ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN THỊ LÝ

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH
PHẢN ỨNG BELOUSOV-ZHABOTINSKII
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY CHUẨN

Hà Nội – Năm 2014


Mục lục
MỞ ĐẦU

2

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.


.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.


.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
9
10
10
13
14
15
18
18
18
19

.
.
.



MỞ ĐẦU
Vào năm 1968, lần đầu tiên thế giới được biết một phản ứng hóa học rất kỳ
lạ biểu hiện tính tự tổ chức do hai nhà khoa học Nga, Belousov và Zhabotinsky
thực hiện. Đây là một thí nghiệm hóa học thú vị, hấp dẫn và đầy thách thức vì nó
không dẫn đến bất kì sự cân bằng hóa chất nào. Khi trộn lẫn một số hóa chất bao
gồm axit malonic CH2 (CO2 H)2 (công thức cấu tạo là HOOC-CH2 -COOH), kali
bromat KBrO3 là một chất oxi hóa mạnh, kali bromua KBr (hoặc natri bromat
NaBrO3 , natri bromua NaBr), cerium amonium nitrate (NH4 )2 Ce(NO3 )6 , axit
sulfuric H2 SO4 là axit vô cơ manh, chất chỉ thị màu Ferroin và nước trong một
bình chứa. Lúc nhiệt độ tăng cao tới mức nào đó, đột nhiên xuất hiện một cấu
trúc gồm các dao động tuần hoàn di chuyển theo những vòng đồng tâm hay
xoắn ốc, tồn tại bền vững mặc dầu phản ứng không ngừng tác động, và còn tiếp
tục phát sinh nhiều dao động thêm nữa.
Vào năm 1974, Field-Noyes trình bày mô hình toán học mô tả phản ứng
Belousov-Zhabotinskii như sau

∂u
1


= a∆u + (qw − uw + u − u2 ) trong Ω × (0, ∞),


ε

 ∂t
∂v
= b∆v + u − v

Chương 2. Mô hình Field-Noyes. Chương này trình bày mô hình toán
học mà Field-Noyes đưa ra để mô tả phản ứng Belousov - Zhabotinskii. Ta sẽ
chứng minh sự tồn tại địa phương, xây dựng đánh giá tiên nghiệm và chứng
minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán.
Chương 3. Mô hình Keener-Tyson. Tương tự như Chương 2, nội dung
của Chương 3 là chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình KeenerTyson.
Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
[5]. Trong đó có dựa trên đóng góp của những tác giả trong các tài liệu [1], [2],
[3] và [4].

3


Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Lê Huy
Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc
mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Lý



Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Những không gian hàm cơ bản

1.1.1

Không gian H¨
older

Định nghĩa 1.1. Cho tập mở Ω ⊂ Rn và 0 < γ ≤ 1.
a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨
older bậc γ nếu tồn tại hằng số
C > 0 sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ ,

x, y ∈ Ω.

Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz.
b) Nếu u : Ω → R là bị chặn và liên tục, ta định nghĩa
u

C(Ω)

= sup |u(x)|.
x∈Ω

=

C(Ω)

|α|≤k

[Dα u]C 0,γ (Ω)

+
|α|=k

là hữu hạn.

6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Như vậy, không gian C k,γ (Ω) gồm tất cả các hàm số u sao cho các đạo hàm
riêng cấp k của nó bị chặn và liên tục H¨older bậc γ . Hơn nữa, không gian H¨older
C k,γ (Ω) là không gian Banach với chuẩn .

C k,γ (Ω) .

Không gian hàm liên tục H¨
older có trọng F β,σ ((a, b]; X).
Cho X là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β ≤ 1, định nghĩa không
gian hàm F β,σ ((a, b]; X) gồm các hàm F (t) : (a, b] → X liên tục trên (a, b] (tương
ứng [a, b]) khi 0 < β < 1 (tương ứng β = 1) thỏa mãn ba tính chất sau:
1. Khi β < 1, (t − a)1−β F (t) có giới hạn hữu hạn khi t → a.

a≤t≤b

(s − a)1−β+σ F (t) − F (s)
(t − s)σ
a≤s

= 

.

0≤|α|≤k

Trường hợp p = 2, ký hiệu H k (Ω) = H2k (Ω). Khi đó H k (Ω) là một không gian
Hilbert với tích vô hướng được trang bị như sau
(Dα u, Dα v)L2 ,

(u, v)H k =

u, v ∈ H k (Ω).

0≤|α|≤k

Và chuẩn của H k (Ω) tương ứng với tích vô hướng được xác định bởi công thức
1/2

u

Hk

Dα u

=

2 
L2

Hps (Ω)

=

inf

U ∈Hps (Rn ),U|Ω =u

U

Hps (Rn ) .

Định lý 1.1 (Định lí nhúng). Giả sử Ω là Rn , Rn+ hoặc một miền bị chặn với
biên Lipschitz. Giả sử 1 < p < ∞ và 0 ≤ s < ∞.

8


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1. Nếu 0 ≤ s

Hps (Ω) ⊂
C(Ω)
khi Ω bị chặn .

(1.4)

Khi Ω bị chặn, phép nhúng là liên tục.
1.1.3

Bộ ba không gian

Cho X , Y là hai không gian Banach với chuẩn tương ứng là .

X

và .

Y.

Một

hàm giá trị phức ., . xác định trên không gian tích X × Y được gọi là một dạng
nửa song tuyến tính trên X × Y nếu thỏa mãn
αF + β F˜ , G = α F, G + β F˜ , G ,

α, β ∈ C, F, F˜ ∈ X, G ∈ Y,

˜ = α F, G + β F˜ , G ,
F, αG + β G



≤1

sup | F, G |,
F

G ∈ Y.

X ≤1

Khi đó Y được gọi là một không gian liên hợp của X với tích đối ngẫu ., . . Nếu
Y là liên hợp của X với tích đối ngẫu ., .
9

X×Y

thì X là liên hợp của Y với tích


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

đối ngẫu G, F

Y ×X

= F, G

X×Y .

Khi đó ta nói hai không gian X và Y là một

Toán tử quạt

1.2.1

Các định nghĩa

Định nghĩa 1.5. Cho X, Y là hai không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y . D(A)
được gọi là miền xác định của toán tử A.
• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X .
• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử

đóng, tức là
GA = {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng.

Định nghĩa 1.6. Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong
không gian Banach X . Kí hiệu
• Tập giải ρ(A) = λ ∈ C : (λ − A)−1 ∈ L(X) .
• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A)−1 được gọi là giải thức.
10


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

• Tập phổ của A là σ(A) = C\ρ(A).

Định nghĩa 1.7. Cho X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính, đóng,
xác định trù mật trên X . Giả sử rằng phổ của A nằm trong miền
Σω = {λ ∈ C : | arg λ| < ω} ,

0 < ω ≤ π,

Hàm mũ
Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc 0 ≤ ωA

góc 0 ≤ ωA < π . Với mỗi số nguyên n ∈ Z, toán tử An được định nghĩa, thật vậy,
khi n > 0 thì An là một toán tử đóng, xác định trù mật trong X , khi n < 0 thì
An = (A−1 )−n = (A−n )−1 là một toán tử bị chặn của X , và khi n = 0 thì A0 = 1

(toán tử đồng nhất trên X ). Tiếp theo chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho
số mũ thực x ∈ R bất kỳ.
Ký hiệu ω là một góc bất kỳ thỏa mãn ωA < ω < π . Với mỗi số phức z thỏa
mãn Re z > 0, ta định nghĩa A−z bởi tích phân Dunford trong L(X) như sau
A−z =

1
2πi

λ−z (λ − A)−1 dλ,

(1.8)

Γ

Trong đó, Γ là một đường cong bao quanh σ(A) theo chiều dương trong C −
(∞, 0] ∩ ρ(A). Ở đây, ta có thể lấy Γ = Γ− ∪ Γ0 ∪ Γ+ thỏa mãn
Γ± : λ = ρe±iω , δ ≤ ρ < ∞, và Γ0 : λ = δeiϕ ,

trong đó ωA < ω < π và 0 < δ < A−1

−1 .

−ω ≤ ϕ ≤ ω,

(1.9)

nghĩa và thỏa mãn các tính chất sau.
1. Ax là toán tử bị chặn trên X với −∞ < x < 0, A0 = 1 và Ax là toán tử tuyến
tính, đóng, xác định trù mật của X với 0 < x < ∞.
2. D(Ax2 ) ⊂ D(Ax1 ) với 0 ≤ x1 < x2 < ∞.
3. Ax Ax = Ax Ax = Ax+x với −∞ < x, x < ∞.
Đặc biệt, với 0 < θ < 1, Aθ là một toán tử quạt của X với góc nhỏ hơn hoặc bằng
θωA . Và Aθ thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng sau
Aθ U ≤ C AU

θ

U

1−θ

,

U ∈ D(A).

Với mọi 0 < t < ∞ và 0 < θ < ∞, ta nghiên cứu các tính chất khác của Aθ e−tA .
Aθ e−tA = e−tA Aθ =

1
2πi

λθ e−tλ (λ − A)−1 dλ

(1.10)

Γ

a(αu + β u˜, v) = αa(u, v) + βa(˜
u, v),

α, β ∈ C, u, u˜, v ∈ Z,

a(u, αv + β˜
v ) = αa(u, v) + βa(u, v˜),

α, β ∈ C, u, v, v˜ ∈ Z.

Khi a(u, v) thỏa mãn điều kiện
|a(u, v)| ≤ M u

v ,

u, v ∈ Z,

(1.11)

với M là hằng số, ta nói a(u, v) là dạng nửa song tuyến tính liên tục.
Xét dạng nửa song tuyến tính a(u, v) xác định trên Z . Với mỗi u ∈ Z , tồn tại
duy nhất Φ ∈ Z ∗ sao cho a(u, v) = Φ, v với mọi v ∈ Z . Khi đó A : u → Φ là một
13


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

toán tử tuyến tính từ Z vào Z ∗ . Toán tử A này được gọi là toán tử liên kết với
dạng nửa song tuyến tính a(u, v). Do đó
a(u, v) = Au, v

Định lý 1.2 ([5], Định lý 1.24). Cho a(u, v) là dạng nửa song tuyến tính liên
tục và thỏa mãn điều kiện bức trên Z (thỏa mãn (1.11) và (1.13)). Giả sử A là
toán tử tuyến tính liên kết với a(u, v). Khi đó A là một phép đẳng cấu từ Z vào
Z ∗ với δ u ≤ Au

∗

≤ M u và là một toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù

mật trong Z ∗ .
1.2.3

Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính

Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là bộ ba không gian với các chuẩn . , |.|, .

∗

tương ứng.

Tích trong của X là (., .) và tích đối ngẫu trong Z ∗ × Z là ., . . Xét một dạng
nửa song tuyến tính a(u, v) xác định trên Z thỏa mãn
|a(u, v)| ≤ M u

v ,

Re a(u, v) ≥ δ u 2 ,

u, v ∈ Z,


|λ||(λ − A)−1 F | ≤ (M δ −1 + 1)|F |,

F ∈ X,

|λ| (λ − A)−1 u ≤ (M δ −1 + 1) u ,

u ∈ Z.

Từ những đánh giá này ta thu được kêt quả sau.
Định lý 1.3 ([5], Định lý 2.1). Cho a(u, v) là một dạng nửa song tuyến tính
trên Z thỏa mãn (1.14) và (1.15). Khi đó A, A|X , và A|Z tương ứng là các toán
tử tuyến tính của Z ∗ , X và Z được xác định từ a(u, v), chúng thỏa mãn (1.5) và
π
M +δ
và hằng số
. Do đó chúng là các toán tử quạt của
2
δ
π
Z ∗ , X và Z tương ứng, với góc nhỏ hơn .
2

(1.6) với góc ω =

1.2.4

Toán tử quạt trong không gian L2

Xét dạng nửa song tuyến tính xác định trên H 1 (Rn )
n

i,j=1

với hằng số δ > 0 và c(x) là hàm giá trị thực thỏa mãn
c ∈ L∞ (Rn )

và

c(x) ≥ c0 > 0, hầu khắp nơi x ∈ Rn .

Rõ ràng a(u, v) thỏa mãn (1.14) với M = max

i,j

ai,j

L∞ ,

c

L∞

(1.18) kéo theo
n

Re a(u, v) =

aij (x)[(Re Di u)(Re Dj u)
i,j=1

Rn

n

aij (x)Di uDj vdx =

−

Rn

i,j=1

Dj [aij (x)Di u], v
i,j=1

suy ra

H 1∗ ×H 1

n

Au = −

Dj [aij (x)Di u] + c(x)u

trong H 1 (Rn )∗ .

i,j=1

Theo Định lý 1.3 ta có
Định lý 1.4 ([5], Định lý 2.2). Giả sử (1.17), (1.18) và (1.19) được thỏa mãn.
Khi đó toán tử A liên kết với dạng nửa song tuyến tính (1.16) thỏa mãn (1.5),


1 ≤ i, j ≤ n,

(1.21)

ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ Rn , hầu khắp nơi x ∈ Ω

(1.22)

n

aij (x)ξi ξj ≥ δ|ξ|2 ,
i,j=1

với hằng số δ > 0 và c(x) là hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn
c ∈ L∞ (Ω)

và

c(x) ≥ c0 > 0, hầu khắp nơi x ∈ Ω.

(1.23)

Tương tự phần trên ta có a(u, v) thỏa mãn điều kiện (1.14), (1.15) trên H 1 (Ω).
Trong trường hợp này H 1 (Ω)∗ không là không gian suy rộng, vì thế toán tử
liên kết A không biểu diễn một toán tử khả vi như thông thường. Nhưng nếu
u ∈ D(A|L2 ), tức là Au ∈ L2 (Ω) thì theo công thức Green ta có
n

(Au, v)L2 = a(u, v) = −

∂ν

νj (x)aij (x)Di u = 0

trên ∂Ω.

∂Ω

i,j=1

Khi đó Au được cho bởi
n

Au = −

Dj [aij (x)Di u] + c(x)u,

trong L2 (Ω).

i,j=1

Định lý 1.5 ([5], Định lý 2.4). Cho Ω là một miền trong Rn . Giả sử (1.21),
(1.22) và (1.23) được thỏa mãn. Khi đó, toán tử A liên kết với dạng (1.20) thỏa
π
và M được xác định bởi aij L∞ , c L∞ , δ, c0 , tức là A
2
π
là toán tử quạt của H 1 (Ω)∗ , L2 (Ω), H 1 (Ω) tương ứng, với góc nhỏ hơn .
2
n


Xét miền xác định của hàm lũy thừa Aθ với 0 ≤ θ ≤ 1, khi đó ta nhận được
Định lý 1.6 ([5], Định lý 16.7). Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên C 2
hoặc lồi, a(., .) là dạng nửa song tuyến tính xác định trên H 1 (Ω) có dạng (1.20).
Kí hiệu A là toán tử quạt liên kết với a(., .). Giả sử (1.21), (1.22), (1.23) được
thỏa mãn và aij (x) ∈ C 1 (Ω), 1 ≤ i, j ≤ n. Khi đó

H 2θ (Ω) nếu 0 ≤ θ < 3 ,
θ
D(A ) =

4

H 2θ (Ω) nếu 3 < θ ≤ 1,
N
4

với chuẩn tương đương
C −1 u

H 2θ

≤ Aθ u

L2

≤C u

trong đó C > 0.
17

A=

D(A) =

u1
u2

A1

0

0

A2

(1.24)

,

: u1 ∈ D(A1 ), u2 ∈ D(A2 )

.

Định lý 1.7 ([5], Định lý 2.16). Giả sử Ak là toán tử quạt trong Xk với góc
0 ≤ ωk < π , với k = 1, 2. Khi đó toán tử ma trận A xác định bởi (1.24) thỏa mãn

(1.5) và (1.6) với mọi góc ω sao cho ωA < ω ≤ π , ở đây ωA = max {ω1 ; ω2 } và
với hằng số Mω = max {M1,ω ; M2,ω }. Tức là, A là toán tử quạt của X với góc nhỏ
hơn hoặc bằng ωA .


∀λ ∈
/ Σω , ωA < ω


0 ≤ t ≤ T.

0

1.3.2

Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Bài toán Cauchy cho một phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trừu tượng
trong kông gian Banach X có dạng như sau

 dU + AU = F (U ) + G(t),
dt
 U (0) = U0 .

0 < t < T,

(1.28)

Ở đây, A là toán tử quạt của X thỏa mãn (1.25) và (1.26); F là toán tử không
tuyến tính từ D(Aη ) vào X với 0 < η < 1, F thỏa mãn điều kiện Lipschitz; hàm
G(t) được cho trong không gian F β,σ ((a, b]; X), 0 < σ < β ; giá trị ban đầu U0

được cho trong X .
Trong đó toán tử F : D(Aη ) → X gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu
F (U ) − F (V ) ≤ϕ( U + V )[ Aη (U − V )
+ ( Aη U + Aη V ) U − V ],

U, V ∈ D(Aη ),

F β,σ

(1.32)

và U0 . Hơn nữa, U thỏa

mãn đánh giá
U (t) + t

dU
(t) + t AU (t) ≤ CG,U0 ,
dt

với hằng số CG,U0 > 0 phụ thuộc vào G

F β,σ

0 < t ≤ TG,U0 ,

(1.33)

và U0 .

Chứng minh. Với mỗi S ∈ (0, T ], ta đặt không gian Banach gồm các hàm liên
tục trên (0, S] như sau
X (S) =

U ∈ C((0, S]; D(Aη )) ∩ C([0, S]; X) : sup tη Aη U (t) < ∞ ,
0
0 ≤ t ≤ S.

0

Mục tiêu của ta là chứng minh rằng Φ là ánh xạ co từ K(S) vào chính nó với
S đủ nhỏ và điểm bất động của Φ chính là nghiệm cần tìm của (1.28). Với mục
20


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

tiêu này, ta chia chứng minh thành bốn bước chính. Kí hiệu CG,U0 thay thế cho
toàn bộ các hằng số đươc xác định trong suốt quá trình chứng minh.
Bước 1 . Chứng minh Φ là ánh xạ từ K(S) vào chính nó. Cho U ∈ K(S), từ
(1.31) ta có
F (U (t)) ≤ ψ( U )( Aη U + 1),

kết hợp với (1.34), (1.35) suy ra
F (U (t)) ≤ ψ(C2 )(C1 t−η + 1),

0 ≤ t ≤ S.

(1.36)

Với mọi θ thỏa mãn 0 ≤ θ < 1 ta có
t
θ −tA

θ


0

Đặt
Aξ = sup tξ Aξ e−tA

với 0 ≤ ξ ≤ 1,

0
(1 − u)−θ (C1 (ut)−η + 1)tdu

θ

t A ΦU (t) ≤ Aθ U0 + Aθ ψ(C2 )
0

1

+ Aθ G

(1 − u)−θ u−1 du

F β,σ
0

1
−η+1

1
−θ −η

≤ Aθ U0 + Aθ ψ(C2 ) C1 t

(1 − u)

u

0



Với θ = η ta có
tη Aη ΦU (t) ≤ Aη U0 + Aη ψ(C2 ) C1 t−η+1 B(1 − η, 1 − η) + tB(1 − η, 1)
+ Aη G

F β,σ B(1 − η, 0).

Với θ = 0 ta có
ΦU (t) ≤ A0 U0 + A0 ψ(C2 ) C1 t−η+1 B(1, 1 − η) + tB(1, 1) + G

Chọn S đủ nhỏ, cố định C1 , C2 sao cho
C1 > Aη U0 + Aη G
C2 > A0 U0 + G

F β,σ B(1 − η, 0),

F β,σ B(1, 0).

Khi đó
tη Aη ΦU (t) ≤ C1 ,
ΦU (t) ≤ C2 .

Như vậy ΦU thỏa mãn (1.34) và (1.35).

22

F β,σ B(1, 0).


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

e−(s−τ )A [F (U (τ )) + G(τ )]dτ.
0

Suy ra
s
−(t−s)A

ΦU (t) − ΦU (s) = e

−sA

−1

e

e−(s−τ )A [F (U (τ )) + G(τ )]dτ

U0 +
0

t

e−(t−τ )A [F (U (τ )) + G(τ )]dτ

+
s

t
−(t−s)A



Ta viết −1 = (η + σ − 1) + (−σ − η)
t

t

(t − τ )

−η −1

τ

(t − τ )−η (τ − s)η+σ−1 s−σ−η dτ.

dτ ≤

s

s

Đổi biến u = τ − s, du = dτ
t

t−s
−η

(t − τ )

η+σ−1 −σ−η


= B(1 − η, η + σ)(t − s)σ s−σ−η .

23


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Như vậy ta có
Aη [ΦU (t) − ΦU (s)] ≤ CG,U0 (t − s)σ s−(η+σ) ,

0 < s < t ≤ S.

(1.38)

Chứng minh này chỉ ra rằng ΦU ∈ C((0, S]; D(Aη )).
Tương tự
e−(t−s)A − 1 A−σ

ΦU (t) − ΦU (s) ≤

Aσ ΦU (s)

t

e−(t−τ )A [ F (U (τ )) + G(τ ) ]dτ

+
s

t

σ−1 −σ

(τ − s)

s

s

Lại đổi biến v =

uσ−1 s−σ du.

dτ =
0

du
u
, dv =
t−s
t−s
t−s

1

uσ−1 s−σ du =
0

v σ−1 (t − s)σ s−σ dv
0


+ t) → 0.

Suy ra ΦU ∈ C([0, S]; X).
Vậy Φ là ánh xạ từ K(s) vào chính nó với S đủ nhỏ.

24

(1.39)