Chơng I: Hệ thức lợng trong tam giác vuông
Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
+ Bài 3:

222
7
1
5
11
+=
x
=> x
2
=
22
22
75
75
+
=
Lại có:
y
2
= 5
2
+ 7
2
(AD pitago trong vuông => y
2
= 60 => y = 2
15

= + = + =
= =
c)
Ta có
2
2
12
12 16. 9
16
x x= = =

2 2
12 9 225 15y y= + = =
+ Bài 9:
a)

DIL
cân tại D
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
1
y
y
x
2
x
A
C
B
H
y

DI DK DL DK DC
+ = + =
(hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông DKL)
Mà DC có độ dài không đổi
2
1
DC

không đổi

2 2
1 1
DI DK
+
không đổi.
Tỉ số lợng giác của góc nhọn
+ Bài 13:
Vẽ XÔY = 60
0
, lấy 1 đt làm đơn vị.
- Trên tia oy lấy điểm M sao cho
OM = 2.
- Vẽ cung tròn (M, 3) N ol tại N, góc ONM =
+ Bài 14:
Tg =
AC
AB


cos

K
L
D
A
C
B
Cos
2
C = 0,36
TgC =
C
C
cos
sin
=
6,0
8,0
= 4/3
CotgC =
C
C
sin
cos
= 3/4
+ Bài 16:
- Xét sin 60
0
Sin 60
0
=

Cos 87
0
= Sin 3
0
=> Sin 3
0
< Sin 47
0
< Sin 76
0
< Sin 78
0
C2: Dùng MT (BS) tính TSLG
b. C1:
Cotg 25
0
= tg 65
0
Cotg 38
0
= tg 52
0
=> tg 52
0
< tg 62
0
< tg 65
0
< tg 73
0

0
> Sin 25
0

C2: Tg 25
0
0,4663
Sin 25
0
0,4226
=> Tg 25
0
> Sin 25
0
Tg 45
0
= 1
Cos 45
0
=
2
2
1>
2
2
=> tg 45
0
> Cos 45
0
d. Cotg 60

Có
'0
3738
320
250
cos
=

+ Bài 30:
S thuyền đi đợc trong 5 phút là:
BC= 2.
2
1
=
)(
6
1
km
167 (m)
ABC vuông tại A
biết BC và C nên
AC = BC.sin70
0
= 157( m)
+ Bài 30:
Vẽ BKAC
Dễ thấy K nằm
ngoài đoạn AC .
KBA = 22
0

b)Số đo ADC
Vẽ AHDC (H CD)
vuông ACH có
AH = AC.sin74
0
7,690(cm)
8010,0
6,9
690,7
sin
=
AD
AH
D
Suy ra ADC 53
0
Ôn tập chơng I
+ Bài 35:
Tỉ số của hai cạnh góc vuông trong tam giác vuông là tg của góc nhọn này hoặc cotg
của góc nhọn kia nên ta có tg =19/28 0,6786 nên 34
0
10
'
. Do đó góc nhọn kia
là 90
0
- 55
0
50
'

2
Nên ABC vuông tại A .
Suy ra tgB =0,75
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
5
Do đó B 37
0
;C 53
0

-Đờng cao AH
C
1
: Từ AH.BC=AB.AC =>AH =3.6 cm
C
2
: Từ
222
111
ACABAH
+=
=>AH =3.6
C
3
:
Từ
6018,0
6
37sinsin
0


00
50cos
20
50cos
==
AE
CE
CE 31,11(m)
Trong vuông EDF có

DE
FD
=
0
50sin
00
50sin
5
50sin
==
FD
DE
DE 6,53(m)
Vậy khoảng cách giữa hai cọc CD là
31,31 - 6,53 = 24,6(m)
+ Bài 41:
Ta có tg21
0
48

AC
BC
HC
5
3
2
==
Xét vuông AHC có
AC
2
- HC
2
= AH
2
( pitago)
25,65
5
4
5
25
16
5
5
3
22
2
2
2
==
=

.10 cm
==
b)Xét tứ giác AMBN có
M = N = MBN = 90
0
AMBN là hình chữ nhật OM= ON (t/c HCN)
OMB = B
2
= B
1
MN //BC ( vì có 2 góc SLT bằng nhau và MN = AB t/cHCN))
Chơng II: Đờng Tròn
Sự xác định đờng tròn - Tính chất đối xứng của đờng tròn
+ Bài 1:
- Gọi I là giao điểm hai đờng chéo hình chữ nhật .
Ta có IA = IB =IC = ID (Tính chất hình chữ nhật )
Do dó A,B,C,D nằm trên đờng tròn (I)
AC AB BC
2 2 2
= +
5,613
1316925144512
22222
==
==+==
RAC
ACAC
+ Bài 4(tr 100):
ROAOA
<==+=

+ Bài 21(sbt)
Kẻ OM CD ; OM
I
Ax= N
MC = MD (1)( đl quan hệ đờng kính và dây cung)
Xét AKB có OA = OB (gt)
ON//KB (cùng CD)AN = NK
Xét AHK có AN = NK ( cmt)
MN//AH ( cùng CD)MH= MK (2)
Từ (1) và (2) ta có
MC - MH = MD - MK
Hay CH = DK
Bài tập thêm:
+ Bài 1:
? Hãy xác định khoảng cách từ O tới AB và AC?
? Tính khoảng cách đó?
a)Tính khoảng cách từ mỗi dây đến tâm O ?
Kẻ OH AB = H AH = AB
(đl đờng kính dây)
OK AC = K AK = KC ( đl đờng kính dây)
Xét tứ giác AHKO có
Â= H = K= Ô = 90
0
AHOK là hình chữ nhật
AH = OK = AB: 2= 10 : 2 =5
OH = AK = AC :2
b)Theo c/m câu a ta có
AH = HB
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
8

3 điểm C; O; B thẳng hàng
BÔC = 180
0
BC là đờng kính của (O)
Xét ABC (Â = 90
0
)
Theo định lí pi ta go có
BC
2
= AC
2
+ AB
2
= 24
2
+ 10
2
= 676
676
=
BC
+ Bài 2:
Cho (O;R) đờng kính AB, M OA ;
dây CD OA tại M. Lấy E AB sao cho
ME = MA.
a)Tứ giác ACED là hình gì?
b) c/m I (O

; EB/2)

52
2
3
5
9
5
3
5
3
2
2
R
CMCD
RR
CM
RR
MBAMCM
==
==
ì=ì=
S
ABCD
= (AB.CD) : 2
3
52
3
522
.
2
1

Dấu hiệu nhận biét tiếp tuyến
+ Bài 21 :
1/Cách dựng
- Từ A dựng tia Ax

d
- Dựng tia Iy

AB
( I là trung điểm AB)
- Giao điểm Ax và Iy là tâm O cần tìm .
-Vẽ (O; OA) ta đợc đờng tròn cần dựng
2/ Chứng minh :
- OA

d ;A

(O). Nên d là tiếp tuyến của đờng (O).
-OA = OB ( O

đờng trung trực AB) . Do đó A,B thuộc (O)
+ Bài 22:
Phân tích :
Giả sử ta đã dựng đợc (O ; R) thoả mãn điều kiện đề bài . Vậy ta có : d là tiếp tuyến
của (O) tại A OA d Lại có : A , B (O) O trung trực d của AB .
Cách dựng :
- Dựng trung trực d của AB .
- Dựng đờng thẳng dd tại A
O là giao của d và d
- Dựng đờng tròn tâm O

ã
ã
0
CAO CBO 90= =

Vậy OB CB CB là tiếp tuyến của (O) tại B .
b) Có AB = 24 cm MA = MB = 12 cm .
Xét CBO có (
ã
0
CBO 90=
) . áp dụng hệ thức lợng ta có :
OB
2
= MO . CO (1)
lại có : MOB vuông tại M MO
2
= OB
2
- MB
2

MO
2
= 15
2
- 12
2

= 225 -144

= =
.
áp dụng địnhlý Py ta go ta có BE
2
= OE
2- OB
2

= (2R)
2
-R
2

= 4R
2
-R
2
=3R
2

Vậy BE =
R 3
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
+ Bài 30:
Chứng minh :
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
11

CA = CM và CO là phân
giác của
ã
ACM
và
ã
ã
ã
MOA AOC COM=đ
(1)
Tơng tự ta cũng có DB , DM là tiếp tuyến
của (O) nên DB = DM và DO là phân giác
của góc
ã
ã
BDM;MOD

ã
ã
BOD MOD=đ
(2)
Từ (1) và (2)
ã
ã
ã
ã
0
COA BOD MOC MOD 90+ = + =
Vậy
ã

= ( AD + BD ) + ( AF + AC )- ( BE + EC ) (1)
Vì AB , AC , BC là tiếp tuyến của (O)
tại D , E , F theo tính chất của hai tiếp
tuyến cắt nhau ta có :
AD = AE ; BD = BE ; CE = CF ( 2)
Thay (2) vào (1) ta có :
AB + AC - BC = AD + BE + AD + CE - BE - CE = 2AD
Vậy 2AD = AB + AC - BC ( đ cpcm)
b) Tơng tự nh trên ta có thể suy ra các hệ thức nh sau :
2 BE = BC + AB - AC
2 BD = BC + AB - AC
2 CE = BC + AC - AB
2 CF = BC + AC - AB
Vị trí tơng đối của hai đờng tròn
+ Bài 37 :
Chứng minh :
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
12

O
A
D
F
E
C
B
O
H
DC
B

Theo (gt) ta có :
IB , IA là tiếp tuyến
của (O) IB = IA
IC , IA là tiếp tuyến
của (O) IC = IA
Xét BAC có IA là trung tuyến và
IA = IB = IC BAC vuông tại B ( tính chất đờng trung tuyến trong vuông )
BÂC = 90
0
.
Hồ Hồng Điệp - Trờng THCS Trần Lãm
13
A
O'O
O'
AO

A

I

C

B

O'

O

b) Theo ( cmt) ta có : IO là phân giác của góc BOA và IO là phân giác của góc

tròn ngoại tiếp BEH .
Tơng tự KH = KC K là
tâm đờng tròn ngoại tiếp HFC .
+ Ta có : IO = OB - IB (I) tiếp xúc trong
với (O) ( theo hệ thức liên hệ về các vị trí tơng đối của hai đờng tròn )
+ Ta có : OK = OC - KC (K) tiếp xúc trong với (O) ( hệ thức liên hệ về vị trí tơng
đối của hai đờng tròn )
+ Ta có : IK = IH + KH (I) tiếp xúc ngoài (K) ( theo hệ thức tiếp xúc ngoài ) .
b) Theo (gt) ta có :

à
0
E F 90= =
$
(1)
ABC nội tiếp trong (O) có BC là đờng kính . Lại có
OA = OB = OC Â = 90
0
( 2)
Từ (1) và (2) tứ giác AEHF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông .
c) Theo (gt) ta có HAB vuông tại H , mà HE AB tại E (gt) Theo hệ thức giữa
cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có :
AH
2
= AB . AE (3)
Lại có AHC vuông tại H , có HF là đờng cao theo hệ thức liên hệ giữa cạnh và
đờng cao trong tam giác vuông ta có :
AH
2
= AC . AF (4)

B