Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 79
Chơng 5
Biến đổi fourier và Biến đổi laplace
Đ1. Tích phân suy rộng

Trong chơng này chúng ta kí hiệu
F(3, ) = { f : 3 } là đại số các hàm biến thực, trị phức
|| f ||

= Sup
R
| f(t) | và || f ||
1
=

+

dt|)t(f| là các chuẩn trên F(3, )
L

= { f F(3, ) : || f ||

+ } là đại số các hàm có module bị chặn
C
0
= { f C(3, ) :
t


CM
0


L

Cho khoảng I


3
và hàm F : I
ì

3




, (x, t)

F(x, t) khả tích trên
3
với mỗi x

I
cố định. Tích phân suy rộng

(t)
|Định lý
Tích phân suy rộng bị chặn đều có các tính chất sau đây
1. Nếu hàm F(x, t) liên tục trên miền I
ì

3
thì hàm f(x) liên tục trên khoảng I
2. Nếu các hàm F(x, t),
x
F


liên tục trên miền I ì 3 và tích phân

+



dt)t,x(
x
F
cũng bị
chặn đều trên khoảng I thì hàm f(x) có đạo hàm trên khoảng I

x


dx)x(f =

+









dtdx)t,x(F
b
a


Kí hiệu
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 80 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
(t) =



<

0 t 0
0t 1
gọi là hàm nhảy đơn vị
(t, h) =

=+
0t 0
0 t
gọi là hàm xung Dirac (5.1.2)

Định lý
Hàm xung Dirac có các tính chất sau đây.
1.

+

dt)t( = 1
2. Với mọi hàm f liên tục tại 0

+

dt)t()t(f = f(0)
3. t 3, (t) =



t
d)( =

+

0
d)t( và (t) = (t)
Chứng minh
1.

=
0h
lim


h
0
dt)t(f
h
1
= f(0)
3. Xét tích phân (t, h) =



t
d)h,( =






<<

ht 1
ht0
h
t


f g = g f
3. f L
1
C(3, ) f = f = f
4. f, g, h L
1
, (f + g) h = f h + g h
Chứng minh
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 81
1. Do hàm g khả tích tuyệt đối nên bị chặn trên 3
(t, ) 3
2
, | f()g(t - ) | || g ||

| f() |
Do f khả tích tuyệt đối nên tích phân suy rộng (fg)(t) hội tụ tuyệt đối và bị chặn đều
|| f g ||
1
=

+

+

dtd)t(g)(f


+


d)h,(lim)t(f
0h
=



h
0
0h
d)t(f
h
1
lim = f(t)
4. Suy ra từ tính tuyến tính của tích phân

Đ2. Các bổ đề Fourier

Bổ đề 1 Cho hàm f L
1
. Với mỗi f 3 cố định kí hiệu f
x
(t) = f(t - x) với mọi t 3
Khi đó ánh xạ : 3 L
1
, f f
x
là liên tục theo chuẩn.

k-1

|
: k = 1...m}
và trên mỗi khoảng con [a
k-1
, a
k
] hàm có thể thác triển thành hàm liên tục đều




> 0,



> 0 :
|
x - y
|
<




|
f(x) - f(y)
|
<

dt)yt(f)xt(f
<
Với mọi (, t, x) 3
*
+
ì 3 ì 3 kí hiệu
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 82 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
H(t) = e
-|t|
và h

(x) =

+



dte)t(H
2
1
ixt
(5.2.1)

Bổ đề 2 Các hàm H(t) và h

(x) có các tính chất sau đây

x
1
+




+


dx)x(h = 1
3. f L
1
(f h

)(x) =

+

+












(x) =








+


+
+

+
0
t)ix(
0
t)ix(
dtedte
2
1
=







+













dte)t(Hdye)yx(f
2
1
ixtt)yx(i

Đổi biến s = x - y ở tích phân bên trong nhận đợc kết quả.
4. Theo định nghĩa tích chập và hàm h


(g h

)(x) =

+


= g(x)
5. Kí hiệu
y 3, g(y) = || f
y
- f ||
1
=

+

dx|)x(f)yx(f| 2|| f ||
1
Theo bổ đề 1. hàm g liên tục tại y = 0 với g(0) = 0 và bị chặn trên toàn 3
Từ định nghĩa chuẩn, tích chập và hàm h
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 83
|| fh

- f ||
1
=

+


dx|)x(f)x)(hf(| =

Đ3. Biến đổi Fourier

Cho các hàm f, F L
1
kí hiệu
3,
f
)
(
) =

+


dte)t(f
ti
(5.3.1)
t 3, F
(
(t) =

+




1
F
(
C
0
L
1
và || F
(
||

|| f ||
1

3. Nếu f
)
= F thì F
(

n.k.h
= f
Chứng minh
1. Theo giả thiết hàm f khả tích tuyệt đối và ta có
(, t) 3
2
, | f(t)e
-i

t
| = | f(t) |

2| f
)
() |

+




dt|e||)t(f)t(f|
ti
= || f -


f
||
1+
0
Do ánh xạ

liên tục theo chuẩn theo bổ đề 1.
Ngoài ra, ta có
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 84 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
|| f
)


2
1
it
=
)t(F
2
1
-
)

với = -
Do hàm F L
1
nên hàm F
-
L
1
và kết quả đợc suy ra từ tính chất 1. của định lý.
3. Theo tính chất 3. của bổ đề 2 và tính chất của tích phân bị chặn đều
(f h

)(t) =

+




de)(H)(f
2

)(t)
n.k.h
0


f(t)
Do tính duy nhất của giới hạn suy ra
F
(

n.k.h
= f
Cặp ánh xạ
F : L
1
C
0
, f f
)
và F
-1
: L
1
C
0
, F F
(

f(t) = e
-

|t|
( > 0) f
)
() =



0
t)i(
dte +

+
+
0
t)i(
dte =
i
1
+
+ i
1
=
22
2
+



T
ti
dte = 2

Tsin

F() = 2

Tsin
F
(
(t) =




+


de
Tsin
2
2
1
ti
f(t) ngoại trừ các điểm t = T
F() =




Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 85
Đ4. Tính chất của biến đổi Fourier

Giả sử các hàm mà chúng ta nói đến sau đây khả tích tuyệt đối và do đó luôn có ảnh và
nghịch ảnh Fourier. Kí hiệu f F với f(t) là hàm gốc và F() là hàm ảnh tơng ứng.

1. Tuyến tính Nếu hàm f và hàm g khả tích tuyệt đối thì với mọi số phức hàm f + g
cũng khả tích tuyệt đối.
, f(t) + g(t) F(z) + G(z) (5.4.1)
Chứng minh

( )

+


+ dte)t(g)t(f
ti
=

+


dte)t(f
ti
+

+



cũng khả tích tuyệt đối.
3
*
, f(t)
)(F
||
1



và f(-t) F(-) (5.4.3)
Chứng minh


+


dte)t(f
ti
=

+










sin4. Đạo hàm gốc
Giả sử hàm f và các đạo hàm của nó khả tích tuyệt đối.
f(t) iF() và n , f
(n)
(t) (i)
n
F() (5.4.4)
Chứng minh
f(t)

+



dte)t(f
ti
=
+

ti
e)t(f
+ (i)

+



t
d)(f G(), g(t) = f(t)
Theo tính chất 4 3, (i)G() = F()
Suy ra G() =
i
1
F() với 0 và G(0) = F(0)()
6. ảnh của tích chập
Nếu hàm f và hàm g khả tích tuyệt đối thì tích chập của chúng
cũng khả tích tuyệt đối.
(fg)(t) F()G() (5.4.6)
Chứng minh
(fg)(t)

+


+











dt|)t(f|
2
=
2
1

+

d)(F
2
(5.4.7)
Chứng minh

+

dt|)t(f|
2
=

+

dt)t(f)t(f
*
=

+

+






d)(Fdte)t(f
2
1
*it
=
2
1

+

d)(F
2

Ví dụ
1. (t) 1

(t) =



t
d)(
i

1
i
1
= )
i
1
i
1
(
1
+à

+à

F
)
(t) =
à
1
(e
-

t
- e
-
à
t
)(t) f(t)