ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG THẾ TUẤN
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
MỘT HỆ PHẢN ỨNG CÁC CHẤT
XÚC TÁC - ỨC CHẾ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn

n
+
hoặc trong một miền bị
chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.5 Các định lí nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
i
1.7.6 Vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.7 Không gian
˚
H
s
p
(Ω) và H
−s
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.8 Không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa 20
2.1 Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . 21
2.1.3 Toán tử quạt trong không gian L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4 Tính chất chuyển trong L
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Nửa nhóm giải tích sinh bởi một toán tử quạt . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính . . . 29

0
và nghiệm tổng quát của nó được cho bởi công thức
U(t) = e
−tA
U
0
+

t
0
e
−(t−s)A
F (s)ds. Không chỉ vậy, mỗi nghiệm của Bài toán Cauchy
đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính,
dU
dt
+AU = F (U), 0 < t ≤ T ; U(0) = U
0
cũng là một nghiệm của phương trình tích phân U(t) = e
−tA
U
0
+

t
0
e
−(t−s)A
F (U(s))ds.
Những công thức nghiệm như thế cung cấp cho ta nhiều thông tin quan trọng về các

Hoàng Thế Tuấn
v
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một
không gian Banach
Cho X là một không gian Banach với chuẩn ||. ||. Ta sẽ giới thiệu một số không
gian các hàm nhận giá trị trong X, xác định trên một khoảng của R hoặc một miền
của C.
Không gian các hàm bị chặn đều
Cho [a, b] là một đoạn trong R. Xét không gian các hàm bị chặn đều trên [a, b], kí
hiệu là B([a, b]; X). Trên B([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn supremum
F  = sup
a≤t≤b
F (t).
Với chuẩn này B([a, b]; X) là một không gian Banach.
1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục
Cho [a, b] là một đoạn trong R và m = 0, 1, 2, là số nguyên không âm. Kí hiệu
C
m
([a, b]; X) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp m trên [a, b]. Khi m = 0,
C
0
([a, b]; X) là không gian các hàm liên tục và thường được kí hiệu một cách đơn giản
là C([a, b]; X). Trên C
m
([a, b]; X) ta sử dụng chuẩn sau
F 
C
m

t
N
= b và lấy tổng
N

n=1
(t
n
− t
n−1
)F (τ
n
) với t
n−1
≤ τ
n
≤ t
n
.
Rõ ràng
A(
N

n=1
(t
n
− t
n−1
)F (τ
n

AF (t)dt.
Định lý 1.1.2. Cho a ∈ C([0, T ], R) và f ∈ C([0, T ], R). Nếu u ∈ C([0, T ], R) ∩
C
1
((0, T ], R) và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân
du
dt
+ a(t)u ≤ f (t), 0 < t ≤ T, (1.1)
thì
u(t) ≤ e
−

t
0
a(τ)dτ
u(0) +

t
0
e
−

t
s
a(τ)dτ
f(s)ds, 0 < t ≤ T.
Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 và f (t) ≡ f > 0 thì
u(t) ≤ e
−δt
u(0) + fδ

−

t
s
a(τ)dτ
≤

t
0
f(s)e
−

t
s
a(τ)dτ
ds.
Từ (1.1) chúng ta có
u(t) ≤ e
−

t
0
a(τ)dτ
u(0) +

t
0
e
−


C
m+σ
= F 
C
m
+ sup
a≤s<t≤b
F
(m)
(t) − F
(m)
(s)
|t − s|
σ
.
Với chuẩn này, C
m+σ
([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [3, Tr. 241]).
Khi σ = 1, gọi C
m,1
([a, b]; X) là tập tất cả các hàm khả vi liên tục tới cấp m, có
đạo hàm cấp m liên tục Lipchitz trên [a, b]. Trên lớp hàm này ta đưa vào chuẩn sau
F 
C
m,1
= F 
C
m
+ sup
a≤t<s≤b

= sup
a≤t≤b
sup
a≤s<t
(s −a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
< ∞;
3. Khi t → a,
ω
F
(t) = sup
a≤s<t
(s − a)
1−β+σ
||F (t) − F (s)||
(t − s)
σ
→ 0.
Trên F
β, σ
((a, b]; X) ta đưa vào chuẩn
F 
F
β, σ
= sup
a≤t≤b
(t − a)

Cho X, Y là các không gian Banach với các chuẩn tương ứng là ||. ||
X
, ||. ||
Y
. Không
gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y được kí hiệu bởi L(X, Y ). Không gian L(X, Y )
được trang bị chuẩn
A
L(X,Y )
= sup
U
X
≤1
AU
Y
.
Với chuẩn này, L(X, Y ) là một không gian Banach. Khi X = Y, L(X, Y ) được viết gọn
là L(X). Kết quả sau đây được gọi là Định lý bị chặn đều.
Định lý 1.2.1 ([15], Tr. 69). Giả sử X và Y là các không gian Banach. Cho {A
α
}
α∈I
là một họ các toán tử bị chặn từ X vào Y với tập chỉ số I. Nếu sup
α∈I
A
α
U
Y
< ∞
với mọi U ∈ X, thì sup

. Ta định nghĩa một lân cận của toán tử 0 trong
L(X, Y ) là tập U có dạng
U = {A ∈ L(X, Y ) : p
U
i
(A) < 
i
, i = 1, , n}.
Trường hợp A ∈ L(X, Y ) là toán tử bất kì, lân cận của A là tập có dạng A + U. Trên
L(X, Y ) ta định nghĩa một tô-pô như sau. Một tập được gọi là mở trong L(X, Y ) khi
và chỉ khi nó chứa lân cận của mọi điểm nằm trong nó. Với tô-pô này, L(X, Y ) trở
thành một không gian tô-pô tuyến tính, lồi địa phương (xem [15, Tr. 26]). Không gian
4
tô-pô này được kí hiệu là L
s
(X, Y ). Đây là tô-pô mạnh trên L(X, Y ). Trong khi đó,
tô-pô xác định bởi chuẩn toán tử được gọi là tô-pô đều trên L(X, Y ). Chú ý, theo Định
lý 1.2.1 vừa phát biểu L
s
(X, Y ) là không gian đủ.
Xét một dãy {A
n
} trong L(X, Y ). Ta nói rằng {A
n
} hội tụ mạnh tới một toán tử
bị chặn A nếu A
n
hội tụ tới A theo tô-pô mạnh, tức là A
n
U → AU trong Y với mọi

Khi D(A) ⊂ Y, D(A
|Y
) = {U ∈ D(A) : AU ∈ Y }.
1.2.2 Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford
Cho A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong không gian Banach
X. Tập ρ(A) chứa các số phức λ sao cho (λ − A) có toán tử ngược (λ − A)
−1
∈ L(X)
được gọi là tập giải thức của A. Ta biết rằng ρ(A) là tập mở trong C còn (λ −A)
−1
là
một hàm giải tích xác định trên ρ(A), nhận giá trị trong L(X) (xem [2, Tr. 158]). Vì
vậy với mỗi λ
0
∈ ρ(A) ta có
(λ − A)
−1
=
∞

n=0
(−1)
n
(λ − λ
0
)
n
(λ
0
− A)

dλ,
5
ở đây C là đường cong Jordan trơn, hoặc trơn từng khúc nằm trong D bao quanh
σ(A). Tích phân này xác định trong L(X), không phụ thuộc vào cách chọn đường cong
Jordan C. Người ta gọi nó là Tích phân Dunford. Trong khi đó toán tử f(A) được gọi
là Tích phân hàm liên kết với f(λ).
1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian Banach. Một họ {T (t)}
t≥0
các toán tử
bị chặn trong X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh hoặc C
0
-nửa nhóm nếu các
tính chất sau được thỏa mãn
1. T (t + s) = T (t)T (s);
2. T (0) = I;
3. Với mỗi x ∈ X, ánh xạ: [0, ∞)  t → T (t)x ∈ X liên tục theo t.
Định nghĩa 1.2.2. Cho {T(t)}
t≥0
là một nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử bị chặn
trên không gian Banach X. Toán tử A định nghĩa bởi
Ax = lim
h→0
+
T (h)x − x
h
được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {T (t)}
t≥0
. Miền xác định D(A) của A là tập
tất cả các x ∈ X sao cho giới hạn trong vế phải của đẳng thức vừa nêu tồn tại.

1. U(z) là một hàm giải tích trong Σ
φ
;
2. U(z) thỏa mãn tính chất nửa nhóm U(z + z

) = U(z)U(z

) với mọi z, z

∈ Σ
φ
;
3. Với bất kì φ

sao cho 0 < φ

< φ, U(z) hội tụ mạnh tới toán tử 1 trong X khi
Σ
φ

\ {0}  z → 0.
Do tính chất thứ ba ở trên, ta định nghĩa được U(0) = 1. Vì nửa nhóm giải tích U(z)
trong Σ
φ
có thể mở rộng được lên một miền quạt rộng hơn (có góc φ lớn hơn), nên
một cách tự nhiên ta xét supremum tập tất cả các góc của những hình quạt mà U(z)
có thể mở rộng lên được. Ta gọi giá trị này là góc của nửa nhóm U(z) và kí hiệu nó là
φ
U
.

−zA
 ≤ C
φ
e
−(β+δ
φ
)|z|
, z ∈ Σ
φ
, 0 < φ <
π
2
− ω, (1.6)
với các hằng số δ
φ
> 0 và C
φ
≥ 1 chỉ phụ thuộc vào φ.
Chứng minh. Xem trong [14, Tr. 119].
7
1.3 Nội suy không gian Banach
Với X
0
, X
1
là hai không gian Banach với các chuẩn tương ứng là . 
X
0
, . 
X

F 
H
= max

sup
−∞<y<∞
F (iy)
X
0
, sup
−∞<y<∞
F (1 + iy)
X
1

.
Với chuẩn này H(X
0
, X
1
) là một không gian Banach (xem [13, Định lý 1.9.1]).
Cho θ là một số không âm thỏa mãn 0 ≤ θ ≤ 1, ta định nghĩa không gian [X
0
, X
1
]
θ
như sau
[X
0

θ
là một không gian Banach và được gọi là Không gian nội suy từ X
1
,
X
0
(xem [13, Định lý 1.9.2]). Sau đây là vài tính chất cơ bản của các Không gian nội
suy, chứng minh chi tiết xem [13, Định lý 1.9.3].
1. [X
0
, X
1
]
0
= X
0
và [X
0
, X
1
]
1
= X
1
;
2. Với 0 < θ < 1, X
1
⊂ [X
0
, X

, X
1
]
θ
, phép nhúng ở đây là liên tục.
8
1.4 Không gian và các toán tử liên hợp
1.4.1 Không gian đối ngẫu
Cho X là một không gian Banach với chuẩn . . Coi C như một không gian Banach
với chuẩn thông thường, xét không gian Banach L(X, C) với chuẩn
||Φ|| = sup
F ≤1
|Φ(F )|, Φ ∈ L(X, C).
Ta thường kí hiệu không gian này là X

và gọi nó là không gian đối ngẫu của X. Mỗi
toán tử tuyến tính trong X

được gọi là một phiếm hàm tuyến tính trên X. Tuy nhiên
để thuận tiện thay vì xét phép nhân vô hướng thông thường, trên X

ta sẽ xét phép
nhân vô hướng sau
(αΦ)(F ) = ¯αΦ(F ) với mọiα ∈ C, Φ ∈ X

, F ∈ X.
Vì X

là một không gian Banach, ta có thể xét không gian đối ngẫu X


một dạng tựa tuyến tính nếu nó thỏa mãn

αF + β

F , G
X×Y
= αF, G
X×Y
+ β

F , G
X×Y
, α, β ∈ C, F,

F ∈ X, G ∈ Y,
F, αG + β

G
X×Y
= ¯αF, G
X×Y
+
¯
βF,

G
X×Y
, α, β ∈ C, F ∈ X, G,

G ∈ Y.

X×Y
giữa X và Y, thì Y được gọi là không gian liên hợp của
X với tích đối ngẫu ., .
X×Y
và được ký hiệu là X
∗
. Dễ thấy nếu Y là không gian liên
hợp của X với tích đối ngẫu ., .
X×Y
thì X cũng là không gian liên hợp của Y với tích
đối ngẫu ., .
Y ×X
.
1.4.3 Toán tử liên hợp
Cho {X, X
∗
} (tương ứng {Y, Y
∗
}) là một cặp không gian Banach liên hợp với tích
đối ngẫu ., .
X×X
∗
(tương ứng ., .
Y ×Y
∗
). Giả sử A là một toán tử tuyến tính xác định
trù mật từ không gian con D(A) ⊂ X vào Y . Lấy một toán tử A
∗
xác định trong
D(A

= AU, Ψ
Y ×Y
∗
với mọi U ∈ D(A), Ψ ∈ D(A
∗
).
Dễ dàng kiểm tra được rằng D(A
∗
) là một không gian con tuyến tính của Y
∗
và A
∗
là
một toán tử tuyến tính. Toán tử A
∗
này được gọi là liên hợp của A đối với các cặp liên
hợp {X, X
∗
} và {Y, Y
∗
}. Nếu A bị chặn thì A
∗
cũng bị chặn, hơn nữa A = A
∗
.
Ngoài ra nếu X và Y là các không gian Banach phản xạ, ta có định lý sau.
Định lý 1.4.2 ([14], Tr. 21). Giả sử X, Y là các không gian Banach phản xạ và các
cặp liên hợp {X, X
∗
}, {Y, Y

. Hơn nữa A và
A
∗
thỏa mãn các tính chất sau
1. A
∗∗
= A;
10
2. λ ∈ ρ(A
∗
) khi và chỉ khi
¯
λ ∈ ρ(A);
3. Nếu λ ∈ ρ(A
∗
), thì (λ − A
∗
)
−1
= [(
¯
λ − A)
−1
]
∗
.
Chú ý khi A
∗
= A, A được gọi là toán tử tự liên hợp.
1.5 Ngoại suy không gian Banach

|U, Φ|, U ∈ Z,
Φ
∗
= sup
U≤1
|U, Φ|, Φ ∈ Z
∗
,
ở đây . 
∗
là chuẩn trên Z
∗
. Ngoài ra, ta cũng thấy rằng với U, V ∈ Z
U, V 
Z
∗
×Z
= V, U
Z×Z
∗
= (V, U) = (U, V ) = U, V 
Z×Z
∗
,
tức là
U, V 
Z×Z
∗
= (U, V ) = U, V 
Z

∗
.
Vì X trù mật trong Z
∗
, A được mở rộng một cách duy nhất lên Z
∗
thành một toán
tử bị chặn.
1.6 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến
tính
1.6.1 Dạng tựa tuyến tính và toán tử liên kết
Cho Z ⊂ X ⊂ Z
∗
là một Bộ ba. Theo định nghĩa {Z, Z
∗
} là một cặp liên hợp. Trong
mục này ta sử dụng tích đối ngẫu ., .
Z
∗
×Z
thay vì ., .
Z×Z
∗
, tất nhiên ., .
Z
∗
×Z
=
., .
Z×Z

AU
∗
= sup
V ≤1
|AU, V | ≤ MU, U ∈ Z.
Nếu với mọi U ∈ Z, tồn tại hằng số dương δ sao cho
Re a(U, U) ≥ δU
2
, (1.10)
thì a(U, V ) được gọi là một dạng bức. Hiển nhiên từ (1.10) suy ra rằng nếu a(U, U) = 0
thì U = 0.
Sau đây ta phát biểu Định lý Lax-Milgram. Chứng minh chi tiết định lý này có
trong [15, Tr. 92].
12
Định lý 1.6.1. Cho a(U, V ) là một dạng liên tục và bức trên Z. Khi đó với bất kì
Ψ ∈ Z

, tồn tại duy nhất phần tử V ∈ Z sao cho Ψ(U) = a(U, V ) với mọi U ∈ Z.
Sử dụng Định lý Lax-Milgram ta chứng minh được rằng toán tử liên kết A là một
đẳng cấu từ Z tới Z
∗
.
Định lý 1.6.2 ([14], Tr. 26). Cho a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính thỏa mãn (1.8),
(1.10). Gọi A là toán tử liên kết với dạng này. Khi đó A là một đẳng cấu từ Z tới Z
∗
với đánh giá δU ≤ AU
∗
≤ MU. Ngoài ra, A là toán tử tuyến tính đóng và xác
định trù mật trong Z
∗

∗
. Hơn nữa khi U ∈ D(A
|Z
), ta có a(U, V ) = U, V 
Z×Z
∗
với mọi V ∈ Z.
1.6.2 Dạng liên hợp và toán tử liên hợp
Khi a(U, V ) là một dạng tựa tuyến tính liên tục và bức, các Hạn chế A
|X
và A
|Z
của toán tử liên kết A đối với dạng này là các toán tử đóng, xác định trù mật tương
ứng trong X và Z. Thật vậy, xét dạng tựa tuyến tính a
∗
(U, V ) như sau
a
∗
(U, V ) = a(V, U), (U, V ) ∈ Z × Z.
Ta gọi a
∗
(U, V ) là dạng liên hợp của a(U, V ). Rõ ràng a
∗
(U, V ) cũng liên tục và bức
trên Z. Gỉa sử B là toán tử liên kết với a
∗
(U, V ). Như đã chỉ ra trong mục trước,
dưới các Giả thiết (1.8) và (1.10), B là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật
trong Z
∗

U, V  với mọi V ∈ Z; tóm
lại, U = B
∗

U khi và chỉ khi U = A

U ∈ Z và ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.6.3. Cho A là toán tử tuyến tính liên kết với a(U, V ). Giả sử các Điều
kiện (1.8) và (1.10) được thỏa mãn. Khi đó A
|X
, A
|Z
là các toán tử đóng, xác định
trù mật tương ứng trong X và Z. Ngoài ra các toán tử liên hợp A
∗
và (A
|Z
)
∗
ứng với
cặp {Z, Z
∗
} tương ứng là B
|Z
và B. Trong khi đó, toán tử liên hợp (A
|X
)
∗
ứng với cặp
{X, X} là B

Định lý 1.4.3.
1.7 Không gian Sobolev-Lebesgue
1.7.1 Biên của miền
Cho Ω là một tập mở trong R
n
. Ta nói rằng Ω có biên ∂Ω liên tục (tương ứng
Lipschitz, thuộc lớp C
m
(m = 1, 2, 3, . . .)) nếu với mọi x ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận V
của x trong R
n
và một hệ tọa độ trực giao mới (y
1
, . . . , y
n
) sao cho
1. V là một hình hộp trong hệ tọa độ mới:
V = {(y
1
, . . . , y
n
); −a
i
< y
i
< a
i
, i = 1, . . . , n};
2. Tồn tại một hàm ϕ liên tục (tương ứng Lipschitz, thuộc lớp C
m

, y
n
) ∈ V ; y
n
> ϕ(y

)},
∂Ω ∩V = {y = (y

, y
n
) ∈ V ; y
n
= ϕ(y

)};
3. ϕ
C(V

)
≤ c (tương ứng ϕ
Lip(V

)
≤ c, hoặc ϕ
C
m
(V

)

+ . . . + α
n
. Ta trang bị cho H
k
p
(Ω) chuẩn
u
H
k
p
=


|α|≤k
D
α
u
p
L
p

1
p
, u ∈ H
k
p
(Ω).
Với chuẩn này H
k
p

, x
n
) : x

∈ R
n−1
, x
n
> 0

hoặc là một
miền bị chặn trong R
n
với biên Lipchitz, theo các Định lý 5 và 5’ trong [12], ta có thể
xây dựng một toán tử mở rộng biến các hàm trong Ω thành các hàm trong R
n
.
Định lý 1.7.1. Giả sử Ω là R
n
+
hoặc là một miền bị chặn trong R
n
với biên Lipschitz.
Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính C biến các hàm trong Ω thành các hàm trong R
n
với các tính chất sau
1. (Cu)
|Ω
= u;
2. C là một toán tử liên tục từ H

k
p
(Ω) có thể được mở rộng cho trường hợp
các cấp k không nguyên. Trong mục này, chúng ta xét Ω = R
n
. Giả sử s ≥ 0, kí hiệu
H
s
p
(R
n
) là không gian các hàm có tính chất như sau
H
s
p
(R
n
) = {u ∈ S(R
n
)

: F
−1
[(1 + |ξ|
2
)
s
2
Fu] ∈ L
p

s
2
Fu]
L
p
, u ∈ H
s
p
(R
n
).
15
Khi s nguyên, không âm, người ta chứng minh được rằng hai định nghĩa của H
k
p
(R
n
)
và H
s
p
(R
n
) thật ra là tương đương.
Khi p = 2, H
s
2
(R
n
) là không gian Hilbert với tích trong

n
)
tương đương với
u

H
s
2
= u
L
2
+

|α|≤k


R
n
×R
n
|D
α
u(x) − D
α
u(y)|
2
|x − y|
n+2σ
dx dy


p
(Ω) nằm trong H
s
p
(Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm
U ∈ H
s
p
(R
n
) sao cho U
|Ω
= u hầu khắp nơi trong Ω. Với u ∈ H
s
p
(Ω), chuẩn trong H
s
p
của nó được định nghĩa là
u
H
s
p
(Ω)
= inf
U∈H
s
p
(R
n

s
p
(Ω) thực chất là
không gian thương H
s
p
(R
n
)/K. Theo Định lý 1.7.1, ta thấy định nghĩa này là phù hợp
với định nghĩa của chuẩn ở phần trước khi s là một số nguyên.
Khi p = 2 và s = k + σ, trong đó k = [s] là phần nguyên của s và 0 < σ < 1, chuẩn
của H
s
2
(Ω) tương đương với
||u||

H
s
2
= ||u||
L
2
+

|α|≤k


Ω×Ω
|D

(Ω), ở đây các phép nhúng là liên tục.
Các không gian H
s
p
(Ω) này được gọi bằng các tên khác nhau. Khi bậc k nguyên,
H
k
p
(Ω) được gọi là không gian Sobolev. Khi p = 2, H
s
2
(Ω) thường được viết gọn là
H
s
(Ω) và cũng được gọi là không gian Sobolev. Khi 1 < p < ∞, p = 2, H
s
p
(Ω) được
gọi là không gian Lebesgue.
16
1.7.5 Các định lí nhúng
Theo Định lý 2.8.1/Chú ý 2 và Định lý 4.6.1 trong [13] ta thu được kết quả sau.
Định lý 1.7.2. Cho Ω là R
n
, R
n
+
hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử
1 < p < ∞ và 0 ≤ s < ∞. Ta có các khẳng định sau
1. Nếu 0 ≤ s <

(Ω) ⊂

C(R
n
) (tương ứng C(R
n
+
)), khi Ω = R
n
(tương ứng R
n
+
),
C(Ω), khi Ω bị chặn.
(1.14)
Đặc biệt khi Ω bị chặn, phép nhúng ở đây là liên tục.
1.7.6 Vết
Trước hết xét trường hợp Ω = R
n
+
. Nếu 1 < p < ∞ và s >
n
p
, từ (1.14) ta thấy rằng
H
s
(R
n
+
) ⊂ C(R

p
(R
n
+
) đến L
p
(∂R
n
+
) (xem [13, Định lý 2.9.3]).
Trong mục này ta sẽ giới thiệu một số mở rộng của những kết quả trên khi Ω là
R
n
+
hoặc là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Chứng minh những kết quả có trong
[14, Tr. 46]. Nhắc lại rằng D(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact
trong Ω.
Định lý 1.7.3. Cho Ω là R
n
+
hoặc một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử 1 <
p < ∞. Nếu s >
1
p
, thì vết γ : f → f
|∂Ω
là một toán tử bị chặn từ H
s
p
(Ω) lên L

s
p
(R
n
).
17
Khi
1
p
< s ≤ 1, theo Định lý 1.42 trong [14], ta có kết quả sau.
Định lý 1.7.6. Cho Ω là miền như trong hai định lý trên và 1 < p < ∞. Nếu
1
p
< s ≤ 1, một hàm u ∈ H
s
p
(Ω) thuộc bao đóng của D(Ω) trong H
s
p
(Ω) khi và chỉ khi
u
|∂Ω
= 0.
1.7.7 Không gian
˚
H
s
p
(Ω) và H
−s

p
(R
n
) = H
s
p
(R
n
) với mọi 0 ≤ s < ∞. Khi Ω là R
n
+
hoặc
là một miền bị chặn với biên Lipchitz thì theo Định lý 1.7.4
˚
H
s
p
(Ω) = H
s
p
(Ω) nếu 0 ≤ s ≤
1
p
, (1.15)
nhưng
˚
H
s
p
(Ω) = H

˚
H
s
(Ω). Khi s ≥ 0, không gian đối
ngẫu của
˚
H
s
p

(Ω) là H
−s
p
(Ω), ở đây 1 < p

< ∞,
1
p
+
1
p

= 1. Vì vậy {
˚
H
s
p

(Ω), H
−s

(Ω) =
˚
H
s
p

(Ω)

⊂ D(Ω)

. Như
vậy ta có L
p
(Ω) ⊂ H
−s
p
(Ω) theo quan hệ
u, f
˚
H
s
p

×H
−s
p
= u, f
L
p


, H
−s
p
(Ω) được cho bởi
H
−s
p
(R
n
) = {f ∈ S(R
n
)

: F
−1
[(1 + |ξ|
2
)
−
s
2
Ff] ∈ L
p
(R
n
)},
Theo [13, Định lý 2.6.1], với bất kì −∞ < s < ∞,
(H
s
p

p
(Ω) được định nghĩa như sau
L
p
(Ω) =

F =



f
1
.
.
.
f
l



; f
j
∈ L
p
(Ω) với j = 1, . . . , l

. (1.19)
Trên không gian này lấy chuẩn tích ||F ||
L
p

s
p
(Ω) =

U =



u
1
.
.
.
u
l



; u
j
∈ H
s
p
(Ω) với j = 1, . . . , l

(1.20)
với chuẩn tích ||U ||
H
s
p

2
(Ω) là các không gian Hilbert.
19
Chương 2
Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử
lũy thừa
2.1 Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản
2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt
Cho X là không gian Banach với chuẩn . , A là toán tử tuyến tính đóng, xác
định trù mật trong X. Giả sử rằng tập phổ của A được chứa trong miền quạt mở
σ(A) ⊂ Σ
ω
= {λ ∈ C : |argλ| < ω}, 0 < ω ≤ π, (2.1)
và giải thức của nó thỏa mãn ước lượng
(λ − A)
−1
 ≤
M
|λ|
, λ /∈ Σ
ω
(2.2)
với hằng số M ≥ 1. Khi đó A được gọi là toán tử quạt trong X. Điều kiện (2.1) suy
ra 0 /∈ σ(A), hay nói cách khác A có nghịch đảo bị chặn trong X. Theo (1.2), ta có
λ ∈ ρ(A) và
(λ − A)
−1
 ≤
A
−1

 ≤
M
r
0
− M|λ − λ
0
|
, với mọi λ miễn là |λ − λ
0
| <
r
0
M
.
Vì inf

argλ : |λ −λ
0
| <
r
0
M

= sin
−1
1
M
, nên với ω

thỏa mãn ω −sin