LÝ THUYẾT
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
TOÁN HỌC
Phan Văn Tân
Bộ mô Khí tượng

10:10:14


Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ

3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên
• Kết quả ngẫu nhiên của phép thử có thể đặc trưng định
tính bởi sự kiện ngẫu nhiên
o

•

•

Mô tả bằng lời: A={ Đồng tiền nhận mặt sấp }

Để đặc trưng định lượng cho kết quả ngẫu nhiên của
phép thử người ta dùng khái niệm đại lượng ngẫu nhiên
Các định nghĩa:
o

o

Một đại lượng nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng
nào đó gọi là đại lượng ngẫu nhiên

10:10:14


Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ

3.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên
• Phân loại:

o

Căn cứ vào tập giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên người ta
phân biệt hai loại đại lượng ngẫu nhiên
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Tập hợp các giá trị có thể có của
nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được
•

o

Ví dụ: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số điểm nhận được khi gieo
một con xúc xắc. Vậy X={1,2,3,4,5,6} hay x1=1, x2=2,…, x6=6

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Tập hợp các giá trị có thể của
nó lấp đầy một khoảng nào đấy của trục số hoặc cả trục số, tức
nó là tập hợp vô hạn và không đếm được
•

Ví dụ: Gọi Y là đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhiệt độ không khí (oC) đo
được ở Hà Nội. Vậy Y={y, y∈[-10; 50]}

10:10:14


p1

p2

...

pi

…

pn

...

Trong đó Σpi = 1, pi ≥ 0 ∀i=1,2,…

Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng tiền giống hệt nhau. Gọi X là biến
ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Hãy lập bảng phân bố của X
o
o
o
o

Giải: Số lần xuất hiện mặt sấp chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2, do đó X={0,1,2}
Gọi Ai là đồng tiền thứ i xuất hiện mặt sấp (i=1,2), P(Ai)=0.5
Sự kiện X=0: A1 A2 X=1: A1 A2 hoặc A1 A2 Sự kiện X=2: A1 A2
Vì các Ai độc lập nhau: P(X=0)=0.5x0.5, P(X=1)=2x(0.5x0.5), P(X=2)=0.25
Î



Giải: Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số đạn chi phí. Vậy X={ 1, 2, 3 }
Sự kiện X = 1: Bắn phát thứ nhất trúng đích (do đó không bắn tiếp nữa), Î
P(X=1) = p1= 0.8
Sự kiện X = 2: Bắn phát thứ nhất trượt và phát thứ hai trúng,
P(X=2)= p2 = (1-0.8)0.8 = 0.16
Sự kiện X = 3: Bắn phát thứ nhất và thứ hai đều trượt (do đó cần bắn phát thứ
ba), P(X=3) = p3 = (1-0,8)2 = 0,04
X

1

P

0.8

2

3

0.16 0.04

10:10:14


Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
• Ví dụ 3: Tiến hành n phép thử độc lập, xác suất xuất hiện sự kiện A
ở mỗi phép thử không đổi bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số
lần xuất hiện sự kiện A trong n phép thử. Hãy lập bảng phân bố xác

n
( a + b) = ∑ Cnk a k bn −k
nhị thức Newton
k =0

…

Cnn p n q n −n

ta có đẳng thức
n

n

∑ p = ∑C
k =0

k

k =0

k
n

p k q n −k = ( p + q)n = 1

10:10:14


Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ


f ( x ) dx

a

10:10:14


Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
• Ví dụ: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng
khi a ≤ x ≤ b
khi x < a, x > b

⎧c
f ( x) = ⎨
⎩0

Hãy xác định giá trị của c.
+∞

o

∫

Giải: Theo định nghĩa,

f ( x ) dx = 1

−∞

Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Hàm phân bố
• Định nghĩa: Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X là hàm của biến x
được xác định bởi F(x) = P(X < x)
o

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân bố F(x) có dạng

F ( x) =

∑ P( X = x ) = ∑ p
i

xi < x
o

xi < x

i

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, F(x) có thể được xem như xác suất để khi
gieo một điểm ngẫu nhiên thì điểm này rơi vào nửa bên trái trên trục số của x
(hình vẽ)

x

10:10:14


Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ

•
Ví dụ 1. Tiến hành bắn 3 phát súng độc lập vào bia; xác suất trúng
đích của mỗi phát bằng 0.4. Lập hàm phân bố của số lần bắn trúng
bia.
o

o
o
o
o

Giải: Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số lần bắn trúng bia, X có thể lấy
các giá trị: x1=0, x2=1, x3=2, x4=3. Khi đó:
p1 = P(X=x1)=P(X=0) = C30(0.4)0(1-0.4)3= 0.216
p2 = P(X=x2)=P(X=1) = C31(0.4)1(1-0.4)2= 0.432 X 0
1
2
3
2
1
2
p3 = P(X=x3)=P(X=2) = C3 (0.4) (1-0.4) = 0.288 P 0.216 0.432 0.288 0.064
p4 = P(X=x4)=P(X=3) = C33(0.4)3(1-0.4)0= 0.064

F ( x ) = ∑ pi
xi < x

⎧0
⎪0.216
⎪⎪

khi x > 3

10:10:14


Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Hàm phân bố
•
Ví dụ 2. Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X được cho dưới dạng
⎧0
⎪
F ( x) = ⎨a( x − 1)2
⎪1
⎩

khi x ≤ 1
khi1 < x ≤ 3
khi x > 3

a) Giả thiết F(x) liên tục, tìm hệ số a và vẽ đồ thị của F(x);
b) Tính xác suất P(1

P(x≤X
−∞

10:10:14


Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.4 Liên hệ giữa hàm phân bố và mật độ xác suất
•
Tính chất:
1) f(x) ≥ 0 (theo định nghĩa)
+∞

2)

∫ f ( x)dx = 1

(theo định nghĩa)

−∞

b

3) P(a ≤ X < b) =

∫ f ( x)dx
a

Chứng minh:

P ( a ≤ X < b) = F ( b) − F ( a ) =


o

Giải: Từ ví dụ mục trước

∫

−∞

o

Do đó:

b

b

f ( x )dx = ∫ f ( x )dx = ∫ cdx = c(b − a ) = 1

⎧ 1
⎪
f ( x) = ⎨ b − a
⎪⎩ 0

a

c=

a



⎧0
x
⎪⎪ x − a
F ( x ) = ∫ f ( x )dx = ⎨
−∞
⎪b − a
⎪⎩1

khi x < a
khi a ≤ x ≤ b
khi x > b

Biến ngẫu nhiên X trên được gọi là có phân bố đều
10:10:14


Chương 3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Phân bố nhị thức:
o

Tiến hành n phép thử Bernoulli, xác suất xuất hiện sự kiện A trong mỗi phép
thử không đổi bằng P(A)=p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện A
trong n phép thử. Phân bố của X được gọi là phân bố nhị thức
Pn ( k ) = P ( X = k ) = Cnk p k (1 − p ) n −k , k = 0,1,..., n

•

Phân bố Poisson

f ( x) =
o
o
o

o

o

1
e
σ 2π

1 ⎛ x−μ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠

Trong đó (-∞
x

∫e

1 ⎛ x−μ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠

2

dx

−∞

1
φ ( x) =
2π

x

∫e

x2
−
2

dx

−∞

e
⎩

khi x ≤ 0
khi x > 0

10:10:14


Chương 3. ĐẠI LƯỢN G N GẪU N HIÊN VÀ HÀM PHÂN BỐ
3.5 Một số phân bố thường dùng trong thực tế
• Phân bố χ2 (Khi bình phương)
n
2
2
χ
(
n
)
=
X
o N ếu Xi∈N (0,1), i=1..n, khi đó biến ngẫu nhiên
∑
i
i =1
2
được gọi là có phân bố χ
o Hàm mật độ và hàm phân bố xác suất của phân bố χ2 có dạng
⎧0
⎪

n
t
−1 −
2
2

e dt

+∞

Γ( x) = ∫ e −t t x −1dt
Tham số n
được gọi là
số bậc tự do

0

Γ( x + 1) = xΓ( x)
Γ(1) = 1
⎛1⎞
Γ⎜ ⎟ = π
⎝2⎠
10:10:14