LÝ THUYẾT
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Phan Văn Tân
Bộ mô Khí tượng


CHƯƠNG 5. KHÔNG GIAN MẪU VÀ THỐNG KÊ
TRÊN KHÔNG GIAN MẪU
5.1 Không gian mẫu
• Mẫu là gì?
– Là tập hợp hữu hạn các phần tử lấy từ tập tất cả các phần tử có
thể có nào đó
• Tại sao phải lấy mẫu?
– Để nghiên cứu một hiện tượng, một sự kiện nào đó ta không
thể xem xét tất cả các thành phần cấu thành nó, vì số thành
phần là vô hạn hoặc quá nhiều
– Ví dụ:
•
•
•
•

Nghiên cứu tâm lý lứa tuổi
Điều tra xã hội học về một chính sách nào đó
Đánh giá chất lượng sản phNm của nhà máy
…


CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.1 Không gian mẫu

CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.1 Không gian mẫu
• Đối với cách lấy mẫu lặp:
– Mỗi phần tử trong số n phần tử của mẫu có N cách chọn, vì
mỗi phần tử sau khi chọn được trả lại tập ban đầu
– Î Có tất cả N n cách lấy mẫu khác nhau
• Đối với các lấy mẫu không lặp:
– Có N cách chọn phần tử thứ nhất của tập mẫu
– Có (N –1) cách chọn phần tử thứ hai, vì phần tử thứ nhất không
được trả lại tập ban đầu
– …
– Có (N –n+1) cách chọn phần tử thứ n của tập mẫu
– Î Có tất cả N (N –1)…(N –n+1)=AN n cách lấy mẫu


CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.1 Không gian mẫu

ANn
• N hận thấy: Khi n
• Từ tập mẫu (X1, X2,…, Xn) ta lập hàm Fn(x):
nx
⎧
⎪ Fn ( x ) =
n
⎨
⎪⎩n x = Sè phÇn tö cña (X 1 , X 2 ,..., X n ) tháa m·n X i < x
• Fn(x) được gọi là phân bố mẫu của X
• Ứng với mỗi đối số x giá trị hàm Fn(x) là tần suất của sự kiện X

1
Xi
∑
n i =1

• Phương sai mẫu:
2
2
1 n
1 n 2
~
2
2
2
Dx = s x = D[ X ′] = ∑ ( X i − X ) = ∑ X i − X ≡ X − − X
n i =1
n i =1
n
• Mômen gốc mẫu bậc k:
1
k
~ = M [ X ′k ] =
m
X
∑ i
k
n i =1
• Mômen trung tâm mẫu bậc k:
n

• Định nghĩa: Một hàm số g(X1, X2,…, Xn) bất kỳ với các biến là
(X1, X2,…, Xn) được gọi là một đại lượng thống kê hay một đặc
trưng thống kê trên không gian mẫu
• Vì (X1, X2,…, Xn) là một hệ các đại lượng ngẫu nhiên nên g(X1,
X2,…, Xn) cũng là một đại lượng ngẫu nhiên
n
1
• Ví dụ: Kỳ vọng mẫu: X =
Xi
∑
n i =1
1 n
~
2
Dx = s x = ∑ ( X i − X ) 2
• Phương sai mẫu:
n i =1
• Các mômen gốc, mômen trung tâm mẫu đều là những đại
lượng thống kê trên không gian mẫu


CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê
• Cho Y=g(X1, X2,…, Xn) là một đại lượng thống kê và
f(x1)×f(x2)×…×f(xn) là mật độ xác suất của (X1, X2,…, Xn)
• Cần xác định phân bố Fy(y) của Y
• Về nguyên tắc ta có:

Fy ( y ) = ∫ f ( x1 )... f ( xn )dx1...dxn ,

TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê
• Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp
• Định lý 2: N ếu X có phân bố chuNn N (μ,σ) và (X1, X2,…, Xn) là
n − 1 *2
mẫu của X thì
U = 2 sx

σ

có phân bố χ2 với (n–1) bậc tự do, U∈χ2(n–1), với
1 n
1 n
*2
2
(Xi − X ) , X = ∑ Xi
sx =
∑
n − 1 i =1
n i =1
• Định nghĩa: N ếu Z có phân bố chuNn N (0,1), U có phân bố χ2 với
n bậc tự do, χ2(n), thì
Z
Z
t=
=
n
U /n
U
có phân bố Student với n bậc tự do, ký hiệu t∈St(n)

tự do, U1∈χ2(n1), U2∈χ2(n2)thì
U /n
F= 1 1
U 2 / n2
có phân bố Fisher (phân bố F) với n1 và n2 bậc tự do, ký hiệu
F∈F(n1,n2) hoặc F∈Fn1,n2


CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê
• Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp
• Định lý 4: N ếu X và Y đều có phân bố chuNn và có cùng phương
sai, D[X]=D[Y]=σ2, (X1, X2,…, Xn1) là mẫu của X, (Y1, Y2,…,
Yn2) là mẫu của Y, thì
*2
s
f = *x 2
sy
có phân bố F với (n1–1) và (n2–1) bậc tự do, f∈F(n1–1,n2–1), với
n1
1 n1
1
2
(
)
, X = ∑ Xi
sx =
X
−

TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
Những điều cần chú ý
• Khi xét đại lượng ngẫu nhiên X với mẫu (X1, X2,…, Xn):
– Các Xi nhận các giá trị trong tập các giá trị có thể của X nên
các Xi có cùng phân bố với X, f(xi)=f(x)
– Các Xi là độc lập với nhau
– Có thể xét (X1, X2,…, Xn) như là một hệ n đại lượng ngẫu
nhiên, phân bố của hệ: f(x1,…,xn)=f(x1)×…×f(xn)
– Bộ giá trị (x1,…,xn) là những hằng số cụ thể, và là kết quả của
một lần chọn nào đó Î Khái niệm mẫu (X1, X2,…, Xn) là một
khái niệm trừu tượng
n
n
1
1
• Phân biệt:
M [ X ] ≠ X = ∑ X i ≠ x = ∑ xi
n i =1
n i =1
• Tương tự, với các đặc trưng khác: Phương sai, mômen,…


CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) với mẫu lấy được (X1,Y1),
(X2,Y2),…, (Xn,Yn)
• Khi đó, ngoài các đặc trưng riêng như kỳ vọng, phương sai,
mômen gốc, mômen trung tâm của từng đại lượng ngẫu nhiên, các
đặc trưng quan trọng cần được xem xét là mômen tương quan và

=
rxy = ~ ~ =
1 n
1 n
Dx D y s x s y
2
2
(
X
−
X
)
(
Y
−
Y
)
∑ i
∑ i
n i =1
n i =1
• Trong đó

1 n
1 n
~
~
2
2
2

xj
xj
ij
j , j = 1,2,..., m
n i =1
~ 2
• Trong nhiều trường hợp để đơn giản ta sử dụng ký hiệu D j , s j
~
2
thay cho ký hiệu D
,
s
xj
xj


CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Các mômen tương quan mẫu:
n
1
μ~x j xk = ∑ ( X ij − X j )( X ik − X k ), j, k = 1,2,..., m
n i =1
• Tập hợp các mômen tương quan mẫu lập thành ma trận tương
quan mẫu:
• Sử dụng ký hiệu R jk
~
~
~

⎜⎜
⎟⎟
⎝ Rm1 Rm 2 ... Rmm ⎠


CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• N hận thấy:
n
n
1
1
μ~x x = ∑ ( X ij − X j )( X ik − X k ) = ∑ ( X ik − X k )( X ij − X j ) = μ~x x ,
n i =1
n i =1
( j, k = 1,2,..., m )
j k

k

j

• Ma trận tương quan mẫu là ma trận đối xứng
n
n
1
1
~
• Khi j≡k: μ~x x = ∑ ( X ij − X j )( X ij − X j ) = ∑ ( X ij − X j )2 = D

Pxx = ⎜
⎜
⎟
...
... ... ... ⎟
⎜ r21 r22 ... r2 m ⎟
⎟
⎜
Pxx = ⎜
⎜ rx x rx x ... rx x ⎟
... ... ... ... ⎟
m 2
m m ⎠
⎝ m1
⎜⎜
⎟⎟
⎝ rm1 rm 2 ... rmm ⎠