Chương 4
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Định nghĩa :
ĐLNN 2 chiều là 1 bộ gồm 2 ĐLNN X và Y. Ký hiệu: (X, Y).
Nếu X và Y rời rạc thì (X, Y) đgl vectơ ngẫu nhiên rời rạc. Ngược lại
thì (X, Y) liên tục.
* Mở rộng: ĐLNN n chiều (hay còn gọi là vectơ ngẫu nhiên n chiều)
là một bộ gồm n ĐLNN (X
1
, X
2
,…, X
n
).
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :
Bảng phân phối xác suất của ĐLNN hai chiều:
y
1
y
2
… y
m
x
1
p
11
p
12

Từ bảng PPXS, ta tìm được PPXS đối với từng thành phần X, Y (gọi là
phân phối lề, hay phân phối biên) như sau:
X x
1
x
2
… x
n
P p
1
p
2
… p
n
Y y
1
y
2
… y
m
P q
1
q
2
… q
m
m
i ij
j = 1
p = p (i = 1,n)

m
x
1
p
11
p
12
… p
1m
x
2
p
21
p
22
… p
2m
… … … … …
x
n
p
n1
p
n2
… p
nm
Y
X
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :

Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :
Hàm mật độ xác suất của ĐLNN hai chiều (X, Y) (ký hiệu là f(x,y)) là
hàm thỏa mãn các điều kiện sau:
2 2
1 1
2
+ +
- -
x y
1 2 1 2
x y
(i) f(x, y) 0, (x, y)
(ii) f(x, y)dxdy = 1
(iii) P[(x < X < x )(y < Y < y )] = f(x,y)dxdy
∞ ∞
∞ ∞
≥ ∀ ∈
∫ ∫
∫ ∫
¡
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN hai chiều (X, Y) (ký hiệu F(x,y))
được định nghĩa như sau:
F(x,y) = P[(X < x)(Y < y)] (x, y ∈ )
Đối với ĐLNN rời rạc :
Đối với ĐLNN liên tục :
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :
i j
i j
x < x y < y

2 2
- -
Var(X) = x f(x,y)dxdy - [E(X)]
∞ ∞
∞ ∞
∫ ∫
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :

Hiệp phương sai : Cov(X,Y)
Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]
= E(XY) – E(X).E(Y)
Nếu (X,Y) rời rạc:
n m
i j ij
i = 1 j = 1
Cov(X,Y) = x y p - E(X).E(Y)
∑∑
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :

Hiệp phương sai : Cov(X,Y)
Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]
= E(XY) – E(X).E(Y)
Nếu (X,Y) liên tục:
+ +
- -
Cov(X,Y) = xyf(x,y)dxdy - E(X).E(Y)

Var(Y)
± 2ab.Cov(X,Y).
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều :

Hệ số tương quan :

Tính chất của hệ số tương quan :

|ρ
XY
| ≤ 1.

Nếu Y = aX + b thì ρ
XY
= ± 1 (a ≠ 0).

ρ(aX + b, cY + d) = ρ(X,Y), với a, b, c, d là các hằng số và ac ≠
0.
XY
X Y
cov(X,Y)
ρ =
σ σ
Ví dụ : Giả sử hai loại cổ phiếu A, B có mức lãi suất (X, Y) có bảng
phân phối xác suất như sau:
II. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN HAI CHIỀU
-2% 0% 5% 10%

… y
m
x
1
p
11
p
12
… p
1m
x
2
p
21
p
22
… p
2m
… … … … …
x
n
p
n1
p
n2
… p
nm
Y
X
j k

… p
1m
x
2
p
21
p
22
… p
2m
… … … … …
x
n
p
n1
p
n2
… p
nm
Y
X
i h
i h
h
ih
h
P(X = x /Y = y )
P[(X = x )(Y = y )]
=
P(Y = y )

n
P(X/y
h
) P(X = x
1
/y
h
) … P(X = x
n
/y
h
)
III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG
TOÁN CÓ ĐIỀU KIỆN
Kỳ vọng toán có điều kiện:
Từ các bảng phân phối xác suất có điều kiện, ta suy ra kỳ vọng toán
có điều kiện, phương sai có điều kiện,…
0 1 2
0 1/45 6/45 3/45
1 10/45 15/45 0
2 10/45 0 0
X
2X
1
E(X
1
/X
2
= 0)?
III. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG