CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu .........................................................................................................2
Chương 1. Lý thuyết ........................................................................................3
I. Lí thuyết cơ sở ..............................................................................................3
I.1. Bảng các đạo hàm....................................................................................3
I.2. Bảng các vi phân .....................................................................................4
I.3. Các cơng thức về giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác .............7
I.4. Các cơng thức phân tích lượng giác ra thừa số đặc biệt..........................8
I.5. Các hằng đẳng thức .................................................................................8
I.6. Ngun hàm ...........................................................................................9
I.6.1. Định nghĩa ngun hàm .....................................................................9
I.6.2. Các tính chất cơ bản của ngun hàm ...............................................9
II. Tích phân ....................................................................................................10
II.1. Định nghĩa tích phân .............................................................................10
II.2. Các qui tắc tính tích phân......................................................................11
II.3. Các phương pháp tính tích phân ...........................................................11
II.3.1. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản. ........................11
II.3.2. Phương pháp đổi biến .................................................................12
II.3.3. Phương pháp tích phân từng phần. ..............................................13
II.3.4. Tích phân hữu tỉ ..............................................................................14
II.4. Ứng dụng của tích phân ........................................................................22
II.4.1. Tính diện tích...................................................................................22
II.4.2. Tính thể tích .....................................................................................27
Chương 2. Bài tập ............................................................................................31
I.Bài tập ...........................................................................................................31
I.1. Tính tích phân ........................................................................................31
I.1.1. Tính tích phân các bài sau ................................................................31
I.1.2. Tính tích phân các bài sau ( trong các đề thi đại hoc, cao đẳng) .....44


2


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

CHỦ ĐỀ 9

CÁC DẠNG TOÁN VỀ TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH
PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI


Chương 1. Lí thuyết
I. Lí thuyết cơ sở
I.1. Bảng các đạo hàm
Đổi x thành u , nhớ nhân thêm u’
1.(C)’=0

1.(C)’=0

2. (x)’=1

2. (u)’=u’

3.  x
4.



 x

u

'

'

'

1
1
5.     2
x
x
'
1
6.  ln x  
,
x

 ln x 

'



1
x

1
1

 ln a  ln a u
'

  e
 a   a .ln a

8. e

x

'

   e .u

x

x '

x

8. e

u

'

u

'


1
cos2 x

11.  tgu   (1  tg 2u)u ' 
'

12.  cotgx   (1  cotg 2 x)  
'

1
. u'
2
cos u

1
1
'
12.  cot gu   (1  cotg 2u).u '   2 . u '
2
sin x
sin u

Trịnh Thị Kim Phượng

3


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I.2. Bảng các vi phân

khi đặt u =

1
.
x

1
1
dx  2ad (a x  b) , vậy biểu thức
dx
2 x
x
x
đã đổi thành 2adu khi đặt u = a x + b.
d ( x 2  1)
du
2
2. d(x + 1) = 2xdx suy ra xdx =
, vậy biểu thức xdx đã đổi thành
2
2
2
khi đặt u = x + 1, hay biểu thức xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt
u = x2 + 1.
d ( x 2  1)
du
2
2’. d(ax + b) = 2axdx suy ra xdx =
, vậy biểu thức xdx đã đổi thành
2a

, vậy biểu thức x3dx đã đổi thành
4
1’’’. d (a x  b)  a

1

dx suy ra

Trịnh Thị Kim Phượng

4


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

du
khi đặt u = x4 + c, hay biểu thức x3dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số,
4
khi đặt u = x4 + c.
d (ax 4  c)
4’. d(ax4 + c) = 4ax3dx suy ra x3dx =
, vậy biểu thức x3dx đã đổi
4a
du
thành
khi đặt u = ax4 + c, hay biểu thức x3dx đồng nhất với du, lệch đi 1
4a
hằng số, khi đặt u = ax4 + c.
5. d(ex) = exdx suy ra biểu thức exdx = d(ex), hay biểu thức exdx đồng nhất với
du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = ex.

x
a
đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = alnx + c.
7. d(sinx + c) = cosx dx suy ra biểu thức cosxdx = d(sinx + c)
hay biểu thức cosxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sinx + c.
d (a sin x  c)
7’. d(asinx + c) = acosx dx suy ra biểu thức cosxdx =
hay biểu
a
thức cosxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= asinx+c.
d (sin mx  c)
7’’. d(sinmx + c) = mcosmx dx suy ra biểu thức cosmxdx =
hay
m
biểu thức cosmxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sinmx+c.
8. d(cosx + c) = - sinx dx suy ra biểu thức sinxdx = - d(cosx + c) hay biểu thức
sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cosx+c.
d (a cos x  c)
8’. d(acosx + c) = - asinx dx suy ra biểu thức sinxdx = hay biểu
a
thức sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= acosx+c.
d (cos mx  c)
8’’. d(cosmx + c) = -msinx dx suy ra biểu thức sinmxdx = hay
m
Trịnh Thị Kim Phượng

5


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= atgx+c.
1
1
d (tgmx  c)
9’’. d(tgmx) = m
hay biểu
dx suy ra biểu thức
dx =
2
2
cos mx
cos mx
m
1
thức
dx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= tgmx.
cos2 mx
1
10. d(cotgx) = dx = - (1 + cotg2x)dx suy ra biểu thức
2
sin x
1
1
dx = - (1 + cotg2x)dx = d(cotgx) hay biểu thức
dx đồng nhất với
2
sin x
sin 2 x
du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cotgx.
1

thức cosx sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cos2x,
d(cos2x) = - 2cosx sinx dx = -sin2x dx suy ra biểu thức sin2xdx = - d(cox2x) hay
biểu thức sin2xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = cos2x.
d (sin 2 x)
2
12. d(sin x) = 2 sinx cosx dx suy ra biểu thức cosxsinxdx =
hay biểu
2
thức cosx sinxdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u = sin2x,
Trịnh Thị Kim Phượng

6


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

d(sin2x) = 2cosx sinx dx = sin2x dx suy ra biểu thức sin2xdx = d(sin2x) hay biểu
thức sin2xdx đồng nhất với du, lệch đi 1 hằng số, khi đặt u= sin2x.
I.3. Các công thức về giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

tan a.cot a  1

1. Công thức cơ bản:
2
2

sin a  1  cos a
sin a  cos a  1   2
2



x
O

cos(-a) = cosa
sin(-a) = - sina
tg(-a) = - tga
cotg(-a) = - cotga
(cos : đối)

3.Cung phụ:
Hai cung a, b phụ nhau nếu a + b =
vậy b =


-a
2


sin( - a) = cosa
2

cos( - a) = sina
2

tg( - a) = cotga
2

cotg( - a)= tga
2

*y = tgx, y = cotgx có chu kỳ là ,
Nên tg(a + k ) = tga, kZ
cotg(a + k ) = cotga, kZ
Trịnh Thị Kim Phượng

7


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I.4. Các công thức phân tích lượng giác ra thừa số đặc biệt

sin2x = 1 – cos2x = (1 – cos x).(1 + cosx)

cos2x = 1 – sin2x = (1 – sinx).(1 + sinx)

cos2x = cos2x – sin2x = (cosx – sinx).(cosx + sinx)

1+ sin2x = sin2x + cos2x + 2sinxcosx = (sinx + cosx)2
2
x
x
x
x 
2
2
 1 + sinx = sin x + cos x + 2sin cos =  sin  cos 
2
2
2  2

2
sin x cos x sin x  cos 2 x
2

tanx + cotx =
=
=

cos x.sinx
cos x sin x
sin 2x
2
2
sin x cos x sin x  cos x
 cos 2 x

tanx - cotx =
=
=

 2cot 2 x
cos x.sinx
cos x sin x
sin x cos x

sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx
 sin3x + cos3x = 3sinx – 4sin3x + 4cos3x – 3cosx
= - 3(cosx – sinx) + 4(cos3x – sin3x)
= - 3(cosx – sinx) + 4(cosx – sinx)(cos2x + cosx sinx + sin2x)
= - 3(cosx – sinx) + 4(cosx – sinx)(1 + cosx sinx)

2

= 1 – 3sin2x.cos2x = 1 – 3( sin2x)2 = 1 -

3
sin22x
4

5 3cos 4 x

8
8
(Nhờ a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3 – 3PS)
3. sin8x + cos8x = (sin4x + cos4x)2 – 2sin4xcos4x
1
1
= (1 - sin2x)2 – 2( sin2x ) = …
2
2
3
1


4. 3 cosx + sinx = 2(
cos x  sin x ) = 2cos(x - ) = 2sin(x + )
2
2
6
3
I.6. Nguyên hàm


Bảng các nguyên hàm
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
thường gặp
(u = u(x))
1.  dx  1dx  x  C
1.  du  1du u  C
Trịnh Thị Kim Phượng

9


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

x 1
2.  x dx 
C
 1
1
3.  dx  ln x  C
x
4.  e x dx  e x  C





ax
5.  a dx 

0
 f ( x)dx
a
b

Công thức NEWTON-LEIBNITZ:



f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a)
b

a

Trịnh Thị Kim Phượng

10


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
b

 f ( x)dx chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu

Chú ý:

a

biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết
b


a

a

e/  f ( x)dx    f ( x)dx
a

f/

b

a

 f ( x)dx  f (u)du
a

g/ Phân chia cận lấy tích phân :

b

c

a

a

a

b



0

cos x
nên  e sin xdx =  ecos x

d(cos x)
1

d (cos x)  cos x
= -  e d (cos x) (tra bảng  eu du  eu  C )
1
0

cos 
cos0
= - e cos x 0 = - ( e e ).

2

Ví dụ 2: Tính  (1  3x)3 dx
0

Ta có d (1  3x)  3dx  dx  

d (1  3x)
3

Trịnh Thị Kim Phượng


1


1
4
4
52 .

1

3.2

(1

3.0)



3.4

0
2

II.3.2. Phng phỏp i bin, nh s dng bng cỏc vi phõn, nh kốm
i cn
Ngoi cỏch i bin nh vo bng cỏc vi phõn, chỳ ý 2 cỏch i bin sau õy:

b

dx

0

x
, t = sint, vi t [ ; ] .
2 2
a
2

1

Vớ d 1: Tớnh I 2 x 3 e



x 2 3 x 2

dx



0

Do d x 2 3x 2 (2x 3) dx
ẹaởt t x 2 3x 2 dt 2x 3 dx
x 1 t 0
Khi
x 0 t 2
0

2



CC DNG TON TCH PHN - NG DNG TCH PHN V PHNG PHP GII

ẹaởt x tgt d(x)

dt
(1 tg2 t)dt
2
cos t



x 1 t
Khi
4
x 0 t 0


4


4


4

(1 tg t)dt
1


4
1
d(2t)



dt+ cos2t


2 0
2
cos udu sin u C
0







1 1 2

1 4 1
t 0 sin 2t 04 sin
sin 2.0
2
2
4

2 4 2


b
a

b

vdu

a

a

/

Ta coự: uv u/ v uv/
b

b





b

b

uv dx u v uv dx u vdx uv/ dx
/



Trnh Th Kim Phng

13


CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
b

b

b

  udv  uv a   vdu
a

a

 điều phải chứng minh 

Các dạng sử dụng tích phân từng phần:
b



 p( x).cos mxdx ,  p( x).sin mxdx ,  p( x).e
a

b


cos x
a

du = p’(x)dx nhằm hạ bậc được đa thức, dv là nhân tử còn lại.
b
1
  p( x).ln xdx , đặt u = lnx, suy ra du = dx nhằm mất ln, dv là nhân
x
a
tử còn lại, (trong bảng ngun hàm, khơng có hàm số nào dưới dấu tích phân có
chứa ln cả).
ra


2



b



Ví dụ 1: I  x sin xdx (có dạng P(x).sin xdx)
2

0

a

 u  x  du  2xdx

0


u1  x  du1  dx

Đặt 
dv1  cos xdx  v1   sin x


2





 I  2x sin x  2  sin xdx  2  sin  0sin 0   2 cos x 02
2
2

0

2
0




   2  cos  cos0     2.
2


0
1
2

3



2





x2
tra
baû
n
g
xdx


C



2


3


II.3.4.1. Nếu

P(x)
chưa có dạng nói trên (II.3.4.1) và bậc của P(x) < bậc
Q(x)
của Q(x) thì tiến hành các bước sau:

II.3.4.2. Nếu

Bước 1: Phân tích mẫu số Q(x) về dạng tích số.
Bước 2:
P(x)

Phân tích
về dạng tổng.
Q(x)
Dạng 1:

P(x)
A
B
C


 ... 
n
2
x  x0 (x  x 0 )
(x  x0 )


 ...
(x  x1 )(x  x2 )(x  x3 )... x  x1 x  x2 x  x3

2x 2  x
A
B
C



Ví dụ:
(x  1)(x  3)(x  8) x  1 x  3 x  8

Tổng quát:

P(x)
A
B
C



...

(x  x 0 )n (x  x1 )(x  x 2 )... x  x 0 (x  x 0 )2
(x  x 0 )n


D




2
2
(x  1) (x  2) x  1 (x  1) x  2
 2x 2  9x  10  A(x  1)(x  2)  B(x  2)  C(x  1)2
 2x 2  9x  10  (A  C)x 2  (A  B  2C)x  2A  2B  C

A  2
AC2


  A  B  2C  9   B  1
2A  2B  C  10
 C4


Bước 3: Áp dụng tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng hai tích phân
có cùng cận rồi áp dụng bảng công thức nguyên hàm để tính.
S(x)
Chú ý: Nếu gặp hàm số hữu tỉ y 
mà bậc của S(x)  bậc của
Q(x)
Q(x) thì ta phải thực hiện phép chia đa thức để biến đổi hàm số y về dạng
P(x)
y  T(x) 
(trong đó bậc của P(x) < bậc của Q(x) rồi tiếp tục làm như đã
Q(x)
nói ở mục II.3.4.2 trên).


 g(x)dx

với f(x) = g’(x)  đặt u = g(x), nguyên hàm là

a

ln g ( x) .

1
1
m(x  a)  n(x  b)
dx


k
,
 (x  a)(x  b)
(x  a)(x  b)
(x  a)(x  b)


b. Dạng cơ bản 1:

cần tìm hai số thực m, n để mất x ở tử, sau đó tìm số thực k để cân bằng hai vế

1
dx .
 tổng các tích phân có dạng 
 x a

1 ( )
a

1
d. Dạng 
dx, f (x)  ax 2  bx  c,   0 , phân tích mẫu
f (x)

2
ax + bx + c = a (x - x1) (x - x2)  dạng cơ bản 1.

1
e. Dạng 
dx,f (x)  ax 2  bx  c,   0 , phân tích mẫu ax2 + bx + c
f (x)

dx
1

 a 2  x 2 a 2

b
b
về dạng a [x2 + b’x + c’]  dạng cơ bản 2 nhờ x 2  bx  ( x  ) 2  ( ) 2 .
2
2

1
f. Dạng 
dx,f (x)  ax 2  bx  c,   0 , phân tích mẫu ax2 + bx + c




x 2 2x 3 (x 1)(x 3) x 1 x 3
2x 6
A(x 3) B(x 1) (A B)x 3A B
2


(x

1)(x

3)
(x 1)(x 3)
x 2x 3
2x 6 (A B)x 3A B


AB2
A 1


B 3A 6
B3
2x 6
1
3
2



dx

3
dx






x

1
x

3
x

1
x

3




0
0
0





du
Tra baỷng nguyeõn haứm
ln u C

u

1

1

0

0

ln x 1 3ln x 3

(ln 2 ln1) 3(ln 2 ln 3) 2 ln 2 3ln 3.
Trnh Th Kim Phng

18


CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2

2x2  x  1

0
0
0
1

1

0

0

1

1
dx
x

1
0

 2  xdx  3 dx  2 



do d(x+1)=dx
d(x  1) 

 2  xdx  3 dx  2 
du
x  1  tra baûng 


1  3x
1 2  x dx
Giải

1  3x
7
 3 
2x
2x
0
0
0
0
0

7 
7
1
 B    3 
dx  3  dx  7 
dx
dx   (3)dx  
2

x
2

x
2


1
1
 ln u  C
 tra baûng 


u

0

0

0

 3x 1  7 ln 2  x

0
1



 3  0  (1)   7 ln 2  0  ln 2  (1)

 3  7  ln 2  ln 3  7  ln 3  ln 2   3.
Trịnh Thị Kim Phượng



19

1
A

A  B  0

2


A  B 1
B   1

2



1
1 1
1 




x2  1 2  x  1 x  1

1
 12

2
1  1
1 

 ln u  C
0


u



1
2

1
1

1
2
  ln x  1  ln x  1 2 
0
0
2 




  1

1  1
 ln  1  ln 0  1    ln  1  ln 0  1  
2  2
  2



CC DNG TON TCH PHN - NG DNG TCH PHN V PHNG PHP GII
12


d(x2 x 2)
du
I 2
tra
baỷ
n
g

ln
u

C


u


10 x x 2
ln x 2 x 2

12
10

ln 122 12 2 ln 102 10 2



2

2
2
Ta cú: x 2x 5 x 1 1 5 x 1 4
1

1

dx


dx
I

2
4 1 x 1 2
1 x 1 4
2 1


x 1
dx
ẹaởt
tgt
1 tg2 t dt dx 2 1 tg 2 t dt
2
2

2
2 4
8
2

II.4. ng dng ca tớch phõn
II.4.1. Tớnh din tớch
II.4.1.1. S l hỡnh thang cong: cú 2 ỏy song song l 2 ng thng x = a,
x = b, b a,
2 ỏy cong l 2 th y = f(x), y = g(x), cú din
y
tớch cng t l S, thỡ
y = f(x)
b

O a

b
S
y = g(x)

x

S f (x) g(x) dx
a

yờu cu: din tớch S 0
Trnh Th Kim Phng

21


f ( x)  g ( x) dx =

b

 ( f ( x)  g ( x))dx

(tính tích phân

a

a

trước rồi lấy trị tuyệt đối sau).
b

Cách 3: Vẽ hình miền tính diện tích  S =



f ( x)  g ( x) dx  nhìn vào

a

hình vẽ xoá trị tuyệt đối:

 f ( x)  g( x) neáu ñoà thò y  f ( x ) treân ñoà thò y  g( x )
f ( x)  g( x)  
g( x)  f ( x) neáu ñoà thò y  g( x ) treân ñoà thò y  f ( x )
(do a  b = số lớn hơn trừ số nhỏ hơn)


22


CÁC DẠNG TỐN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

4. Miền S giới hạn bởi 3 đường: y = f(x), y = g(x), y = h(x), hay nhiều
đường  vẽ hình miền S  tìm các giao điểm khi có nhu cầu  cắt S làm vài
b



hình thang cong  S bằng tổng các tích phân có dạng

f ( x)  g ( x) dx ,

a

 nhìn hình vẽ xố từng trị tuyệt đối.
II.1.4. Chú ý 3: S là hình thang cong: có 2 đáy song song là 2 đường
thẳng y = c, y = d,
2 đáy cong là 2 đồ thị x = f(y), x = g(y), d > c
x = f(y)
x = g(y)
,có diện tích cũng đặt là S, thì
d

d

S   f (y)  g(y)dy

Ta có:   b  4ac  (1)  4.3.10  119  0

 f(x) cùng dấu với a x  R
mà a  3  0
 f(x)  0x  R  f(x)  0x  [0;1]
1



1



1

1

0

0

 S   3x  x  10 dx   3x dx    xdx   10dx
0

1

2

1



1
21
 10 
(đơn vò diện tích).
2
2

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

x  0, y  2 x , y  3  x.
Trịnh Thị Kim Phượng

23


CC DNG TON TCH PHN - NG DNG TCH PHN V PHNG PHP GII

Gii
x
Phng trỡnh honh giao im gia y 2 v y 3 x l

2x 3 x

(1)

x
Ta cú: y 2 laứ haứm taờng

y 3 x laứ haứm giaỷm

1
x
O

1

1

2

3

1

1

1

0

0

0

S (3 x 2 )dx 3dx xdx 2 x dx
x

0



0
0
x
a
dx


C



ln a


x2
3x
0
2
1

1

1

2x
1
1

3(1 0) (12 0 2 )
(21 2 0 )


x3  x   x 2  x
 x3  x 2  2 x  0  x( x 2  x  2)  0

x  0
 2

x

x

2

0


x  0
x  1

 x  2

1

x

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là S 

3

 x 2  2x dx


2
0



1

 x  2x)dx   (x 3  x 2  2x)dx
2

0

0

0

1

2

0

1

1

 x dx   x dx   2xdx   x dx   x dx   2xdx
3


1

 x dx   x dx  2  xdx   x dx   x dx  2  xdx

2

3

2

2

3

Trịnh Thị Kim Phượng

0

2

0

25