ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
NGUYỄN THỊ LÝ
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH
PHẢN ỨNG BELOUSOV-ZHABOTINSKII
VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY CHUẨN
Hà Nội – Năm 2014
Mục lục
MỞ ĐẦU 2
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Bộ ba không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính . 13
1.2.3 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính . . . . 14
1.2.4 Toán tử quạt trong không gian L
2
. . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5 Toán tử quạt trong không gian tích . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . 19

-COOH), kali
bromat KBrO
3
là một chất oxi hóa mạnh, kali bromua KBr (hoặc natri bromat
NaBrO
3
, natri bromua NaBr), cerium amonium nitrate (NH
4
)
2
Ce(NO
3
)
6
, axit
sulfuric H
2
SO
4
là axit vô cơ manh, chất chỉ thị màu Ferroin và nước trong một
bình chứa. Lúc nhiệt độ tăng cao tới mức nào đó, đột nhiên xuất hiện một cấu
trúc gồm các dao động tuần hoàn di chuyển theo những vòng đồng tâm hay
xoắn ốc, tồn tại bền vững mặc dầu phản ứng không ngừng tác động, và còn tiếp
tục phát sinh nhiều dao động thêm nữa.
Vào năm 1974, Field-Noyes trình bày mô hình toán học mô tả phản ứng
Belousov-Zhabotinskii như sau





và w là mật độ của Br
−
trong một bình được miêu tả bởi Ω. Với a, b, d là các hề số khuếch tán dương.
Các hằng số dương δ, ε, q, c là các tham số, đặc biệt δ, ε, q được xét là rất nhỏ.
Phát triển từ mô hình của Field-Noyes, Keener-Tyson đã đưa ra mô hình bài
toán đơn giản hơn bằng cách giả sử δ đủ nhỏ so với ω và sử dụng một vài tỉ lệ
thích hợp.
Trong luận văn, ta sẽ nghiên cứu mô hình Field-Noyes và mô hình Keener-
Tyson với điều kiện biên Neumann.
2
MỞ ĐẦU
Luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này cung cấp lý thuyết cơ sở cho
hai chương sau. Bao gồm những không gian cơ bản, tiếp theo là định nghĩa về
toán tử quạt, cách chuyển dạng nửa song tuyến tính về toán tử quạt, cuối cùng
là bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.
Chương 2. Mô hình Field-Noyes. Chương này trình bày mô hình toán
học mà Field-Noyes đưa ra để mô tả phản ứng Belousov - Zhabotinskii. Ta sẽ
chứng minh sự tồn tại địa phương, xây dựng đánh giá tiên nghiệm và chứng
minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán.
Chương 3. Mô hình Keener-Tyson. Tương tự như Chương 2, nội dung
của Chương 3 là chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình Keener-
Tyson.
Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
[5]. Trong đó có dựa trên đóng góp của những tác giả trong các tài liệu [1], [2],
[3] và [4].
3
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Lê Huy
Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc

n
+
=

x = (x
1
, x
2
, , x
n
) : x
i
∈ R, i = 1, n − 1, x
n
> 0

,
C([a, b]; X) =

f : [a, b] → X, f liên tục trên [a, b]

,
C
m
([a, b]; X) =

f : [a, b] → X, f khả vi liên tục đến cấp m

,
L(X, Y ) =

(Ω) =

f đo được trên Ω : f ∈ L
p
(Ω

), ∀Ω

compact
⊂ Ω

.
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Những không gian hàm cơ bản
1.1.1 Không gian H¨older
Định nghĩa 1.1. Cho tập mở Ω ⊂ R
n
và 0 < γ ≤ 1.
a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu tồn tại hằng số
C > 0 sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|
γ
, x, y ∈ Ω.
Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz.
b) Nếu u : Ω → R là bị chặn và liên tục, ta định nghĩa
u
C(Ω)
= sup

mà chuẩn
u
C
k,γ
(Ω)
=

|α|≤k
D
α
u
C(Ω)
+

|α|=k
[D
α
u]
C
0,γ
(Ω)
là hữu hạn.
6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Như vậy, không gian C
k,γ
(Ω) gồm tất cả các hàm số u sao cho các đạo hàm
riêng cấp k của nó bị chặn và liên tục H¨older bậc γ. Hơn nữa, không gian H¨older
C
k,γ

(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
< ∞.
3. Khi t → a có
ω
F
(t) = sup
a≤s<t
(s − a)
1−β+σ
F (t) − F (s)
(t − s)
σ
→ 0.
Không gian F
β,σ
((a, b]; X) được trang bị với chuẩn
F 
β,σ
F
= sup
a≤t≤b
(t − a)
1−β
F (t) + sup
a≤s<t≤b
(s − a)

dx,
với mọi φ ∈ C
∞
0
(Ω). Bằng cách quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo
hàm yếu cấp cao như sau: nếu u, v ∈ L
1
loc
(Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp
α của u, viết là v = D
α
u, nếu

Ω
D
α
uφ dx = (−1)
|α|

Ω
uD
α
φ dx,
với mọi φ ∈ C
∞
0
(Ω).
7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.4. Cho Ω là một miền trong R, với 1 ≤ p ≤ ∞ và k = 0, 1, 2, ta

u
p
L
p


1/p
.
Trường hợp p = 2, ký hiệu H
k
(Ω) = H
k
2
(Ω). Khi đó H
k
(Ω) là một không gian
Hilbert với tích vô hướng được trang bị như sau
(u, v)
H
k
=

0≤|α|≤k
(D
α
u, D
α
v)
L
2

n
H
s
p
(R
n
) =

u ∈ S(R
n
)

: F
−1
[(1 + |ξ|
2
)
s/2
Fu] ∈ L
p
(R
n
)

,
ở đây S(R
n
)

là không gian các hàm suy rộng, F và F

n
).
Hơn nữa, khi s = k thì H
k
p
(R
n
) = H
s
p
(R
n
). Khi Ω = R
n
+
hoặc Ω là một miền bị
chặn trong R
n
với biên Lipschitz
H
s
p
(Ω) =

u ∈ L
p
(Ω) : ∃U ∈ H
s
p
(R

)
.
Định lý 1.1 (Định lí nhúng). Giả sử Ω là R
n
, R
n
+
hoặc một miền bị chặn với
biên Lipschitz. Giả sử 1 < p < ∞ và 0 ≤ s < ∞.
8
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1. Nếu 0 ≤ s <
n
p
thì
H
s
p
(Ω) ⊂ L
r
(Ω) với phép nhúng liên tục, (1.2)
ở đây p ≤ r ≤
pn
n − ps
.
2. Nếu s =
n
p
thì
H

Khi Ω bị chặn, phép nhúng là liên tục.
1.1.3 Bộ ba không gian
Cho X, Y là hai không gian Banach với chuẩn tương ứng là .
X
và .
Y
. Một
hàm giá trị phức ., . xác định trên không gian tích X × Y được gọi là một dạng
nửa song tuyến tính trên X × Y nếu thỏa mãn

αF + β
˜
F , G

= α F, G + β

˜
F , G

, α, β ∈ C, F,
˜
F ∈ X, G ∈ Y,

F, αG + β
˜
G

= α F, G + β

˜

9
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
đối ngẫu G, F
Y ×X
= F, G
X×Y
. Khi đó ta nói hai không gian X và Y là một
cặp liên hợp với tích đối ngẫu ., ..
Cho Z và X là hai không gian Hilbert với tích ((., .)) và (., .) và chuẩn . và |.|
tương ứng, Z ⊂ X là nhúng liên tục và trù mật. Giả sử rằng tồn tại một không
gian Banach Z
∗
trang bị chuẩn .
∗
thỏa mãn
1. Z ⊂ X ⊂ Z
∗
là nhúng liên tục và trù mật.
2. {Z, Z
∗
} là một cặp liên hợp với tích đối ngẫu ., ..
3. Tích đối ngẫu ., . thỏa mãn
U, F  = (U, F ) U ∈ Z, F ∈ X.
Khi đó Z
∗
được gọi là không gian ngoại suy của Z ⊂ X và Z ⊂ X ⊂ Z
∗
được gọi
là bộ ba không gian.
Ta có Z

G
A
= {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng.
Định nghĩa 1.6. Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong
không gian Banach X. Kí hiệu
• Tập giải ρ(A) =

λ ∈ C : (λ − A)
−1
∈ L(X)

.
• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A)
−1
được gọi là giải thức.
10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
• Tập phổ của A là σ(A) = C\ρ(A).
Định nghĩa 1.7. Cho X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính, đóng,
xác định trù mật trên X. Giả sử rằng phổ của A nằm trong miền
Σ
ω
= {λ ∈ C : | arg λ| < ω} , 0 < ω ≤ π, (1.5)
và giải thức thỏa mãn đánh giá


(λ − A)
−1



, ∀λ /∈ Σ
ω
.
Hàm mũ
Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc 0 ≤ ω
A
<
π
2
. Ta
định nghĩa họ các toán tử tuyến tính bị chặn e
−tA
bởi tích phân Dunford trong
L(X) như sau
e
−tA
=
1
2πi

Γ
e
−tλ
(λ − A)
−1
dλ, 0 < t < ∞, (1.7)
trong đó Γ là đường cong nằm trong ρ(A) bao quanh σ(A) theo chiều dương.
Chẳng hạn, ta có thể lấy Γ = Γ
−
∪ Γ

±ω
= r(cos ω ± i sin ω) nên
|e
−tλ
| = e
−t Reλ
= e
−tr cos ω
.
Do ω ≤
π
2
nên cos ω > 0, từ đó suy ra
e
−tλ
(λ − A)
−1
 ≤ e
−tr cos ω
M
|λ|
, λ = re
±iω
.
11
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Khi đó tích phân (1.7) hội tụ trong L(X). Họ các toán tử e
−tA
được gọi là hàm
mũ sinh bởi −A. Ta có tính chất sau

n
= (A
−1
)
−n
= (A
−n
)
−1
là một toán tử bị chặn của X, và khi n = 0 thì A
0
= 1
(toán tử đồng nhất trên X). Tiếp theo chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho
số mũ thực x ∈ R bất kỳ.
Ký hiệu ω là một góc bất kỳ thỏa mãn ω
A
< ω < π. Với mỗi số phức z thỏa
mãn Re z > 0, ta định nghĩa A
−z
bởi tích phân Dunford trong L(X) như sau
A
−z
=
1
2πi

Γ
λ
−z
(λ − A)

, từ δe
iω
tới δe
−iω
và từ δe
−iω
tới ∞e
−iω
. Do
|λ
−z
| = |e
−z log λ
| = |e
−z(log ρ±iω)
| = e
±(Im z)ω
ρ
− Rez
, λ ∈ Γ
±
,
nên tích phân (1.8) hội tụ trong L(X).
Ta có một số tính chất của toán tử A
−z
như sau.
• Với mọi 0 < φ <
π
2
, khi z → 0 với z ∈ Σ

x
của A đã được định
nghĩa và thỏa mãn các tính chất sau.
1. A
x
là toán tử bị chặn trên X với −∞ < x < 0, A
0
= 1 và A
x
là toán tử tuyến
tính, đóng, xác định trù mật của X với 0 < x < ∞.
2. D(A
x
2
) ⊂ D(A
x
1
) với 0 ≤ x
1
< x
2
< ∞.
3. A
x
A
x

= A
x


e
−tA
= e
−tA
A
θ
=
1
2πi

Γ
λ
θ
e
−tλ
(λ − A)
−1
dλ (1.10)
trong đó Γ là đường cong tích phân được cho bởi (1.9) nhưng với ω
A
< ω <
π
2
.
Ta có một vài kết quả đánh giá chuẩn của A
θ
e
−tA
sau đây
A

Khi a(u, v) thỏa mãn điều kiện
|a(u, v)| ≤ Muv, u, v ∈ Z, (1.11)
với M là hằng số, ta nói a(u, v) là dạng nửa song tuyến tính liên tục.
Xét dạng nửa song tuyến tính a(u, v) xác định trên Z. Với mỗi u ∈ Z, tồn tại
duy nhất Φ ∈ Z
∗
sao cho a(u, v) = Φ, v với mọi v ∈ Z. Khi đó A : u → Φ là một
13
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
toán tử tuyến tính từ Z vào Z
∗
. Toán tử A này được gọi là toán tử liên kết với
dạng nửa song tuyến tính a(u, v). Do đó
a(u, v) = Au, v với mọi u, v ∈ Z. (1.12)
Và A là toán tử bị chặn vì
Au
∗
= sup
v≤1
| Au, v | ≤ Mu, u ∈ Z.
Do đó A
L(Z,Z
∗
)
≤ M.
Ta nói a(u, v) thỏa mãn điều kiện bức nếu
Re a(u, v) ≥ δu
2
, u ∈ Z, (1.13)
với hằng số δ > 0. Ta có định lý sau.

|Z
. Ta có A, A
|X
, A
|Z
là các toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật
trong Z
∗
, X và Z tương ứng.
Với mỗi Re λ ≤ 0, xét dạng nửa song tuyến tính
a(u, v) − λ(u, v), u, v ∈ Z,
thỏa mãn điều kiện liên tục và điều kiện bức trên Z. Do đó A là một phép đẳng
cấu từ Z vào Z
∗
. Hơn nữa, ta có những đánh giá sau đây:
|λ|(λ − A)
−1
Φ
∗
≤ (Mδ
−1
+ 1)Φ
∗
, Φ ∈ Z
∗
,
14
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
|λ||(λ − A)
−1

.
1.2.4 Toán tử quạt trong không gian L
2
Xét dạng nửa song tuyến tính xác định trên H
1
(R
n
)
a(u, v) =
n

i,j=1

R
n
a
ij
(x)D
i
uD
j
vdx +

R
n
c(x)uvdx, u, v ∈ H
1
(R
n
). (1.16)

n
(1.18)
với hằng số δ > 0 và c(x) là hàm giá trị thực thỏa mãn
c ∈ L
∞
(R
n
) và c(x) ≥ c
0
> 0, hầu khắp nơi x ∈ R
n
. (1.19)
Rõ ràng a(u, v) thỏa mãn (1.14) với M = max


i,j
a
i,j

L
∞
, c
L
∞

. Ngoài ra,
(1.18) kéo theo
Re a(u, v) =
n


L
2
.
Do đó a(u, v) cũng thỏa mãn (1.15).
15
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ta xét một bộ ba không gian H
1
(R
n
) ⊂ L
2
(R
n
) ⊂ H
1
(R
n
)
∗
và một toán tử A
liên kết với (1.16). Vì
n

i,j=1

R
n
a
ij

ij
(x)D
i
u] + c(x)u trong H
1
(R
n
)
∗
.
Theo Định lý 1.3 ta có
Định lý 1.4 ([5], Định lý 2.2). Giả sử (1.17), (1.18) và (1.19) được thỏa mãn.
Khi đó toán tử A liên kết với dạng nửa song tuyến tính (1.16) thỏa mãn (1.5),
(1.6) với ω =
π
2
và M được xác định bởi a
ij

L
∞
, c
L
∞
, δ, c
0
, tức là A là toán tử
quạt của H
1
(R

i
uD
j
vdx +

Ω
c(x)uvdx, u, v ∈ H
1
(Ω). (1.20)
Như trước, a
ij
(x), 1 ≤ i, j ≤ n là các hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn điều kiện
a
ij
∈ L
∞
(R
n
), 1 ≤ i, j ≤ n, (1.21)
n

i,j=1
a
ij
(x)ξ
i
ξ
j
≥ δ|ξ|
2

2
= a(u, v) = −
n

i,j=1

Ω
D
j
[a
ij
(x)D
i
u]vdx
+
n

i,j=1

∂Ω
[ν
j
(x)a
ij
(x)D
i
u]vdS +

Ω
c(x)uvdx, v ∈ H

n

i,j=1
D
j
[a
ij
(x)D
i
u] + c(x)u, trong L
2
(Ω).
Định lý 1.5 ([5], Định lý 2.4). Cho Ω là một miền trong R
n
. Giả sử (1.21),
(1.22) và (1.23) được thỏa mãn. Khi đó, toán tử A liên kết với dạng (1.20) thỏa
mãn (1.5), (1.6) với ω =
π
2
và M được xác định bởi a
ij

L
∞
, c
L
∞
, δ, c
0
, tức là A

i=1
ν
i
(x)D
i
u = 0 trên ∂Ω được gọi là điều kiện
biên Neumann.
Hệ quả ([5], Hệ quả 2.1). Giả sử các điều kiện (1.21), (1.22), (1.23) được
thỏa mãn và a
ij
(x) = a
ji
(x), 1 ≤ i, j ≤ n. Khi đó, toán tử quạt A liên kết với dạng
(1.20) là một toán tử tự liên hợp xác định dương trong L
2
(Ω).
Ta bổ sung định nghĩa không gian con đóng H
s
N
(Ω) của H
s
(Ω) với
3
2
< s < 2
như sau
H
s
N
(Ω) =


H
2θ
(Ω) nếu 0 ≤ θ <
3
4
,
H
2θ
N
(Ω) nếu
3
4
< θ ≤ 1,
với chuẩn tương đương
C
−1
u
H
2θ
≤ A
θ
u
L
2
≤ Cu
H
2θ
, u ∈ D(A
θ

1
f
2

∈ X.
Cho A
1
, A
2
lần lượt là toán tử quạt của X
1
và X
2
với góc 0 ≤ ω
1
< π và
0 ≤ ω
2
< π. Ta xét một toán tử ma trận có dạng
A =

A
1
0
0 A
2

, (1.24)
D(A) =


; ω
2
} và
với hằng số M
ω
= max {M
1,ω
; M
2,ω
}. Tức là, A là toán tử quạt của X với góc nhỏ
hơn hoặc bằng ω
A
.
1.3 Bài toán Cauchy
Trong luận văn ta xét toán tử quạt A trong không gian Banach X với góc
0 ≤ ω
A
<
π
2
. Với ω thỏa mãn ω
A
< ω <
π
2
, xác định
σ(A) ⊂ Σ
ω
= {λ ∈ C : | arg λ| < ω} , ω
A

dt
+ AU = F(t), 0 < t < T,
U(0) = U
0
.
(1.27)
18
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Ở đây 0 < T < ∞ là thời gian cố định; A là toán tử quạt trong X với góc
ω
A
<
π
2
thỏa mãn (1.25) và (1.26); F là một hàm được cho trong không gian
F
β,σ
((0, T ]; X), 0 < σ < β ≤ 1; giá trị ban đầu U
0
được cho trong X.
Khi đó ta có kết quả như sau.
Định lý 1.8 ([5], Định lý 3.4). Cho A thỏa mãn (1.25) và (1.26), với bất kì hàm
F ∈ F
β,σ
((0, T ]; X) và bất kì U
0
∈ X. Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm U của bài
toán (1.27) trong không gian
U ∈ C((0, T ]; D(A)) ∩ C([0, T ]; X) ∩ C
1

−(t−τ)A
F (τ)dτ, 0 ≤ t ≤ T.
1.3.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
Bài toán Cauchy cho một phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trừu tượng
trong kông gian Banach X có dạng như sau



dU
dt
+ AU = F(U) + G(t), 0 < t < T,
U(0) = U
0
.
(1.28)
Ở đây, A là toán tử quạt của X thỏa mãn (1.25) và (1.26); F là toán tử không
tuyến tính từ D(A
η
) vào X với 0 < η < 1, F thỏa mãn điều kiện Lipschitz; hàm
G(t) được cho trong không gian F
β,σ
((a, b]; X), 0 < σ < β; giá trị ban đầu U
0
được cho trong X.
Trong đó toán tử F : D(A
η
) → X gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu
F (U) − F (V ) ≤ϕ(U + V )[A
η
(U − V )

0
]; D(A)) ∩ C([0, T
G,U
0
]; X) ∩ C
1
((0, T
G,U
0
]; X), (1.32)
trong đó T
G,U
0
> 0 chỉ phụ thuộc vào chuẩn G
F
β,σ
và U
0
. Hơn nữa, U thỏa
mãn đánh giá
U(t) + t




dU
dt
(t)



U(t) < ∞

,
U
X (S)
= sup
0<t≤S
t
η
A
η
U(t) + sup
0≤t≤S
U(t).
Trong X (S) xét tập con K(S) chứa các hàm thỏa mãn
t
η
A
η
U(t) ≤ C
1
, 0 < t ≤ S, (1.34)
U(t) ≤ C
2
, 0 ≤ t ≤ S, (1.35)
với C
1
, C
2
> 0 cố định được xác định sau. Khi đó K(S) là tập con khác rỗng,

)(C
1
t
−η
+ 1), 0 ≤ t ≤ S. (1.36)
Với mọi θ thỏa mãn 0 ≤ θ < 1 ta có
A
θ
ΦU(t) = A
θ
e
−tA
U
0
+

t
0
A
θ
e
−(t−s)A
[F (U(s)) + G(s)]ds,
suy ra
A
θ
ΦU(t) ≤ A
θ
e
−tA

(t − s)
−θ
(t − s)
θ
A
θ
e
−(t−s)A
 [F (U(s)) + G(s)] ds.
Đặt
A
ξ
= sup
0<t≤T
t
ξ
A
ξ
e
−tA
 với 0 ≤ ξ ≤ 1, (1.37)
ta được
t
θ
A
θ
ΦU(t) ≤ A
θ
U
0

θ
ψ(C
2
)t
θ

t
0
(t − s)
−θ
(C
1
s
−η
+ 1)ds
+ A
θ
G
F
β,σ
t
θ

t
0
(t − s)
−θ
s
−1
ds.

β,σ

1
0
(1 − u)
−θ
u
−1
du
≤ A
θ
U
0
 + A
θ
ψ(C
2
)

C
1
t
−η+1

1
0
(1 − u)
−θ
u
−η


C
1
t
−η+1
B(1 − θ, 1 − η) + tB(1 − θ, 1)

+ A
θ
G
F
β,σ
B(1 − θ, 0).
Trong đó B(., .) là hàm bêta được xác định như sau
B(x, y) =

1
0
(1 − u)
x−1
u
y−1
du.
Với θ = η ta có
t
η
A
η
ΦU(t) ≤ A
η


C
1
t
−η+1
B(1, 1 − η) + tB(1, 1)

+ G
F
β,σ
B(1, 0).
Chọn S đủ nhỏ, cố định C
1
, C
2
sao cho
C
1
> A
η
U
0
 + A
η
G
F
β,σ
B(1 − η, 0),
C
2


t
0
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ
= e
−(t−s)A
e
−sA
U
0
+ e
−(t−s)A

s
0
e
−(s−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ
+

t
s
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ,
ΦU(s) = e
−sA
U

t
s
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ
=

e
−(t−s)A
− 1

ΦU(s) +

t
s
e
−(t−τ)A
[F (U(τ)) + G(τ )]dτ.
Sử dụng (1.37) và vì ΦU thỏa mãn (1.34) nên
A
η
[ΦU(t) − ΦU(s)] ≤ 

e
−(t−s)A
− 1

A
−σ
A

+ 1)dτ.
Ta viết −1 = (η + σ − 1) + (−σ − η)

t
s
(t − τ )
−η
τ
−1
dτ ≤

t
s
(t − τ )
−η
(τ − s)
η+σ−1
s
−σ−η
dτ.
Đổi biến u = τ − s, du = dτ

t
s
(t − τ )
−η
(τ − s)
η+σ−1
s
−σ−η

(1 − v)
−η
v
η+σ−1
(t − s)
σ
s
−σ−η
dv
= B(1 − η, η + σ)(t − s)
σ
s
−σ−η
.
23
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Như vậy ta có
A
η
[ΦU(t) − ΦU(s)] ≤ C
G,U
0
(t − s)
σ
s
−(η+σ)
, 0 < s < t ≤ S. (1.38)
Chứng minh này chỉ ra rằng ΦU ∈ C((0, S]; D(A
η
)).

t
s
τ
−1
dτ.
Ta viết −1 = (σ − 1) − σ, khi đó

t
s
τ
−1
dτ ≤

t
s
(τ − s)
σ−1
s
−σ
dτ.
Đổi biến u = τ − s, du = dτ

t
s
(τ − s)
σ−1
s
−σ
dτ =


dv
= B(1, σ)(t − s)
σ
s
−σ
.
Suy ra
ΦU(t) − ΦU(s) ≤ C
G,U
0
(t − s)
σ
s
−σ
, 0 < s < t ≤ S. (1.39)
Theo Định lý 1.8 thì e
−tA
U
0
+

t
0
e
−(t−s)A
G(s)ds liên tục tại t = 0 trong X. Hơn
nữa, từ (1.36) cho t → 0 ta có


t