Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
BÀI TẬP
CHƯƠNG 0
GIẢI TÍCH KẾT HỢP
0.1. Chứng minh
C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) = C(n+1,p+1)
0.2. Chứng minh
C(n,1) + 2.C(n,2) + … + n.C(n,n) =
∑
=
n
k
knCk
1
),(.
= n.2
n−1
0.3. Chứng minh
C(n,0) +
2
1
C(n,1) +
3
1
.C(n,2) + … +
1
1
+n
.C(n,n) =
∑
=

CHƯƠNG 1
SỰ KIỆN VÀ XÁC SUẤT
1.1. Có n người ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn. Tính xác suất để hai người xác
định ngồi cạnh nhau.
1.2. Có n người ngồi ngẫu nhiên trên ghế dài. Tính xác suất để hai người xác định
ngồi cạnh nhau.
1.3. Một cỗ bài gồm 52 quân có 4 chất, mỗi chất 13 quân. Từ cỗ bài đã xóc kỹ ta rút
ngẫu nhiên 6 quân bài.
a) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có ít nhất một con Át.
b) Tính xác suất sao cho trong 6 quân rút có đủ đại diện của 4 chất.
1.4. Có n đôi găng tay thuộc n loại khác nhau được bỏ lẫn lộn trong ngăn kéo. Rút
ngẫu nhiên 2.k chiếc (4 ≤ 2k ≤ n). Tính xác suất rút được đúng 2 đôi.
1.5. Bốn sinh viên vào 5 phòng học. Giả sử mỗi người có thể vào một phòng bất kỳ
với khả năng như nhau. Tính xác suất để
a) Cả 4 người vào cùng phòng.
b) Bồn người vào 4 phòng khác nhau.
 Bài tập 2
Tr ần Qu ốc Chi ến: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
BÀI GIẢI
CHƯƠNG 0
GIẢI TÍCH KẾT HỢP
0.1. Chứng minh
C(p,p) + C(p+1,p) + … + C(n,p) =
∑
=
n
pk
pkC ),(
= C(n+1,p+1)
CM.

1
),(.
= n.2
n−1
CM.
Sử dụng công thức k.C(n,k) = n.C(n−1,k−1) ta có
∑
=
n
k
knCk
1
),(.
=
∑
=
−−
n
k
knCn
1
)1,1(.
= n.
∑
−
=
−
1
0
),1(

12
1
1
1
−
+
+n
n
CM.
Sử dụng công thức (k+1).C(n+1,k+1) = (n+1).C(n,k) ta có
∑
=
+
n
k
knC
k
0
),(
1
1
=
∑
=
++
+
n
k
knC
n

Tr n Qu c Chi n: Lý thuyt xỏc sut v thng kờ toỏn hc
Câu hỏi lý thuyết XSTK
chơng 2. Biến ngẫu nhiên
III. Biến ngẫu nhiên liên tục
LT.2.III.1. Phát biểu định nghĩa biến ngẫu nhiên liên tục. Biến ngẫu nhiên liên tục
khác biến ngẫu nhiên rời rạc nh thế nào ? Cho ví dụ.
LT.2.III.2. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục. Hãy chứng minh
(i) P(X = x) = 0 xR
(ii) P(a X b) = P(a < X < b) =
(iii) Hàm phân phối F(x) liên tục trên R và khả vi tại các điểm liên tục của hàm mật
độ f và F(x) = f(x).
LT.2.III.3. Định nghĩa kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục. Phát biểu và chứng minh
các tính chất của kỳ vọng.
LT.2.III.4. Định nghĩa phơng sai và độ lệch quân phơng của biến ngẫu nhiên liên tục.
Phát biểu và chứng minh các tính chất của phơng sai.
LT.2.III.5. Định nghĩa phơng sai và độ lệch quân phơng của biến ngẫu nhiên liên tục.
Chứng minh công thức Koenig-Huyghens tính phơng sai.
LT.2.III.6. Định nghĩa Mode và Trung vị biến ngẫu nhiên liên tục. Tìm mode và trung
vị của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E().
LT.2.III.7. Trình bày luật phân phối đều trên [a;b] U([a;b]): Định nghĩa, hàm phân
phối, hàm mật độ, kỳ vọng và phơng sai, đồ thị.
LT.2.III.8. Trình bày luật phân phối mũ với tham số E() : Định nghĩa, hàm phân
phối, hàm mật độ, kỳ vọng và phơng sai, đồ thị.
LT.2.III.9. Định nghĩa các khái niệm Momen cấp k của biến ngẫu nhiên liên tục. Tìm
momen cấp 3 của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E().
LT.2.III.10. Định nghĩa khái niệm Hệ số bất đối xứng của biến ngẫu nhiên liên tục.
Tìm hệ số bất đối xứng của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E().
Bi tp 4

b

ở một nút giao thông cứ h phút có một xe đi qua, xác suất pan xe là p. Hãy tính
xác suất có ít nhất 1 xe bị pan trong khoảng thời gian từ 7g00 đến 19g00 trong:
a) những năm 90: h=15, p=5%
b) những năm 60: h=30, p=50%
BT II.3.03
Trong 100 vé số có 5 vé có thởng. Một ngời mua 4 vé.
a) Tìm xác suất để ngời đó có ít nhất 1 vé trúng thởng.
b) Ngời đó phải mua ít nhất bao nhiêu vé để xác suất có vé trúng thởng không nhỏ hơn
0,5.
BT II.3.04
Một ngời trung bình có 2 ngày bị ốm trong năm (365 ngày).
Tính xác suất để ngời đó trong 18 tháng có ít nhất 3 ngày bị ốm.
BT II.3.05
Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối mũ E().
a) Viết bất đẳng thức Trebsep với tham số >0.
b) Từ a) suy ra t>0:t
2
.e
-t
e
c) Hãy đánh giá độ chính xác của bất đẳng thức trên.
Bi tp 6
Tr n Qu c Chi n: Lý thuyt xỏc sut v thng kờ toỏn hc
BT II.3.06
Một xúc sắc khi gieo có xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là p , 0<p<1. Ngời ta gieo
xúc sắc 6.n , n1, lần một cách độc lập. Ký hiệu biến ngẫu nhiên X
n
là số lần xuất
hiện mặt 6.
a) Xác định luật phân phối của X

1
, X
n
có phân phối hình học G(p
n
), 0< p
n
< 1.
Tìm điều kiện cần và đủ của (p
n
) để dãy (X
n
) hội tụ theo luật.
BT II.3.09.b
Một thùng có n quả cấu đánh số từ 1 đến n, n 1. Một nhóm n ngời cũng mang số
từ 1 đến n, lần lợt rút mỗi ngời một quả cầu, có trả lại. Nếu có ngời rút đợc quả cầu
trùng với số của mình thì lặp lại quá trình rút cầu trên.
Ký hiệu X
n
là số lần lặp quá trình rút cầu cho đến khi mỗi ngời rút đợc quả cầu
khác số với mình.
a) Xác định luật phân phối của X
n
, kỳ vọng của nó.
b) Chứng minh (X
n
) hội tụ theo luật đến biến ngẫu nhiên Y, xác định luật phân phối
của Y.
c) Chứng minh: limE(X
n


=
.
a) Chứng minh rằng dãy biến ngẫu nhiên (M
n
)
n

1
, định nghĩa nh sau:
n
mm
n
XX
M
nn
n
++

++
=

11
hội tụ theo luật đến 0.
b) Giả thiết X
k
có kỳ vọng m và phơng sai k. Chứng minh luật số lớn yếu:
m
n
XX


1

1

++
=
XS
n
n
n
TT
M
BT II.3.11b
Tuổi thọ một chất phóng xạ có luật phân phối mũ E(), >0. Gọi T
1
, , T
n
là tuổi
thọ của n hạt chất phóng xạ, phân rã độc lập. Ký hiệu R
n
là tuổi thọ của hạt cuối cùng
phân rã.
a) Xác định hàm phân phối của R
n
.
b) Khảo sát sự hội tụ theo luật của dãy biến ngẫu nhiên
1



định nghĩa nh sau:
T
n+1
= g(T
n
), n0, trong đó g:II là ánh xạ co trên khoảng I trong R, có điểm cố
định duy nhất l.
a) Chứng minh rằng dãy (T
n
) hội tụ theo xác suất, kéo theo hội tụ theo luật, đến l.
b) Khảo sát hội tụ theo xác suất và theo luật của dãy:
T
0
~ U([-1,1]); T
n+1
=
dte
n
T
t


0
2
2
1

Bi tp 8
Tr n Qu c Chi n: Lý thuyt xỏc sut v thng kờ toỏn hc
BT II.4.20

c) có ít nhất 10 cầu trắng
BT II.4.23a
Bi tp 9
Tr n Qu c Chi n: Lý thuyt xỏc sut v thng kờ toỏn hc
Cho mẫu 100 viên bi từ tập tổng thể vô số bị. Giả thiết đờng kính bi có kỳ vọng à = 0.95 cm
và độ lệch quân phơng = 0.025cm. Hãy xác định khoảng tin cậy của đờng kính viên
bi với độ tin cậy 95%
a) bằng cách sử dụng bất đẳng thức Trebsep
b) với giả thiết đờng kính bi tuân theo luật phân phối chuẩn.
BT II.4.23b
Cho mẫu 100 viên bi từ tập tổng thể vô số bị. Giả thiết đờng kính bi có kỳ vọng à = 0.95 cm
và độ lệch quân phơng = 0.025cm. Hãy xác định khoảng tin cậy của đờng kính viên
bi với độ tin cậy 99%
a) trong trờng hợp sử dụng bất đẳng thức Trebsep
b) trong trờng hợp giả thiết đờng kính bi tuân theo luật phân phối chuẩn.
BT II.4.24
Thời gian thực hiện một loại phản ứng hoá học là biến ngẫu nhiên T độ lệch quân phơng =
0.05 giây. Hãy xác định số lần thí nghiệm ít nhất để với độ tin cậy 95%, độ lệch của
trung bình cộng thời gian so với kỳ vọng không quá 0.01 giây
a) trong trờng hợp sử dụng bất đẳng thức Trebsep
b) trong trờng hợp giả thiết biến ngẫu nhiên T tuân theo luật phân phối chuẩn.
BT II.4.25
Trong một đợt bầu cử ngời ta chọn ngẫu nhiên 100 cử tri để thăm dò kết quả thì đợc biết có
55% bỏ phiếu cho ứng cử viên A, 45% bầu ứng cử viên B.
a) Hãy xác định khoảng tin cậy của tỉ lệ cử tri bầu ứng cử viên A với độ tin cậy 95%.
b) Giả thiết tỉ lệ phiếu bầu trên là chung cho tất cả cử tri. Cần phải thăm dò ít nhất
bao nhiêu cử tri để có thể đảm bảo ứng cử viên A có ít nhất 50% phiếu bầu với độ tin
cậy 95%.
BT II.4.26a
Có N (N rất lớn) cử tri tham gia bầu cử. Để ớc lợng tỉ lệ p số ngời bầu ứng cử viên A, ngời ta

)1( pp
pX
G
n
n


=
.
b) Tìm a > 0 nhỏ nhất thoả P(-a G
n
a ) 0.99.
c) Cho mẫu cỡ n=1000 , ta có tần suất ngời bỏ phiếu cho A là f=0,55. Tìm khoảng ớc
lợng [p
1
, p
2
] của p với độ tin cậy ít nhất là 0.99
BT II.4.28
Xét tập tổng thể có N (N rất lớn) phần tử, và biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị t-
ơng ứng a
1
, , a
N
.
Ký hiệu à = E(X) và
2
= D(X). Chọn ngẫu nhiên mẫu không lặp cỡ n (n < N)
(X
1

a.
a) Biểu diễn b theo a và biểu diễn tờng minh hàm mật độ f .
b) Xác định hàm phân phối F của X và vẽ đồ thị của nó.
c) Tính kỳ vọng E(X) và phơng sai V(X).
BT 2.I.6.
a) Xác định số thực a để hàm f cho bởi
f(x) = 0 nếu x 1 và f(x) = a/(x
2
-1/4) nếu x > 1
là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục.
b) Xác định hàm phân phối F của X.
c) Kỳ vọng E(X) có tồn tại hay không ? Nếu tồn tại, hãy tính E(X).
d) Phơng sai V(X) có tồn tại hay không ? Nếu tồn tại, hãy tính V(X).
BT 2.I.7.
a) Cho aR. Xác định số thực để hàm f cho bởi
f(x) = 0 nếu x a và f(x) = /(x
2
+1) nếu x > a
là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục.
b) (i) Xác định hàm phân phối F của X.
(ii) Vẽ đồ thị hàm mật độ f và hàm phân phối F.
c) X có mômen bậc s 1 hay không ?
BT 2.I.8.
Cho hàm F nh sau: F(x) = e
x
/ (e
x
+ e
-x
) xR

1/(t
3
+ 1)dt

-

(iii) Xác định để f là mật độ của biến ngẫu nhiên.
b) Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ f. Tính hàm phân phối F của X.
c) Chứng tỏ X có kỳ vọng E(X). Tính E(X)
d) X có phơng sai không ?
BT 2.I.10
a) (i) Cho x 0. Chứng minh sự hội tụ của tích phân
I(x) =
(ii) Xác định để hàm f định nghĩa nh sau:
f(x) = 0 nếu x < 0 và f(x) = I(x) nếu x 0
là mật độ của biến ngẫu nhiên X.
b) Xác định hàm phân phối F của X.
c) (i) Chứng minh rằng tồn tại K sao cho x 2: f(x) K.e
-x
.
(ii) Từ câu (i) suy ra X có mômen mọi bậc k.
BT 2.I.11
Cho hàm f nh sau: f(x) = .2
-x
nếu x 0 và f(x) = à.2
x
nếu x < 0, trong đó
và à là các số thực.
a) và à phải thoả mãn quan hệ gì để f là mật độ của biến ngẫu nhiên.
b) và à phải thoả mãn quan hệ gì để f là mật độ của biến ngẫu nhiên trung tâm (có

Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Gama (b,) có mật độ
f
b,

(x) = 0 nếu x 0
x

-1
.e
-x/b

+

f
b,

(x) = nếu x > 0 ( () = u

-1
.e
-u
du )
b

.()
0
a) Chứng minh rằng mômen gốc bậc s tồn tại s1
b) Tính mômen gốc bậc s (s1).
BT 2.II.10
a) Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Pareto VP(,a,b) có mật độ

(x) = . nếu x > a
a x
a) Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = log
k
(X/a) ( a > 0 và k > 1 ).
b) Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = X
c
(c>0) .
BT 2.II.13
Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chính qui N(0,) và a > 1.
Xác định để xác suất P(X[a-1,a+1]) là lớn nhất.
BT 2.II.14
Bi tp 14
Tr n Qu c Chi n: Lý thuyt xỏc sut v thng kờ toỏn hc
Sử dụng bảng hàm phân phối của luật phân phối chính qui N(0,1) tính tích
phân
1
e
-x + x
dx
0
(Cho biết 2 = 1.42 , = 3.14 )
BT 2.II.15
a) Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối đều trên [a;b]. Xác định luật
phân phối của biến ngẫu nhiên Y = .X + ( 0, R).
b) Cho :R R là song ánh khả vi liên tục có đạo hàm (x) 0 xR. Giả thiết
các biến ngẫu nhiên X và (X) tuân theo luật phân phối đều tơng ứng trên [a,b]
và trên [c,d]. Chứng minh rằng là hàm afin.
BT 2.II.16
a) Cho > 0 và > 0 và

1
g

,

(x) = . x

-1
.(1- x)

-1
nếu x [0,1]
B(,)
Chứng minh rằng g

,

(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên . Biến ngẫu nhiên có mật
độ g

,

gọi là tuân theo luật phân phối Beta với tham số và .
c) Tính kỳ vọng và phơng sai của biến ngẫu nhiên có mật độ g

,

.
BT 2.II.17
a) Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chính qui N(0,1). Xác định luật