LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẩn của TS. Phạm Phu. Nhân dịp này
em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều công sức, thời gian để hướng dẫn, kiểm tra và
giúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên ngành và định hình hoàn thiện
bản luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy cô
trong Khoa Toán – Cơ – Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đai học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho em
trong thời gian học tập tại trường. Em xin cảm ơn các thầy cô, các bạn trong Xemina
của tổ giải tích Đại học Khoa học Tự nhiên. Cảm ơn các bạn trong tập thể lớp Cao
hoc giải tích 2008 – 2010 về những lời động viên, những cử chỉ khích lệ, những sự
giúp đỡ nhiệt tình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và
bạn bè đồng nghiệp, em xin chân thành cảm ơn.

Học viên

Võ Thị Hải Yến

1


Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU ……………………………………………………………4

Bảng ký hiệu …………………………………………………………… 5

Chương 1 . Nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình
sai phân bằng phương pháp hàm Lyapunov
1.1. Sơ lược về phép tính sai phân hữu hạn …………………………………… 6

17

1.6. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân
không autonomous …………………………………………………….

2

20


Chương 2 : Hệ phương trình sai phân tuyến tính
và ứng dụng……….............................................
2.1. Các khái niệm cơ bản của hệ phương trình sai phân tuyến tính …….

24
24

2.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất …………………...

24

2.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất …………...

25

2.2. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
với ma trận hệ số hằng ………………………………………………….

27


Kết luận ………………………………………………………………………

57

Tài liệu tham khảo …………………………………………………………..

58

3


LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết định tính của hệ động lực rời rạc đã được nghiên cứu từ những năm
đầu thế kỷ XVIII, song ngày nay nó vẫn được đông đảo các nhà khoa học quan tâm
và nghiên cứu. Những kết quả cơ bản của nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều mô
hình ứng dụng. Đặc biệt trong thời gian gần đây nhờ có sự phát triển của công nghệ
tin học, lý thuyết hệ động lực rời rạc nói chung và lý thuyết định tính của các hệ
phương trình sai phân nói riêng đã có sự phát triển vượt bậc đặc biệt là khả năng ứng
dụng thực tiễn của nó.
Về tổng thể hầu hết các phương pháp thông dụng được sử dụng trong lý
thuyết phương trình vi phân đều có thể xây dựng lại cho việc nghiên cứu tính chất
nghiệm của các hệ phương trình sai phân. Tuy nhiên về lý thuyết tính toán và các
biểu thức toán học trong một số công thức cơ bản lại khá phức tạp.
Mục tiêu cơ bản của bản luận văn là trình bày lại một cách hệ thống phương
pháp hàm Lyapunov được sử dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ
phương trình sai phân. Sau đó trình bày các ví dụ minh hoạ để chỉ ra khả năng ứng
dụng của lý thuyết phương trình sai phân trong các mô hình ứng dụng.
Trong chương 1 sau khi đã trình bày các khái niệm cơ bản về phép tính sai
phân hữu hạn, chúng tôi đã trình bày một cách vắn tắt lý thuyết phương trình sai


Không gian m chiều.

¡

m

Tập hợp các ma trận vuông cấp n M n¡(¡ )
trên .
Tổ hợp chập i của k.
Sai phân của .
u(n) ( hoặc )

Hàm biến số nguyên.

Cki
∆uun n
un

CHƯƠNG 1
5


NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV

1.1 Sơ lược về phép tính sai phân hữu hạn
Định nghĩa 1.1. Ta gọi sai phân hữu n ∈ ¢ hạn cấp một của hàm số u(n) = un với
là hiệu
∆un = un+1 − un .

∆ k un = ∑ (−1)i Cki un + k −i ,
trong đó .

i =0

C =
i
k

k!
i !(k − i )!
6


Tính chất 2: Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính
∆ k (α un + β vn ) = α∆ k un + β ∆ k vn ,
với α , β là các số thực tuỳ ý.
Tính chất 3: Sai phân cấp k của đa thức bậc m bằng:
* Hằng số, nếu k = m,
* 0, nếu k > m,
* Đa thức bậc (m – k), nếu k < m.
Tính chất 4:
∆un vn = un ∆vn + vn ∆un ,
N

∑∆ u
k

n=a


trong đó với là các hằng
số hoặc các hàm số của n, được
gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f n là một hàm số của n, được gọi là vế
phải; un là giá trị cần tìm được gọi là ẩn.

7


* Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính:
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k
a0un+ k + a1un + k −1 + ... + ak un = f n

.
(1.1)

Phương trình sai phân thuần nhất tương ứng
(1.2) a0un + k + a1un + k −1 + ... + ak un = 0.
Phương trình đặc trưng
(1.3) a0λ k + a1λ k −1 + ... + ak = 0.
Nghiệm tổng quát của phương un = uuu*n* + u ,
trình sai phân tuyến tính (1.1) là
với là một nghiệm riêng của phương trình (1.1) và là nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất tương ứng (1.2).
Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng
,

u = c1un1 + c2un2 + ... + ck unk

,...,cuknk
trong đó là k nghiệm độc lập tuyến ucn11,,ucn22,...,

,i=

8


phức bội s thì ta lấy thêm các nghiệm và nghiệm tổng quát của (1.2) là
u=
trong đó là các
hằng số tuỳ ý.

k

s −1

i ≠ j =1

i =0

∑ ci λin + ∑ r n (ai ni cos nϕ + bi ni sin nϕ ),
ai , bi

1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính
1.3.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ phương trình sai phân (xem [11])
u1 (n + 1) = a11 (n)u1 (n) + a12 (n)u2 (n) + ... + a1m (n)um (n),

Đặt
u2 (n + 1) = a21 (n)u1 (n) + a22 (n)u2 (n) + ... + a2 m (n)u m (n),

..........................

M ÷
K
K
K
dưới dạng:

÷

÷
÷
a
(
n
)
a
(
n
)
K
a
(
n
)
 um ( n) 
m
1
m
2
mm



9


nn)0n≥)s≥ n0
Khi đó được gọi là họ các ma trận {UU(n(A,ns(,)}
tiến hoá sinh bởi ma trận hàm
không suy biến , được gọi là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cauchy )
hoặc còn được gọi là hàm Green.
Nhận xét: Từ định nghĩa của ma trận s ≥ n0 Cauchy và họ toán tử tiến hoá ta thấy
với mỗi thì :
U (n0 , n0 ) = I

*.

U (n, s ) =n U
≥ (kn≥, ks).U (k , s )

* với mọi .
* với mọi

U (n, s ) = U n(n≥, ns0.).U −1 ( s, n0 )

Nghiệm của bài toán Cauchy có u (n) := u (n, n0 , u0 )
thể viết dưới dạng:
u (n) = U (n, n0 ).u0 , n ≥ n0 ,
u (n) = U (n, s ).u ( s ) , n ≥ s ≥ n .
0
n0 An − n0
Khi là ma trận hằng ta 

của (1.5) dưới
dạng
(1.7)
sao cho bằng phương pháp biến u (n0 ) = u0
thiên hằng số Lagrăng .

10


u (n0 ) = U (n0 , n0 )C (n0 ) = C (n0 ) ⇒ C (n0 ) = u0 .

Vì
Từ
(1.8)

u (n) = U (n, n0 )C (n) ⇒ u (n + 1) = U (n + 1, n0 )C (n + 1)

Mà

u (n + 1) = A(n)u (n) + b(n) = A(n)U (n, n0 )C (n) + b(n)
= U (n + 1, n0 )C (n) + b(n).

(1.9)
Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được

U (n + 1, n0 )C (n + 1) = U (n + 1, n0 )C (n) + b(n)
n0−)1∆(nC+(n1,)n=0 ).bb(n(n) )
∆UC((nn)+=1,U

suy ra hay .

−1

k = n0 +1

(k , n0 ).b(k − 1)

Vì
nên thay (1.10) vào U (n, n0 ).U −1 (k , n0 ) = U (n, k )
(1.7) ta nhận được (1.6).

Hệ quả : Nếu là ma trận hằng thì

mọi .

A(n) = A

n > n0n
với
u (n) = An − n0 .u0 + ∑
An −i .b(i − 1)
(1.11)
i = n0 +1

1.4. Một số ví dụ giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất
1.4.1. Giải hệ hai phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ
trong đó p, q, r, s .

x0 == px

Hệ đã cho
tương đương với

 x(n + 1) = 4 x(n) − 2 y (n)

 y (n + 1) = x(n) + y (n)

x0 = 1 , y0 = 1.

x(n + 2) = 5 x(n + 1) − 6 x( n) , x0 = 1 , x1 = 2,
Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

λ 2 − 5λ + 6 = 0 ⇒ λ1 = 2 , λ2 = 3

.
Từ đó
Do

x(n) = A2n + B3n.
x0 = 1 = A + B , x1 = 2 = 2 A + 3B ⇒ A = 1, B = 0 ⇒ x (n) = 2 n.

Từ phương trình đầu ta có
2 y (n) = 4 x( n) − x( n + 1) = 4.2 n − 2 n+1 = 2 n (4 − 2) = 2.2 n ⇒ y ( n) = 2 n.

Vậy

x(n) = 2n ; y (n) = 2n.

Thí dụ 1.4.2. Giải hệ
.

(nn);=y(2
(n)−=n(1
)3n+; ny)3
( nn). = 2 x (n) − x (n + 1) = (1 + n)3n.
Vậy
Thí dụ 1.4.3. Giải hệ
.

1
3

 x(n + 1) = 2 x(n) − 4 y (n)
Giải : Hệ đã cho 
 y (n + 1) = x(n) + 1 y (n)
tương đương với

2

x0 = 2 , y0 = 0

x(n + 2) = x(n + 1) − x(n) , x0 = 2 , x1 = 1.
Phương trình cấp 2 trên có phương trình đặc trưng

Từ đó

λ2 − λ +1 = 0 ⇒ λ =

1± i 3
π
π

4
nπ
; y ( n) =
sin .
3
3
3

x(n + 1) =

trong đó p, q, r, s là các
hằng số, a cho trước.

px(n) + q
, x0 = a
rx(n) + s

Giả sử và là nghiệm của hệ phương zy(n) trình sai phân
 y (n + 1) = py (n) + qz (n)
y0 = a , z 0 = 1 .

 z (n + 1) = ry (n) + sz (n)
13


Khi đó là nghiệm của phương trình
y ( n)
x ( n) =
đã cho.
z ( n)

.

x( n) − 2
, x0 = 0.
x (n ) + 4

 y (n + 1) = y (n) − 2 z (n)
y 0 = 0 , z0 = 1

 z (n + 1) = y (n) + 4 z (n)
⇒ y (n + 2) = 5 y (n + 1) − 6 y (n) , y0 = 0 , y1 = −2

Phương trình cấp hai trên có phương trình đặc trưng

λ 2 − 5λ + 6 = 0 ⇒ λ1 = 2 , λ2 = 3.
⇒ y (n) = A.2 n + B.3n ; y0 = 0 = A + B ; y1 = −2 = 2 A + 3B ⇒ A = 2, B = −2.

⇒ y (n) = 2.2n − 2.3n.
⇒ 2 z (n) = y (n) − y (n + 1) = 4.3 − 2
n

n +1

y (n) 2.2n − 2.3n
⇒ x ( n) =
=
z (n) −2n + 2.3n

.
Vậy

⇒ y (n) = ( A + Bn).2n ⇒
; yy (=n1) =
= 2A ;−yn.2
= 0 = (1 + B)2 ⇒ B = −1

.

0

.

1

⇒ z ( n) = 2 n + n 2 n ⇒ x ( n) =

Vậy

x ( n) =

1− n
.
1+ n

y ( n) 1 − n
=
z ( n) 1 + n

1.5. Các khái niệm về ổn
định và phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai
phân autonomous

bài
toán

÷

÷
um ( n) 
f m (n, u1 (n), u2 (n),..., u m (n)) ÷



Cauchy của
hệ được viết dưới dạng :
(1.12) u (n + 1) = f (n, u (n)), u (n0 ) = u0 , n ≥ n0 ,
≤
n(,0)
iuf,≤
¥
×
n∈
n0=)m,0)
0 = 0.
trong đó u và f là các vectơ u (n) =f1(u(1
im
thành phần và , . Giả sử với
mọi để hệ có nghiệm tầm thường

δ))||
=
≠ 0, R]= 0
giả sử và với trong lân cận của u ( nV) =V
∈f u((0)
Cu¡(Ω
[n)Ω
gốc sao cho (1.13) có nghiệm tầm
thường . Cho là một tập mở trong và chứa gốc. Giả sử V(u) là một hàm liên tục vô
hướng xác định trên , và .
*0*
≠) Ω
>0
Định nghĩa 1.10. V(u) được gọi là Vuu(u∈
Ω
xác định dương trên nếu và chỉ nếu với , .
* *
≥0
Định nghĩa 1.11. V(u) được gọi là Vu(u∈
Ω) Ω
nửa xác định dương trên nếu , với mọi , (dấu bằng chỉ xảy ra tại những điểm xác
định)

Định nghĩa 1.12. V(u) được gọi là −VΩ(*u ) xác định âm ( nửa xác định âm) trên
nếu và chỉ nếu là xác định dương ( nửa xác định dương) trên .
r]), φ (0) = 0
Định nghĩa 1.13. Hàm được C[[0, ρ ), φRφ(+∈
gọi là thuộc vào lớp K nếu và
tăng chặt theo r.
Vì liên tục, với r đủ nhỏ, ta có


u
φ (ε ) ≤ φ (|| u ( n1 ) ||) ≤ V (u ( n1 )) ≤ V (u0 ) < φ (ε )

δn∈ N
dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu || u (n)||||u
tầm thường của (1.13) là ổn định tiệm cận.
Định lý
tại hàm
cho với
gốc tồn
ổn định.

∈
u||V
u([unSH
(α
((,0,0)
nρun,0,
⊂
)n)||RK
S)>
u
||r)nR
Nr
||nu∈|| ≤
nhỏ sao cho tập . Đặt ,
M xác định vì V liên tục. Gọi là số thoả mãn theo giả thiết tồn tại một điểm sao cho
và . Dọc theo nghiệm và do đó là hàm tăng, .Do đó nghiệm u(n) này không đi về
gốc. Nên , suy ra . Nhưng vế phải của bất đẳng thức này có thể lớn hơn M khi n đủ
lớn, khi đó sẽ vượt ra ngoài tập nên nghiệm tầm thường của (1.13) là không ổn
định.

Ví dụ : Xét hệ phương trình sai phân
(1.17) u1 (n + 1) = u2 (n) − cu1 (n)(u12 (n) + u22 (n))

2
2
u2 (n + 1) = u1 (n) +*cu22(n22)(2 u1 2(n) +2 u2 (n3)) .
trong đó c là hằng số, ∆V (u1 (n),Vu(2u(1n,Ω
))
u2 =)==cRu(1u1+(un2) + u2 ( n))
chọn hàm xác định
dương trên . Khi đó .

18


=u02 (n)) = 0
Do đó nếu thì nên nghiệm tầm ∆V (u1 (nc),≠
thường của hệ (1.17) là ổn định.
Tuy nhiên nếu thì nghiệm tầm thường của hệ (1.17) là không ổn định.


ξnuV
((∈
n(||r(a,0)
=)nN
)∈
,×ru(,=aK
S) )(ρ0n, u ) ∈ N ( a) × S ρ
Định nghĩa 1.16. V (n, u ) ≤ ξ (r ), V
Hàm vô hướng xác
định trên được gọi là giảm dần (decrescent) nếu và chỉ nếu với mọi , và tồn tại một
hàm sao cho .
(,a)aρ), u0 )
Đặt là nghiệm bất kỳ của u (n)nuV=(∈n(un)N(,nu≤
(1.18) sao cho với mọi . Dọc theo
nghiệm này ta xét số gia của hàm :
= V (n + 1, u (n + 1)) − V (n, u (∆nV))(=
n,Vu (n))+ 1, f (n, u (n))) − V (n, u (n)) .

Tương tự như các kết quả trong trường hợp autonomous, hai định lý sau xét tính ổn
định và ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (1.18).
),(∈
anu,0)
),C
(a||n[+

>
a()
lim
lim
uV( n(||,nua,λ,0)
(un()n||=))=0=0 0
với n đủ lớn vế
n →∞
n →∞
phải trở thành âm, mâu thuẫn với
V(n,u) xác định dương. Do đó không tồn tại thoả mãn điều giả sử trên. Hơn nữa xác
định dương và là hàm giảm theo n nên . Suy ra . Vậy nghiệm tầm thường của (1.18)
là ổn định tiệm cận.
Định lý 1.7. Giả sử các điệu kiện u ( n, a,0) = 0
của định lý (1.5) được thoả mãn đối với hàm V(n,u) , đồng thời V(n,u) là giảm dần.
Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định đều.

20


φξε(

Định lý 1.8. Giả sử tồn tại V (n, u ) ∈ C[ N (a ) × S ρ , R ]
hàm vô hướng sao cho:
i, với mọi , trong đó ;

|| V ( nN
, (uξ(n)a,∈
||u)≤×)Kξ∈
S(||
ρ u ||)

ii, Với mọi , tồn tại với sao cho ; V ||(auδ,0u>||0
Lấy tổng từ a đến (k – 1) theo bất đẳng thức này ta được
k −1

V (n, u (n)) ≤ V (n, u0 ) − ∑ φ (|| u (l ) ||)
Tuy nhiên từ suy ra

l =a

φ (|| u|| (un()n||)
) ||≥≥φξ(−ξ1 (|−1V(| V
( a(,au,0u) 0|)) |)) .

Do đó ta có
V (n, u (n)) ≤ V (n, u0 ) − (k − a )φ (ξ −1 (| V (a, u0 ) |)) .
lim V (n, (u∗()n)) = −∞
Điều này dẫn tới ,
n →∞
mâu thuẫn với . Vậy nghiệm
tầm thường của hệ (1.18) là không ổn định.

CHƯƠNG 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG

2.1. Các khái niệm cơ bản của hệ phương trình sai phân tuyến
tính
2.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ phương trình sai phân: (xem [11])

22

um ( n) 
am1 (n) am 2 (n) K amm (n) ÷



dưới dạng:
Đặt

u (n + 1) = A(n).u (n) , n ≥ n0

,
(2.1)

ở đây và ta luôn giả u (n) = (u1A(n(n),)u=2 ((na),...,
umm×(mn))T ∈ R m
ij ( n ))
thiết là ma trận không
suy biến.
Xét bài toán Cauchy :

u (n + 1) = A(n).u (n), n ≥ n0

u (n0 ) = u0 .

Bằng phương pháp
truy hồi chúng ta thấy rằng bài toán Cauchy luôn có nghiệm và nghiệm của bài toán
Cauchy được cho bởi
u (n) = A(n − 1). A(nn−>2)...
n0 A(n0 + 1). A(n0 ).u0




Nghiệm của bài toán Cauchy có u (n) := u (n, n0 , u0 )
thể viết dưới dạng:
u (n) = U (n, n0 ).u0 , n ≥ n0
u (n) = U (n, s ).u ( s ) , n ≥ s ≥ n .
0
n0 An − n0
Khi là ma trận hằng ta 
U (nA, n(n0≥) =
thấy với mọi .

2.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
Xét bài toán Cauchy (xem [11])

trong đó và ,

(2.2) u (n + 1) =nA≥(nn).0 u,(n) + b(n) ,

u (n0 ) = u0 .
m
u (n) = (u1A(n(n),)ub=(2n(()na∈),...,
umm×(mn))T ∈ R m
ij ¡( n ))

Định lý 2.1. Nghiệm của hệ u (n) := u (n, n0 , u0 )
(2.2) xác định bởi công thức
(2.3)

u (n) = U (n, n0 ).u0 +


Kết hợp (2.4) và U (n + 1, n0 )C (n + 1) = U (n + 1, n0 )C (n) + b(n)
(2.5) ta được
suy ra hay .

n0−)1∆(nC+(n1,)n=0 ).bb(n(n) )
∆UC((nn)+=1,U

24


Do đó :
Ta
tìm
(2.6)

n −1

.

∑ ∆C (k ) =

được

.

k = n0

n −1


n − n0

n > n0n. n −i
.u0 + ∑ A .b(i − 1)
i = n0 +1

2.2. Sự ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất với ma trận hệ số hằng
Xét hệ phương trình sai phân:
, . u (n +n1)≥=n0Au ( n)
(2.8)
Xét bài toán Cauchy:
u (n + 1) = Au (n), n ≥ n0 ,

u (n0 ) = u0 .

(2.9)

Bằng phương pháp truy hồi
ta thấy nghiệm của bài toán Cauchy có dạng:
,
Ký hiệu

u (n)n=≥Ann0.− n0 u0
T ( n) = An , n = 0,1, 2,...

Khi đó là họ nửa nhóm các ma trận ( T (n) ) n∈¥
sinh bởi ma trận A. Nửa nhóm có
các tính chất sau:
T (0) = E