Chu
.
o
.
ng 6
Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a´u
.
ng
du
.
ng d
ˆe
’
nhˆa
.
nda
.
ng du
.
`o
.
ng v`a
m˘a
.
tbˆa

o
.
.
cgo
.
i l`a da
.
ng
to`an phu
.
o
.
ng cu
’
a n biˆe
´
nd
´o :
ϕ(x
1
,...,x
n
)=
n

i=1
n

j=1
a

ng ´u
.
ng mˆo
˜
i vecto
.
x =(x
1
,x
2
,...,x
n
) ∈
R
n
v´o
.
isˆo
´
ϕ(x
1
,...,x
n
).
Nˆe
´
ud
˘a
.
t

11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
nn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
... a
nn


.
nh l´y. Nˆe
´
u C l`a ma trˆa
.
ncu
’
aph´epbd
tt thu
.
.
chiˆe
.
ntrˆen c´ac biˆe
´
n
cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng (6.1) v´o
.
i ma trˆa
.
n A th`ı da
.

2
1
+ α
2
x
2
2
+ ···+ α
n
x
2
n
(6.3)
khˆong ch´u
.
a c´ac sˆo
´
ha
.
ng v´o
.
i t´ıch cu
’
a c´ac biˆe
´
n kh´ac nhau (v`a do d
´on´o
c´o ma trˆa
.
nd

a c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap d
u
.
ada
.
ng
to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
6.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap Lagrange
D
-
i
.

ng d
ˆe
`
udu
.
ad
u
.
o
.
.
cvˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Tinh thˆa
`
nco
.
ba
’
ncu
’
aphu
.
o
.

d
´anh sˆo
´
la
.
i). Khi d´ob˘a
`
ng ph´ep tr´ıch mˆo
.
tb`ınh phu
.
o
.
ng d
u
’
t`u
.
cu
.
mtˆa
´
t
ca
’
c´ac sˆo
´
ha
.
ng ch´u

trong d´o λ
1
,λ
2
,...,λ
n
l`a c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
, ϕ
2
(x
2
,...,x
n
) l`a da
.
ng to`an
phu
.
o
.
ng chı
’
c`on n − 1biˆe
´
n (khˆong c`on x
1
). Dˆo

ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
2
+
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p a
ii
=0∀ i = 1,n nh˜u
.
ng a
ij
=0(i = j)du
.
o
.
.
cd

x
k
= y
k
,k= j
V´ı d u
.
1. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=x
2
1
+ x
2
2
+ x

1
th`anh mˆo
.
tcu
.
m v`a tr´ıch t`u
.
cu
.
md
´omˆo
.
tb`ınh phu
.
o
.
ng d
u
’
ta c´o
ϕ(·)=(x
2
1
+4x
1
x
2
+4x
1
x

3
+4x
2
x
3
=(x
1
+2x
2
+2x
3
)
2
− 3x
2
2
− 3x
2
3
− 4x
2
x
3
.
Nh´om c´ac sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.

2
3
.
D`ung ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´
n t´ınh khˆong suy biˆe
´
n
y
1
= x
1
+2x
2
+2x
3
y
2
= x
2
+
2
3
x
3

y
3
x
3
= y
3
ta thu du
.
o
.
.
c
ϕ(·)=y
2
1
− 3y
2
2
−
5
3
y
2
3
. 
V´ı d u
.
2. D
u
.

.
ng 239
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. V`ı a
11
= a
22
= a
33
=0nˆen dˆa
`
u tiˆen thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i

2
x
3
= y
3





(6.4)
v`a thu d
u
.
o
.
.
c
ϕ(·)=y
1
(y
1
+ y
2
)+2y
1
y
3
+4(y
1

ng m´o
.
ithud
u
.
o
.
.
c, tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
trong
v´ıdu
.
1 ta c´o
ϕ(·)=

y
1
+
1
2
y
2

2
−
1
4
y
2
+ y
2
y
3
− 9y
3
.
Thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i khˆong suy biˆe
´
n
z
1
= y
1

y
1
= z
1
−
1
2
z
2
− 3z
3
,
y
2
= z
2
,
y
3
= z
3







(6.5)
ta thu d

.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
Nh´om c´ac sˆo
´
ha
.
ng c´o ch´u
.
a z
2
ta c´o
ϕ(·)=z
2
1
−
1
4
(z
2
− 2z
3
)
2
− 8z

= z
3





⇒
z
1
= u
1
,
z
2
= u
2
+2u
3
,
z
3
= u
3





(6.6)

D
ˆe
’
t`ım ma trˆa
.
ncu
’
a ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
iho
.
.
p ta cˆa
`
n nhˆan c´ac ma trˆa
.
ncu
’
a
(6.4), (6.5) v`a (6.6). Ta c´o



100
110
001



1 −
1
2
−4
1
1
2
−2
00 1





= C.
Do ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i khˆong suy biˆe
´
ndu
.
ada
.
ng ϕ vˆe
`
da
.

3
.









D
ˆe
’
kiˆe
’
m tra ta t´ınh t´ıch C
T
AC.Tac´o
C
T
AC =




110
−
1
2


1 −
1
2
−4
1
1
2
−2
00 1





=




10 0
0 −
1
4
0
00−8





.
ng ph´ap n`ay chı
’
´ap du
.
ng d
u
.
o
.
.
c khi mo
.
id
i
.
nh th´u
.
c con ch´ınh cu
’
a
ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o



=0,...,∆
n
=










a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
.
.
.

’
ta c´o
D
-
i
.
nh l´y. Nˆe
´
uda
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,...,x
n
)=
n

i,j=1
a
ij
x
i
x
j
tho

n
dˆe
´
n c´ac biˆe
´
n
y
1
,...,y
n
sao cho
ϕ(·)=
∆
1
∆
0
y
2
1
+
∆
2
∆
1
y
2
2
+ ···+
∆
n

+ ···+ α
n1
y
n
,
x
2
= y
2
+ α
32
y
3
+ ···+ α
n2
y
n
,
... ... ... ... ...
x
n
= y
n








∆
j−1
(6.9)
242 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
o
.
’
d
ˆay ∆
j−1
l`a di
.
nh th´u
.
c con ch´ınh trong (6.7), c`on D
j−1,i

1, 2,...,i− 1,i+1,...,j
V´ı d u
.
3. D
u
.
ada
.
ng to`an phuwo
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
2
1
+3x
2
2
+ x
2
3
− 4x
1
x
2


2 −21
−23−1
1 −11



v´o
.
ic´acd
i
.
nh th´u
.
c con ch´ınh
∆
1
=2, ∆
2
=2, ∆
3
=1.
Khi d
´oda
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d

.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d
˜a cho vˆe
`
da
.
ng (6.10).
N´o c´o da
.
ng
x
1
= y
1
+ α
21
y
2
+ α
31
y
3
,
x

=(−1)
3
D
1,1
∆
1
= −
−2
2
=1,
α
31
=(−1)
4
D
2,1
∆
2
=





−21
3 −1





.
ng to`an phu
.
o
.
ng 243
Nhu
.
vˆa
.
y
x
1
= y
1
+ y
2
−
1
2
y
3
,
x
2
= y
2
,
x
3

1
+3x
1
x
2
+4x
1
x
3
+ x
2
2
+ x
2
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. Ta c´o ma trˆa
.
ncu
’
a ϕ l`a
A =

=2, ∆
2
= −
1
4
, ∆
3
= −
17
4
·
Khi d
´o theo di
.
nh l´y Jacobi ta thu du
.
o
.
.
cda
.
ng ch´ınh t˘a
´
cl`a
ϕ(·)=2y
2
1
−
1
8

+ α
32
y
3
,
x
3
= y
3





244 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
v´o

∆
1
= −
3
2
2
= −
3
4
,
α
31
=(−1)
4
D
2,1
∆
2
=






3
2
2
10






−
1
4
= −12.
Vˆa
.
y ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
il`a
x
1
= y
1
−
3
4
y
2
+8y
3
,
x
2

V`ı ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng l`a ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng, thu
.
.
cnˆen
b`ai to´an d
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.

ng ch´eo. C´ac nghiˆe
.
mcu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng |A − λE| = 0 l`a c´ac sˆo
´
d
˘a
.
c tru
.
ng, c`on c´ac
vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.

.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i c´ac gi´a
tri
.
riˆeng kh´ac nhau cu
’
a ma trˆa
.
nd
ˆo
´
ix´u
.
ng l`a tru
.
.
c giao v´o
.
i nhau). M˘a
.
t
kh´ac v`ı A l`a ma trˆa
.
nd

c t´ınh mˆo
.
tsˆo
´
lˆa
`
nb˘a
`
ng bˆo
.
icu
’
a n´o).
T`u
.
d
´ot`ımdu
.
o
.
.
cd
u
’
n vecto
.
riˆeng d
ˆo
.
clˆa

riˆeng cu
’
a A.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 245
Ma trˆa
.
n T chuyˆe
’
nt`u
.
co
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n(e)d
ˆe
´
nco

.
n
A) l`a ma trˆa
.
n tru
.
.
c giao v`ıca
’
hai co
.
so
.
’
d
ˆe
`
u tru
.
.
cchuˆa
’
n.
Nhu
.
vˆa
.
yd
ˆo
´

n ch´eo.
D
´oc˜ung ch´ınh l`a ma trˆa
.
ncu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d
˜a cho trong co
.
so
.
’
(E). T`u
.
d
´o ta c´o quy t˘a
´
c t`ım ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.

´
d
˘a
.
c tru
.
ng
cu
’
a n´o.
2) T`ım hˆe
.
vecto
.
riˆeng tru
.
.
cchuˆa
’
ncu
’
a A.
3) Lˆa
.
p ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru

`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
Gia
’
i. 1
+
Viˆe
´
t ma trˆa
.
n A cu
’
ada
.
ng
A =

27 −5
−53

.
Lˆa
.
pphu
.
o

˘a
.
c tru
.
ng ta c´o λ
1
=2,λ
2
= 28.
2
+
T`ım c´ac vecto
.
riˆeng chuˆa
’
nt˘a
´
c. D
ˆe
’
t`ım to
.
adˆo
.
cu
’
a c´ac vecto
.
riˆeng ta lˆa
`

o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
khi λ
1
=2v`aλ
2
= 28.
a) Nˆe
´
u λ
1
= 2 th`ı ta c´o hˆe
.
25ξ
1
− 5ξ
2
=0,
−5ξ

= 28 th`ı ta gia
’
ihˆe
.
−ξ
1
− 5ξ
2
=0,
−5ξ
1
− 25ξ
2
=0
v`a thu d
u
.
o
.
.
c ξ
1
= −5ξ
2
.D˘a
.
t ξ
2
= β th`ı ξ
1

√
26
e
1
+
5
√
26
e
2
, E
2
= −
5
√
26
e
1
+
1
√
26
e
2
.
3
+
Lˆa
.
p ph´ep biˆe

’
(E)




1
√
26
−
5
√
26
5
√
26
1
√
26




V`ı(e)v`a(E)d
ˆe
`
u l`a nh˜u
.
ng co
.

c giao cu
’
a c´ac biˆe
´
n x
1
v`a x
2
:
x
1
=
1
√
26
x

1
−
5
√
26
x

2
,
x
2
=
5


1
−
5
√
26
x

2

2
− 10

1
√
26
x

1
−
5
√
26
x

2

5
√
26

1
2
+28x

2
2
.
Nhˆa
.
n x´et. Hˆe
.
th´u
.
c cuˆo
´
ic`ung c´o thˆe
’
thu d
u
.
o
.
.
cb˘a
`
ng c´ach t`ım ma
trˆa
.
n B cu
’

1
2
+28x

2
2
.
V´ı d u
.
6. D
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=3x
2
1
+2x
2

.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng







3 − λ 20
22− λ 2
021− λ







=0⇔ λ
1
=2,λ
2
= −1,λ
3

)ξ
1
+2ξ
2
+0· ξ
3
=0,
2ξ
1
+(2− λ
i
)ξ
2
+2ξ
3
=0,
0 · ξ
1
+2ξ
2
+(1− λ
i
)ξ
3
=0






λ
1
= 2. Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n
A− 2E =



12 0
20 2
02−1



cu
’
ahˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa

.
ba
’
ncu
’
ahˆe
.
(6.13) chı
’
gˆo
`
mmˆo
.
t nghiˆe
.
m. T`u
.
(6.13) suy r˘a
`
ng ξ
1
=2α, ξ
2
= −α, ξ
3
= −2α.Dod´o vecto
.
riˆeng ´u
.
ng

e
3
trong d´o e
1
,e
2
,e
3
l`a co
.
so
.
’
m`a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng c´o ma trˆa
.
nl`aA.
b) Gia
’
su
.
’
λ = −1. Ha
.
ng cu

2
=0,
2ξ
1
+3ξ
2
+2ξ
3
=0,
2ξ
2
+2ξ
3
=0





(6.14)
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 249
b˘a
`
ng2nˆenhˆe

riˆeng tu
.
o
.
ng
´u
.
ng v´o
.
i λ
2
= −1s˜el`a
u
2
(β,−2β,2β)
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta thu d
u
.
o
.
.
c
E
2
=
1
3
e

hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
−2ξ
1
+2ξ
2
=0,
2ξ
1
− 3ξ
2
+2ξ
3
=0,
2ξ
2
− 4ξ
3
=0





ta c´o ξ

2
3
e
2
+
1
3
e
3
.
T`u
.
c´ac khai triˆe
’
ncu
’
a E
1
,E
2
,E
3
suy r˘a
`
ng ch´ung lˆa
.
p th`anh mˆo
.
tco
.







2
3
1
3
2
3
−
1
3
−
2
3
2
3
−
1
3
2
3
1
3




2
+
2
3
x

3
,
x
2
= −
1
3
x

1
−
2
3
x

2
+
2
3
x

3
,
x

ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
V´o
.
i ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
id´o ta c´o
ϕ(·)=2x

1
2
− x

2
2
+5x

3
2
. 
V´ı d u
.
7. D
u

+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
− 8x
2
x
3
.
Gia
’
i. 1
+
Lˆa
.
p v`a gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.

.
adˆo
.
cu
’
a c´ac vecto
.
riˆeng ta cˆa
`
n gia
’
i c´ac hˆe
.
phu
.
o
.
ng
tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t
(6 − λ
i
)ξ
1
+2ξ
2
+2ξ

.
.
tv´o
.
i λ
1
= λ
2
=7,λ
3
= −2.
a) Gia
’
su
.
’
λ = 7. Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
n A − 7E cu
’
ahˆe
.
−ξ
1
+2ξ
2

.
ba
’
n. Hˆe
.
(6.15) d
u
.
o
.
.
cd
u
.
avˆe
`
mˆo
.
t
phu
.
o
.
ng tr`ınh
ξ
1
=2ξ
2
+2ξ
3

cl`aho
.
c´ac vecto
.
riˆeng phu
.
thuˆo
.
c hai tham sˆo
´
α v`a β.
Ta lˆa
´
y ra hai vecto
.
tru
.
.
c giao n`ao d
´ocu
’
aho
.
u =2(α+ β)e
1
+ αe
2
+
βe
3

2
√
5
, 0,
1
√
5

.
D
ˆe
’
c´o vecto
.
th´u
.
hai u
2
ta cˆa
`
ncho
.
n α v`a β sao cho u
1
,u
2
 =0t´u
.
c
l`a

5

.
b) Gia
’
su
.
’
λ = −2. Ta c´o
8ξ
1
+2ξ
2
+2ξ
3
=0,
2ξ
1
+5ξ
2
− 4ξ
3
=0,
2ξ
1
− 4ξ
2
+5ξ
3
=0

.
m.
Ch˘a
’
ng ha
.
n gia
’
i hai phu
.
o
.
ng tr`ınh cuˆo
´
i ta c´o ξ
2
= ξ
3
v`a ξ
1
= −
ξ
2
2
v`a
do d
´o ξ
1
= −
ξ