WWW.VNMATH.COM
Chương 11
Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :
1. Để có hai đường thẳng d và d
′
vuông góc, có thể chứng minh :
•
−→
u .
−→
v = 0, ở đó
−→
u và
−→
v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d
′
.
• Góc giữa chúng bằng 90
◦
.
• d song song với đường thẳng ∆, còn d
′
vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó).
• d⊥(α) mà (α) chứa d
′
, hoặc d
′
⊥(β) mà (β) chứa d.
• Khi d và d
′
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• AB
2
+ AC
2
= BC
2
(Định lí Pytago);
•
1
AH
2
=
1
AB
2
+
1
AC
2
; AH =
AB.AC
BC
;
• AB
2
= BH.BC; AC
2
= CH.BC;
• AM =
a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos A; cos A =
b
2
+ c
2
− a
2
2bc
.
2. Định lí hàm số sin :
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sinC
= 2R ⇒ a = 2R sin A.
3. Công thức trung tuyến :
m
2
a
=
4S
, r =
S
p
.
(b) Tam giác ABC vuông tại A thì S =
1
2
AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S =
a
2
2
.
(c) Tam giác ABC đều cạnh a thì S =
a
2
√
3
4
và đường cao bằng
a
√
3
2
;
5. Diện tích hình vuông cạnh a là S = a
2
.
6. Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab.
7. Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin
d bất kì biểu thị được một cách duy nhất qua ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c ; nghĩa là tồn tại duy
nhất bộ ba số m, n, p sao cho
−→
d = m
−→
a + n
−→
b + p
−→
c .
Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Đặt
−−→
AA
′
=
−→
−→
a ,
−→
b ,
−→
c .
Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A
′
B
′
C
′
. Đặt
−→
a =
−−→
AC
′
,
−→
b =
−−→
BA
′
,
−→
c =
−−→
CB
′
AB +
−−→
AD +
−−→
AE =
−−→
AG.
Bài 11.4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng
−−→
S A +
−−→
SC =
−−→
S B +
−−→
S D.
Bài 11.5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng
−−→
S A
2
+
−−→
SC
2
=
−−→
S B
2
+
−−→
′
theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A
′
B
′
C
′
D
′
.
1. Hãy biểu diễn các vectơ
−−→
AO,
−−−→
AO
′
theo các vectơ
−−→
AA
′
,
−−→
AB,
−−→
AD.
2. Chứng minh rằng
−−→
AD +
−−−→
D
−−→
AB = k
−−→
AC.
• Chọn một điểm I nào đó và chứng minh
−→
IC = m
−−→
OA + n
−−→
OB với m + n = 1.
2. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ
−−→
AB và
−−→
CD cùng phương.
3. Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD ⊂ (P) sao cho AB ∥ CD hoặc
−−→
AB = x
−→
u + y
−→
v trong đó các vectơ
−→
u và
−→
v có giá song song hoặc nằm trên (P).
Bài 11.9 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
−→
b,
−−→
BC =
−→
c .
1. Hãy biểu thị các vectơ
−−→
BM và BN qua các vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c .
2. Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD
′
.
Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho
−−→
MA = m
−−→
Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆, ∆
1
cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A
1
, B
1
,C
1
. Với điểm O bất kì
trong không gian, đặt
−→
OI =
−−−→
AA
1
,
−−→
OJ =
−−−→
BB
1
,
−−→
OK =
−−−→
CC
1
. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 203
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
AM =
1
3
−−→
AD. N là điểm trên đường thẳng BD
1
, P là
điểm trên đường thẳng CC
1
sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng. Tính
¬
¬
¬
−−−→
MN
¬
¬
¬
¬
¬
¬
−−→
NP
¬
¬
¬
.
Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
1
và đỉnh C
1
thuộc một đường thẳng.
2. Tính tỉ số
GA
GC
1
.
Bài 11.17 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB
′
A
′
. M là một điểm trên OB
′
.
Mặt phẳng (MD
′
C) cắt BC
′
ở I và DA
′
1
, AB
1
của các mặt
bên sao cho EF ∥ BC
1
. Tìm tỉ số
EF
BC
1
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
, điểm M là trung điểm cạnh bên AA
1
. Trên đường chéo AB
1
, BC
1
của các mặt
bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM. Tìm tỉ số
EF
CM
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.21 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1
1
=
B
1
N
BB
1
=
C
1
P
CC
1
=
3
4
. Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, A
1
N sao cho EF ∥ B
1
P. Tìm tỉ số
EF
B
1
P
.
Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
,
−−→
ND = k
−−→
NB
(k 0, k 1).
1. Chứng minh rằng MN ∥ (A
′
BC) ;
2. Khi đường thẳng MN ∥ A
′
C, chứng minh rằng MN vuông góc với AD
′
và DB.
Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD
′
; G, G
′
lần lượt là trọng tâm của các tứ diện
A
′
D
a ,
−→
b ,
−→
c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho
−→
c = m
−→
a + n
−→
b , trong đó
−→
a ,
−→
b là hai vectơ không
cùng phương.
Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 204
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.
′
D,
−−−→
C
′
D
′
.
Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho
−−→
AM = 3
−−−→
MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
−−→
NB = −3
−−→
NC.
Chứng minh rằng ba vectơ
−−→
AB,
−−→
DC,
−−−→
MN đồng phẳng.
Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường
chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ
−−→
BD,
−→
IK,
′
,
−−−→
DD
′
đồng phẳng.
Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác đều OABCD và OA
′
B
′
C
′
D
′
có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Chứng minh rằng
các vectơ
−−→
AA
′
,
−−→
BB
′
,
−−−→
CC
′
,
−−−→
DD
OC;
−−→
ON = (α + 1)
−−→
OA + 2
−−→
OB +
−−→
OC;
−−→
OP = (α − 2)
−−→
OB + 2
−−→
OC
với α là số thực. Tìm α để ba vectơ
−−→
OM,
−−→
ON,
−−→
OP đồng phẳng.
Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng các phân giác trong của các góc
yOz,
zOx và phân giác ngoài của
xOy thuộc
một mặt phẳng.
BD
. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB
′
và A
′
C
′
. Điểm K thuộc B
′
C
′
sao cho
−−−→
KC
′
= −2
−−−→
KB
′
.
Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.
Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; M là điểm thuộc AC sao cho
−−→
2
−−→
AD,
−−→
DP = k
−−→
DC. Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng.
11.2 Hai đường thẳng vuông góc
Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ
1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu
−−→
OA =
−→
a ,
−−→
OB =
−→
b thì (
−→
a ,
−→
b ) = (
−−→
OA,
−−→
OB) =
AOB. Đặ
c biệt
−−→
OB) = 180
◦
−
AOB.
2. Dùng hệ quả của tích vô hướng : cos(
−→
u ,
−→
v ) =
−→
u .
−→
v
|
−→
u|.|
−→
v|
.
Bài 11.40 : Cho tứ diện đều ABCD, gọi H là trung điểm AB. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
1.
−−→
AC và
−−→
CD; 2.
−−→
CH và
−−→
A
′
B và
−−−→
B
′
D
′
.
Bài 11.42 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa
hai vectơ
−−→
OM và
−−→
BC.
Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có S A = S B = SC = AB = AC = a và BC = a
√
2. Tính góc giữa hai vectơ
−−→
AB và
−−→
SC.
Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b
1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Lấy hai đường thẳng a
′
và b
′
cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Góc
giữa a và b bằng góc giữa a
◦
− (
−−→
AB,
−−→
CD).
Nếu tính theo phương pháp vectơ thì cos(AB,CD) =
¬
¬
¬
¬
cos(
−−→
AB,
−−→
CD)
¬
¬
¬
¬
.
Bài 11.44 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
hoặc chứng minh
−−→
AB.
−−→
CD = 0.
Bài 11.50 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB
′
. Chứng minh rằng MN⊥A
′
C.
Bài 11.51 : Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân có CB = b, AC = c.
1. Chứng minh rằng AC⊥BD ;
2. Tính cosin góc giữa hai vectơ
−−→
AB,
−−→
CD.
Bài 11.52 : Trên các đường chéo D
1
A, A
1
B, B
P = k
−−−→
B
1
C;
−−→
DQ = k
−−−→
DC
1
.
Tìm số thực k để MN⊥PQ.
Bài 11.53 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng OA⊥CD.
Bài 11.54 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có cạnh bằng a. Trên các cạnh DC và BB
′
ta lần lượt lấy các điểm M, N không
trùng với đầu mút sao cho DM = BN. Chứng minh rằng AC
′
⊥MN.
Bài 11.55 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng
AB⊥CD.
Bài 11.56 : Cho hình hộp ABCD.A
MB = k
−−→
MC và
−−→
NA = k
−−→
ND, với k là
số thực khác 0 cho trước. Đặt α = (
−−−→
MN,
−−→
BA), β = (
−−−→
MN,
−−→
CD). Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α = β = 45
◦
.
Bài 11.58 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
1. Chứng minh rằng AD⊥BC.
2. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, DB sao cho
−−→
MA = k
−−→
MB,
−−→
ND = k
−−→
NB. Tính góc giữa hai đường thẳng
MN và BC.
,G
2
lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh rằng G
1
G
2
⊥(ABC).
Bài 11.62 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và S A = SC.
1. Chứng minh rằng AC⊥(S BD).
2. Kẻ đường thẳng qua S vuông góc với (ABCD) tại I. Chứng minh rằng I cách đều A và C.
Bài 11.63 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC = a,
AS B = 90
◦
,
BSC = 60
◦
,
ASC = 120
◦
. Gọi O là trung điểm cạnh AC.
Chứng minh rằng S O⊥(ABC).
Bài 11.64 : Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm cạnh BC.
1. Chứng minh rằng BC⊥(AID).
2. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH⊥(BCD).
Bài 11.65 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a
√
3, mặt bên S BC vuông tại B, mặt bên SCD
của a trên (P).
3. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 208
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.70 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh S A⊥(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của điểm A trên các cạnh S B, SC,S D.
1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB), CD⊥(S AD), BD⊥(S AC).
2. Chứng minh rằng SC⊥(AHK) và điểm I ∈ (AHK).
3. Chứng minh rằng HK⊥(S AC), từ đó suy ra HK⊥AI.
Bài 11.71 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có S A = SC, S B = S D.
1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD).
2. Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK⊥(S BD) và IK⊥S D.
Bài 11.72 : Cho tứ diện ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.
Bài 11.73 (Bài toán cơ bản) : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại H. Chứng minh rằng:
1. OA⊥BC, OB⊥CA, OC⊥AB.
2. H là trực tâm của tam giác ABC.
3.
1
OH
2
=
1
OA
2
+
1
OB
1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB).
2. Gọi AH là đường cao của tam giác S AB. Chứng minh rằng AH⊥SC.
Bài 11.76 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên S AB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S .
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD.
1. Tính các cạnh của tam giác S IJ và chứng minh rằng S I⊥(SCD), S J⊥(S AB).
2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng S H⊥AC.
3. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM⊥S A. Tính AM theo a.
Bài 11.77 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên S AB là tam giác đều và SC = a
√
2. Gọi H, K là
trung điểm AB, AD.
1. Chứng minh rằng S H⊥(ABCD) ; 2. Chứng minh rằng AC⊥S K,CK⊥S D.
Bài 11.78 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
′
B
′
C
′
. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết rằng A
′
H⊥(ABC). Chứng minh rằng
1. AA
′
⊥BC và AA
′
⊥B
′
C
′
.
1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB) và CN⊥(S D).
2. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và AC.
Bài 11.81 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình chữ nhật và S A = S B. Chứng minh rằng CD⊥(S IJ), trong đó I, J tương ứng là
trung điểm của AB và CD.
Bài 11.82 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; S A⊥(ABC) và H thuộc cạnh AC và thỏa mãn S H
2
= HA.HC.
Chứng minh rằng SC⊥(S AB).
Bài 11.83 : Cho hình chóp S .ABC có
BSC = 120
◦
;
CS A = 60
◦
;
AS B = 90
◦
và S A = S B = SC. Chứng minh rằng ABC là tam giác
vuông và S I⊥(ABC), trong đó I là trung điểm của BC.
Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)
1. Sử dụng định nghĩa : Nếu a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và hình chiếu vuông góc a
′
của a
trên mặt phẳng (P).
2. Nếu a ∥ (P) hoặc a ⊂ (P) thì góc giữa a và (P) bằng 0
◦
√
2.
1. Tính góc giữa đường thẳng BC
′
và (ABB
′
A
′
).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 210
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Gọi M là trung điểm CC
′
. Tính tang của góc giữa đường thẳng BM và (A
′
B
′
C
′
).
Bài 11.87 : Cho tam giác ABC cân tại A, có
A = 120
◦
, BC = a
√
3. Lấy điểm D ở ngoài mặt phẳng chứa tam giác sao cho DA = a.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC.
′
A
′
góc 30
◦
.
1. Tính AA
′
.
2. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng (BA
′
C
′
).
3. Gọi N là trung điểm của cạnh BB
′
. Tính góc giữa MN và mặt phẳng (BA
′
C
′
).
Bài 11.91 : Cho lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy ABC vuông cân tại A, AA
′
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đoạn nối trung điểm M của
. Gọi M là trung điểm AD.
1. Chứng minh rằng BM⊥S A; 2. Tính góc giữa BM và SC.
Vấn đề 4 : Dựng mặt phẳng qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d.
1. Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d và có ít nhất một đường thẳng qua điểm M. Mặt phẳng xác định bởi hai
đường thẳng nói trên chính là mặt phẳng (α).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 211
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Nếu có sẵn hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a, b cùng vuông góc với d thì chọn (α) ∥ a (hoặc chứa a) và (α) ∥ b (hoặc
chứa b).
Bài 11.96 : Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD = 2a, S A⊥(ABCD) và S A = 2a.
Gọi M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M, vuông góc với AB. Đặt AM = x (0 < x < a).
1. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với (α). Thiết diện là hình gì?
2. Tính diện tích thiết diện theo a và x. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Bài 11.97 : Cho tứ diện S ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, S A⊥(ABC) và S A = 2a. Gọi (α) là mặt phẳng qua B và vuông
góc với S C. Tìm thiết diện của diện S ABC với (α) và tính diện tích của thiết diện này.
Bài 11.98 : Cho hình tứ diện S ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, S A⊥(ABC), S A = a. Tìm thiết diện của tứ diện S ABC
với mặt phẳng (α) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:
1. (α) qua S và vuông góc với BC.
2. (α) qua A và vuông góc với trung tuyến S I của tam giác S BC.
3. (α) qua trung điểm M của SC và vuông góc với BC.
Bài 11.99 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S AB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.
M là trọng tâm của tam giác BCD, (α) đi qua M và vuông góc với AB, (β) đi qua M và vuông góc với CJ (J là điểm giữa đoạn AB).
Hãy xác định và tính diện tích các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng (α) và (β).
Bài 11.100 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, S A = 2a. Các mặt phẳng (S AC) và (S BC) cùng
vuông góc với (ABC) và M là trung điểm của các cạnh AB. Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
1. mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. 2. mặt phẳng qua M và vuông góc với SC.
= a
√
2. Gọi M là
trung điểm của OA, (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với A
′
B. Hãy xác định và tính diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi (α).
Bài 11.105 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD). Qua A xác định mặt phẳng (α) vuông góc
với SC cắt S B, SC,S D lần lượt tại E, K, H. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) khi S A = a
√
2.
Bài 11.106 : Trong mặt phẳng (P) vẽ hình thoi tạo bởi hai tam giác đều ABD và CBD có cạnh bằng a. Vẽ đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng (P) tại A và lấy trên đó điểm S sao cho AS = a. Từ M trên đường chéo AC của hình thoi, ta vẽ mặt phẳng (Q) vuông góc
với AC. Đặt CM =
x
√
3
2
.
1. Tùy theo x, khảo sát hình dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi (Q). Tính diện tích của thiết diện.
2. Tìm x để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất.
Bài 11.107 : Cho hình chóp S .ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a,
ABC = 60
0
. C
ạnh SC = a và vuông góc với
(ABC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua M ∈ S A và vuông góc với S A. Đặt AM = x. Tính diện tích thiết diện
và xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích lớn nhất.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 212
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
AHB
¬
¬
¬
.
3. Sử dụng định lí hình chiếu : Giả sử đa giác H nằm trong mặt phẳng (P) có hình chiếu lên mặt phẳng (Q) là đa giác H
′
. Khi
đó, cos ϕ =
S
′
S
với S
′
là diện tích hình H
′
và S là diện tích hình H .
Bài 11.108 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a
√
3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau
1. (S BC) và (ABCD); 2. (SCD) và (ABCD); 3. (S BC) và (S CD).
Bài 11.109 : Cho tứ diện S ABC có
ABC = 90
◦
, AB = 2a, BC = a
√
3, S A = 2a và S A⊥(ABC).
1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (S BC).
′
); 4. (A
′
BD) và (ABCD).
Bài 11.111 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = x.
1. Xác định x để hai mặt phẳng (S BC) và (S DC) tạo với nhau góc 60
◦
.
2. Với x được xác định từ trên, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (S BC) và (S AD).
Bài 11.112 : Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
= 2a
√
5 và
BAC = 120
◦
. Gọi M là trung điểm cạnh CC
1
.
Chứng minh rằng MB⊥MA
1
và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
MON = 90
◦
.
Bài 11.117 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Các mặt phẳng (S AB) và (SCD) là các tam giác vuông lần lượt
tại A và C, cùng hợp với đáy một góc α, biết
ABC = ϕ.
1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD);
2. Chứng minh (S BC) và (S AD) cùng hợp với đáy (ABCD) một góc β thỏa mãn cot β = cot α cos ϕ.
Bài 11.118 : Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
BAC = α, S A⊥(ABC) và S A = a. Gọi ϕ là góc giữa
hai mặt bên (S AC) và (S BC).
1. Chứng minh rằng tan α. tan β =
√
1 + cos
2
α
cos α
;
2. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để β = 60
◦
.
Bài 11.119 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)
với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng cos
2
α + cos
2
β + cos
2
′
MDN là hình vuông, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (B
′
MDN) và (ABCD).
Vấn đề 2 : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc
1. Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90
◦
.
2. Chứng minh (P) chứa đường thẳng a, trong đó a⊥(Q).
Bài 11.121 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. Trên đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho S D =
a
√
6
2
. Chứng minh rằng (S BC)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S AC).
Bài 11.122 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông, S A⊥(ABCD).
1. Chứng minh rằng (S AC)⊥(S BD).
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC).
3. Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác S BD. Chứng minh rằng (ACF)⊥(S BC), (AEF)⊥(S AC).
Bài 11.123 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB =
a
√
3
3
, S O⊥(ABCD), S O =
a
√
6
BOM = α,
DON = β.
1. Chứng minh rằng tan α. tan β = 1. Có kết luận gì về hai góc này ? Chứng minh rằng (ACM)⊥(ACN).
2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN. Tính độ dài đoạn OH. Từ đó chứng minh AH⊥HC và (AMN)⊥(CMN).
Vấn đề 3 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)
1. Lấy mặt phẳng (Q) chứa a mà (Q)⊥(P), (P) ∩ (Q) = c rồi chứng minh a⊥c.
2. Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với (P).
Bài 11.127 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ
AH vuông góc với BD, chứng minh AH⊥(BCD).
Bài 11.128 : Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam
giác BCD, vẽ đường cao DK của tam giác ACD.
1. Chứng minh rằng AB⊥(BCD).
2. Chứng minh rằng (ABE)⊥(ADC), (DFK)⊥(ADC).
3. Gọi O và H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh rằng OH⊥(ADC).
Bài 11.129 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, các cạnh AB = a
√
2, AD = a, tam giác S AB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB.
1. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD); BC⊥(S AB) và AC⊥S D. 2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SCD).
Bài 11.130 : Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho S AB là tam giác đều và (S AB)⊥(ABCD).
1. Chứng minh rằng (S AB)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S BC).
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S AD) và (S BC).
3. Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng (S HC)⊥(S DI).
Bài 11.131 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, tam giác S AB vuông tại S và có
S AB = 30
◦
. Tính
Copyright: Tài liệu đại học ©