 4(1 − b)2
,
c
(3.7)

Khi đó hệ phương trình (3.1) có duy nhất điểm cân bằng dương (¯
x, y¯) sao
cho 6
x¯ ∈

a,

a
1 − b − ce−α

, y¯ ∈

α,

α
1 − β − γe−a

.

(3.8)

Hơn nữa, mọi nghiệm dương của (3.1) hội tụ về điểm cân bằng dương duy
nhất (¯
x, y¯) khi n → ∞.
Trong nội dung tiếp theo của ta sẽ nghiên cứu tính ổn định tiệm cận toàn
cục của điểm cân bằng dương của phương trình (3.1).
16


=
, yn+1 =
c + yn
c + xn

trong đó a, b, c là các hằng số dương và các giá trị ban đầu x0 , y0 là các số thực
dương. Ta cũng xác định tốc độ hội tụ tới điểm cân bằng dương E = (¯
x, y¯)
của hệ.
3.2.1

Đặt vấn đề

Năm 2006, I. Ozturk, F. Bozkurt, S. Ozen nghiên cứu tính ổn định, tính giới
nội và tính tuần hoàn của nghiệm dương phương trình sai phân:
yn+1

α + βe−yn
=
γ + yn−1

trong đó α, β, γ là các hằng số dương, các giá trị ban đầu y−1 , y0 là các số
dương.
Dựa trên gợi ý từ dạng phương trình trên, trong phần này chúng ta sẽ nghiên
cứu tính giới nội, tính bền vững và tốc độ hội tụ của nghiệm dương hệ phương
trình có dạng mũ sau:
xn+1

a + be−xn
a + be−yn

x, y¯) khi n → ∞. Hơn nữa, điểm cân bằng (¯
x, y¯) là ổn định
tiệm cận toàn cục.

3.2.3

Tốc độ hội tụ

Trong phần này ta sẽ đưa ra tốc độ hội tụ của nghiệm hội tụ đến điểm cân bằng
E = (¯
x, y¯) của hệ (3.10) với mọi giá trị của tham số. Kết quả chính của phần
này được phát biểu qua định lý sau:
e1n
xn − x¯
=
của mọi nghiệm xn = 0
2
en
yn − y¯
của (3.10) thỏa mãn đồng thời các mối quan hệ tiệm cận sau:

Định lý 3.7. Véc tơ sai số en =

lim

n→∞

và
lim


a + cyn
b + dxn
18


trong đó a, b, c và d là các hằng số dương với các giá trị ban đầu x0 , y0 ∈ (0, ∞).
Năm 2003, M.R.S. Kulenovi´c và M. Nurkanovi´c nghiên cứu dáng điệu toàn
cục của hệ phương trình sai phân
xn+1 =

Bxn yn
Axn yn
, yn+1 =
, n = 0, 1, 2, . . . ,
1 + yn
1 + xn

trong đó A, B ∈ (0, ∞) và các giá trị ban đầu x0 , y0 là các số không âm.
Năm 2008, Ibrahim Yalcinkaya nghiên cứu tính ổn định tiệm cận toàn cục
của hệ phương trình sai phân
zn+1 =

tn zn−1 + a
zn tn−1 + a
, tn+1 =
, n = 0, 1, 2, . . . ,
tn + zn−1
zn + tn−1

trong đó a ∈ (0, ∞) và z−1 , z0 , t−1 , t0 là các số thực dương.

1 + γxn
1 + ηyn

trong đó α, β, γ, δ, , η ∈ (0, ∞) và x0 , y0 là các số thực dương.
Xuất phát từ các dạng phương trình trên, trong phần này chúng ta sẽ nghiên
cứu hệ phương trình sai phân sau đây
xn+1 =

axn − bxn yn
a1 xn yn − b1 yn
, yn+1 =
, n = 0, 1, 2, . . . ,
1 + cxn + dyn
1 + c1 xn + d1 yn

(3.14)

trong đó a, b, c, d, a1 , b1 , c1 , d1 ∈ (0, ∞) và các giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ (0, ∞).
Cụ thể, chúng ta sẽ nghiên cứu tính ổn định của các điểm cân bằng và tốc độ
hội tụ của nghiệm dương của hệ (3.14).
Nội dung của phần này được lấy trong bài báo [6].

19


3.3.2

Ổn định tuyến tính hóa

Hệ (3.14), có 4 điểm cân bằng:

>
, thì điểm cân bằng P2 (0, − b1d+1
)
1
b1 + 1
1−a
là ổn định tiệm cận địa phương.

i) Nếu a < 1, b1 > 1 và

b1 + 1
a−1
, thì điểm cân bằng P3 ( a−1

1, a1 < c1 và

Sau đây ta sẽ trình bày tính ổn định của điểm cân bằng dương duy nhất
của hệ (3.14).
Định lý 3.10. Giả sử
(1 − a1 )d1
,
b1 + 1
c
c1 − a1 c1 − a1
c

(a − bβ)(1 + dβ) (a1 α − b1 )(1 + c1 α)
+
(1 + cα + dβ)2
(1 + c1 α + d1 β)2
(a − bβ)(1 + dβ) (a1 α − b1 )(1 + c1 α)


3.3.5

Tốc độ hội tụ

Tốc độ hội tụ của nghiệm đến điểm cân bằng được thể hiện qua định lý sau.

21


Định lý 3.14. Giả sử {(xn , yn )} là một nghiệm dương của hệ (3.14) sao
cho limn→∞ xn = x¯, limn→∞ yn = y¯, trong đó
(¯
x, y¯) = (α, β) =

(1 − a1 )d1 − (d + b)(b1 + 1) c(b1 + 1) − (a − 1)(a1 − c1 )
,
.
(c1 − a1 )(d + b) − cd1
(c1 − a1 )(d + b) − cd1

e1n
xn − x¯
Khi đó vector sai số en =
=
của mọi nghiệm xn = 0 của
2
en
yn − y¯
hệ (3.14) thỏa mãn đồng thời các quan hệ sau:

sai phân hữu tỷ.
2. Chứng minh được nghiệm cân bằng của một dạng phương trình sai phân
hữu tỷ là ổn định tiệm cận toàn cục.
3. Đưa ra một số điều kiện đủ để ba dạng hệ phương trình sai phân phi
tuyến có nghiệm cân bằng dương duy nhất và các nghiệm hội tụ về điểm
cân bằng dương, chỉ ra các khoảng bất biến của nghiệm.
4. Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm của hai dạng hệ phương trình sai
phân phi tuyến.

KIẾN NGHỊ
MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
Tiếp theo các kết quả của luận án, tác giả thấy có một số vấn đề cần được tiếp
tục nghiên cứu là
1. Nghiên cứu các dạng phương trình sai phân hữu tỷ với tham số là các dãy
có tính tuần hoàn.
2. Xây dựng các dạng tiệm cận khác dạng đa thức.
3. Nghiên cứu các dạng hệ nhiều hơn hai phương trình phi tuyến.
4. Nghiên cứu các ứng dụng của phương trình sai phân trong hệ sinh thái.

23