/>PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 7
ĐỀ HSG TOÁN 7
NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi: 26/3/2018
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1. (4,0 điểm).
13
19  23
2
8
.  0,5  .3    1  :1
15
 15 60  24
20
100
b) So sánh: 16 và 2

a) Tính: A = 1
Bài 2. (3,0 điểm).

1
2

1
2
1 n
b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 .3  4.3n  13.35

a) Tìm x biết: 2 x  7   1

b) Cho biểu thức M 

Bài 4. (6,5 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc
đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường
thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:
 = ACM
 và BH = AI.
a) BAM
b) Tam giác MHI vuông cân.
2) Cho tam giác ABC có góc  = 900. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia
phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh
BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.
Bài 5. (2,0 điểm).
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 1  x  1 , 1  y  1 ,
1  z  1 . Chứng minh rằng đa thức x 2  y 4  z 6 có giá trị không lớn hơn 2.
-----Hết----Họ và tên thí sinh: …………………………….. Số báo danh: ..............
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.


/>HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu
Bài 1.

Nội dung
7 47 47
:
5 60 24
7 2

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1 
1 
1
a
b
c
d
abcd abcd abcd abcd



a
b
c
d
+ Nếu a + b + c + d  0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4


0,5

0,25
0,25
1,0
0,25
0,25


/>x
x
+ Ta có:

x y z x y
y
y

x yt x y

0,1

z
z

y  z t z t

b)
(2,0 đ)

t

0,25
D
B

M

C

H

1.a/
2,75 đ

1.b/
2,0 đ


ACM
* Chứng minh: BAM
+ Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)
  CAM
  450
+ Lập luận được: BAM
ACM  450
+ Tính ra được 

ACM
=> BAM

* Chứng minh: BH = AI.


0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


/>
AMB  
AMC  900
  900
+ Lập luận được: HMI

(**)

0,25
0,25

Từ (*) và (**) => MHI vuông cân
A

0,25
2)
1,5đ

B

E

=> z = - x - y  0
+) Vì 1  x  1 , 1  y  1 , 1  z  1 = > x 2  y 4  z 6  x  y  z
=> x 2  y 4  z 6  x  y  z
=> x 2  y 4  z 6  2 z
+) 1  z  1 và z  0 => x 2  y 4  z 6  2
KL: Vậy x 2  y 4  z 6  2

Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
/>
0,25
(*)
(**)

0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25


KHÔNG PHẢI LÚC NÀO BẠN CỐ GẮNG CŨNG THÀNH CÔNG
NHƯNG LUÔN PHẢI CỐ GẮNG ĐỂ KHÔNG HỐI HẬN KHI THẤT BẠI
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THẠCH THÀNH
NĂM HỌC: 2014 – 2015

 ; 
2 3 5 4
y  z 1 x  z  2 x  y  3
1
b.



x
y
z
x yz

a.

Câu 3: (4,0điểm).
2
3

1. Cho hàm số: y  x
a. Vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ xOy.
b. Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M  m;5 
2. Tìm giá trị lớn nhất của: H 

x2  y2  3
x2  y2  2

Câu 4: (4,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài của tam giác ABC tam giác vuông cân
ABE vuông tại B. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC); trên tia đối của AH

0.5
4 5 39 31 791
= . . . 
5 4 5 5
25
0.5
1
2000
=
.(1209  791) 
 80
Câu 1:
1
25
25
(5.5điểm)
5 4
9
10 8
4 .9  2.6
2 .3 .(1  3)
1
b. 10 8
 10 8

8
3
2 .3  6 .20 2 .3 (1  5)
2
2. Tìm x biết :

0.5
2. Tìm x; y; z
x
y
z
a. Ta có
và x – y + z = - 49
 
10 15 12
0.75
x
y
z
x yz
49
  

 7
10 15 12 10  15  12
7
0.25
x  70
0.25
Câu 2:
y  105
0.25
(4.5điểm)
z  84
Vậy x  70; y  105; z  84
b.

Nên ta có:
x
y
z
1
5
5
Do đó: x = ; y = ; z =2
6
6
1. a. Ta có A(0; 0); B(3; 2)

y
2

1.0

O

Câu 3:
(4.0điểm)

3

x

Bùi Huệ ST

b.Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(m; 5) nên ta có:
2


0.75
0.75

0.5

0.25
0.25
0.25
0.25


KHÔNG PHẢI LÚC NÀO BẠN CỐ GẮNG CŨNG THÀNH CÔNG
NHƯNG LUÔN PHẢI CỐ GẮNG ĐỂ KHÔNG HỐI HẬN KHI THẤT BẠI

I

0.5

A

E
M
Câu 4:
(4.0điểm)

B

H



C
B
Vẽ tam giác đều BMK ( K và A nằm cùng phía đối với BM )
Đặt MA = 3a ; MB = 4a ; MC = 5a (a  N*)
Ta có MB = BK và BC = AB
 ABK =  CBM
  AKB =  CMB (c.g.c)

0.25
0.25

0.25
0.25
0.25


KHÔNG PHẢI LÚC NÀO BẠN CỐ GẮNG CŨNG THÀNH CÔNG
NHƯNG LUÔN PHẢI CỐ GẮNG ĐỂ KHÔNG HỐI HẬN KHI THẤT BẠI
 AK = MC = 5a
Nhận xét : Trong tam giác AMK có AM2 + MK2 = AK2
Nên :  AMK = 900
Do đó  AMB =  AMK +  BMK = 1500
Chú ý:
1. Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
2. Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm.

Bùi Huệ ST

0.25

1 1 1
 
2 3 4
5 5 5
 
4 6 8
1
1
2
3
2017 2018
A
; B=
. Tính


 ... 

2019
2018 2017 2016
2
1
B

Câu 2: ( 2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3
2) CMR với n nguyên dương thì 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10.
Câu 3: ( 2,0 điểm )



2018

2) Cho biết 3x  2 y  5z  7 x  ( xy  yz  xz  500)2018  0 .
Tính giá trị biểu thức

A = (3x - y - z)2019

Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam
giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.
1) Chứng minh rằng: DC = BE.
2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Tính số đo góc BIK, góc AMN.
3) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.
Câu 5 (1,0đ)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
ab+bc+ca  a 2  b 2  c 2 < 2(ab+bc+ca)

---------------------------Hết--------------------Họ và tên thí sinh::........................................... SBD...................................


Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM
Nội dung

Ý
a

3 3 3
 


0,5

3 1
3 2 5
 =    1 . Vậy A = 1
5 5 5
5 5
2
1
2
3
2017 2018


 ... 

2018 2017 2016
2
1

0,25

1
  2
  3

 2017 
B= 
 1  


0,25



0,25

A
1
A
1
=
. Vậy =
B 2019
B 2019

Ta có x + 2y = 3xy + 3  3x + 6y = 9xy + 9
( 3x – 9xy ) + ( 6y -2 ) = 7  3x.( 1 - 3y ) -2.( 1-3y ) =7
 ( 3x – 2 ). ( 1 – 3y ) = 7

0,25

Vì x, y  Z nên 3x – 2 ; 1-3y là các số nguyên.
Mà ( 3x - 2 ).( 1 – 3y ) = 7  3x – 2 ; 1-3y là ước của 7.
Ta lại có Ư(7) =  1;7  3x – 2 ; 1-3y   1;7

0,25

a Bảng giá trị


3

y

2/3

8/3

-2

0

KTM

KTM

TM

TM
0,5


Vậy (x,y)  1;2; 3;0
Ta có 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n
b = ( 3n+2 + 3n ) – (2n+2 +2n ) = 3n .( 32 + 1 ) – 2n-1 . ( 23 + 2 )
= 3n .10 - 2n-1.10 = ( 3n - 2n-1 ).10  10

0,5

Vì a,b,c,d là các số dương và c  d, mà

a 2019.2018
hay 2019.2018 
c
c 2019  d 2019

a
Từ (1) và (2) 
c
Vậy

a
c

2018

 b 2018

2018

 d 2018







2019

2018

2019 
c d


2018

2018

2018

2019

a c
a b
 nên 
b d
c d

2019

 a 2019 
a 2019 b 2019 a 2019  b 2019
 2019  2019  2019

 2019 
c
d
c  d 2019
c




2019

 b 2019

2019

 d 2019




2018
2018

2018
2018

0,25

Vì 3x  2 y  0 với  x,y; 5 z  7 x  0 với  y,z ;
( xy + yz + xz - 500)2018  0 với  x,y,z
Do đó 3x  2 y  5 z  7 x  ( xy  yz  xz  500)2018  0 khi

0,25

b
 3x  2 y  0
x y


Đặt

x
y
z
= k ( k  Z )  x= 10 k; y =15 k; z = 14 k


10 15 14

Ta có xy + yz + xz - 500 = 0  150k2 + 210 k2 +140k2 = 500

0,25

 k=  1

 x  10
 x  10


  y  15 hoặc  y  15
 z  14
 z  14


 x  10
+ Với  y  15 thì A= 1
 z  14



4

Khi đó xét BIK và DKA Có  BKC=  AKD( CMT)

0,25

 KDA=  KBI suy ra  BIK =  DAK=600 (đpcm)

0,25


E

A
D
N

J
K

M

I
C

B

0,25
b

b
1 1 1
 
2 3 4
5 5 5
 
4 6 8
1
1
2
3
2017 2018
A
; B=
. Tính


 ... 

2019
2018 2017 2016
2
1
B

Câu 2: ( 2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3
2) CMR với n nguyên dương thì 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10.
Câu 3: ( 2,0 điểm )



2018

2) Cho biết 3x  2 y  5z  7 x  ( xy  yz  xz  500)2018  0 .
Tính giá trị biểu thức

A = (3x - y - z)2019

Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều
ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.
1) Chứng minh rằng: DC = BE.
2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Tính số đo góc BIK, góc AMN.
3) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.
Câu 5 (1,0đ)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
ab+bc+ca  a 2  b 2  c 2 < 2(ab+bc+ca)
---------------------------Hết---------------------


PHÒNG GD&ĐT NHƯ XUÂN

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn thi : TOÁN - LỚP 7
Ngày thi: 23 tháng 4 năm 2019
Thời gian: 150 phút

Câu 1: (4 điểm)
1) Tính giá trị các biểu thức sau:
1

 a  c  b 
Câu 3: (4 điểm)
Ba lớp 7 ở một trường A có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa 1/3 số học sinh của lớp
7A, 1/4 số học sinh của lớp 7B và 1/5 số học sinh của lớp 7C đi thi học sinh giỏi
cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của
mỗi lớp 7 ở trường A.
Câu 4 (6 điểm)
  600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên tia Ax kẻ BH vuông góc với
Cho xAy
Ay tại H; kẻ BK vuông góc với AZ tại K; kẻ tia Bt song song với Ay, Bt cắt Az
tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M.
a) Chứng minh K là trung điểm của AC.
b) Chứng minh tam giác KMC đều.
c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh của tam giác AKM.
2
Câu 5: (2 điểm) Tìm x, y  N biết: 15  x  2019   64  y 2 .
------------Hết------------


KHÔNG PHẢI LÚC NÀO BẠN CỐ GẮNG CŨNG THÀNH CÔNG
NHƯNG HÃY LUÔN CỐ GẮNG ĐỂ KHÔNG HỐI HẬN KHI THẤT BẠI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HÀ TRUNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)


c) Tìm x biết 2 x  2.3x 1 .5 x  10800
Bài 3( 3 điểm):
a) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia trồng cây đâu xuân; số cây mỗi lớp trồng được tỷ lệ
với 3; 5; 8 và hai lần số cây của lớp 7A cộng với bốn lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của
lớp 7C là 108 cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được.
b) Tìm tât cả các số tự nhiên n sao cho 4  2n  2.32
Bài 4( 3 điểm):
a) Chứng minh rằng 810  89  88 chia hết cho 55
4x  7 y 4
x
b) Cho
 Tính
3x  6 y 9
2y
Bài 5( 3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ đường cao AH; Dựng các điểm D và E sao cho
AB là đường trung trực của HD, AC là đường trung trực của HE. Đoạn thẳng DE cắt AB ở I, cắt
AC ở K. Chứng minh
  2 BAC

a) DAE

b) HA là tia phân giác của IHK
  IHB

c) BAC
Bài 6:
Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB, Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác
đều AMC; BMD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, CB. Chứng minh rằng tam giác
MEF đều.

:  
b) 4 :   
9  7 9  9
 5 49   5 
 5
4 
 :     10 :    14
 9 9   7
 7
2
3
4
6
25 .25
5 .5
c)
 10  1
10
5
5
1 
1 
1  
1 

d) 1 
 . 1 
 . 1 
 ..... 1 



  x  9

x 11

10
. 1024.   x  9    0



 x  9  x 1  0

1024.   x  9 10   0



2
(3,0 đ)

x  9
x  9
 x  9  x 1  0
x  9  0

  x  9  2   x  11


10
10
1024.    0  x  9   2

x

 2.3.5  .12  10800
x
 2.3.5  900

3
(3 đ)

x2
30 x  302
a) Gọi số cây của ba lớp trồng được lần lượt là a, b, c
a b c
Số cây của ba lớp trồng được tỷ lệ với 3;5;8 nên ta có:  
3 5 8
Vì hai lần số cây của lớp 7A cộng với bốn lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp
7C là 108 cây nên ta có: 2a  4b  c  108
a b c 2a 4b
Ta có:   

3 5 8 6 20
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c 2a 4b 2a  4b  c 108
  



6
3 5 8 6 20 6  20  8
18



y 24 8
2 y 16


KHÔNG PHẢI LÚC NÀO BẠN CỐ GẮNG CŨNG THÀNH CÔNG
NHƯNG HÃY LUÔN CỐ GẮNG ĐỂ KHÔNG HỐI HẬN KHI THẤT BẠI
A
E

K

I
D

B

C

H

  2 BAC

a) DAE
Chứng minh được AID  AIH
  HAI

 DAI


suy ra:

ADE  
AED  
AHI  
AHK
Suy ra ADE cân tại A  

Suy ra HA là tia phân giác của IHK


c) BAC  IHB
  IHA
  KHC
  AHK
  900
Ta có: IHB
  KHC

AHI  
AHK nên IHB
Màn: 
  IHK
  KHC
  1800
Ta có: IHB
  IHK
  1800 1
Hay: 2 IHB
  1800

B


KHÔNG PHẢI LÚC NÀO BẠN CỐ GẮNG CŨNG THÀNH CÔNG
NHƯNG HÃY LUÔN CỐ GẮNG ĐỂ KHÔNG HỐI HẬN KHI THẤT BẠI
Có: AM  CM  ACM ®Òu 

BM  DM  DBM ®Òu 

  600
AMC  BMD

  BMD
  CMD
  1200

AMC  CMD

AMD  CMB
Hay: 
Suy ra: AMD  CMD  c.g.c 
  MCB
 va AD  BC
DAM
Xét MAE va MCF có:
AM  CM  ACM ®Òu 
  MCB
  cmt 
DAM


3
2
Đặt t  2m  k  3m  1
 n  14  3m  1  9  42m  5
Vì n là số nguyên dương bé nhất nên m = 1 suy ra n = 37


PHÒNG GD&ĐT CẨM THỦY
Đề chính thức

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2018 - 2019
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 18 tháng 4 năm 2019

Câu 1: (4,0 ®iÓm) Tính giá trị các biểu thức
3

2

2019
2  3
  .    .  1
a) A   3   4 2
3
1 2  5 
36. .   .   
5  5   12 
1

2. Cho a,b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a 2  c 2  b 2  d 2 chứng
minh rằng a  b  c  d là hợp số
Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A.Trên AB lấy điểm M ( M khác A
và B), Trên AC lấy điểm N sao cho AM = AN.
a) Chứng minh BN = CM
b) Gọi I là giao điểm của BN và CM,O là trung điểm của BC. Chứng minh
ba điểm A,I,O thẳng hàng

c) Chứng minh

BC  MN
 BN
2

Câu 5: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: 2.22  3.23  4.24  ....  n.2n  2n 5
---------------- Hết --------------GIẢI
Câu 1: (4,0 ®iÓm) Tính giá trị các biểu thức
3

2

2019
2  3
23 32
1 1
 3. 4
.
  .    .  1
3 2

 ... 
19 19.29 29.39 39.49
2009.2019


10
10
10
10
10
10
B



 ... 
9
9.19 19.29 29.39 39.49
2009.2019
10
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
B    
    ... 


x3
x4
x5
x  2074
1
1
1
2
5  0
2017
2016
2015
1007
11
x  2019 x  2019 x  2019 x  2019 x  2019




0
2017
2016
2015
1007
11
1
1
1
1
1

2

2

 x2  9
 2
 x  3
x

7


Với y = 1 suy ra: x 2  1  8  1  1  x 2  1  8  0  x 2  1  8  0
 x2 1  8
 x2  9
 x 1  8   2
 2
 x  3
 x  1  8  x  7
2

Với y = -1 suy ra: x 2  1  8  1  1  x 2  1  8  0  x 2  1  8  0
 x2  1  8
 x2  7
 x 1  8   2
 2
 x 
 x  1  8  x  9
2



2

a 2  2ac  c 2  b 2  2bd  d 2  2  ac  bd    a  c    b  d   2  ac  bd 

 a  c   b  d  mod 2   a  c  b  d  2 mà

a, b, c, d nguyên dương nên

a+b+c+d> 2 nên a+b+c+d là hợp số
Cách 2:
Xét a 2  b 2  c 2  d 2   a  b  c  d   a  a  1  b  b  1  c  c  1  d  d  1
Vì a,b, c, d là các số nguyên dương nên
a  a  1 2; b  b  1 2; c  c  1 2; d  d  1 2 a  a  1  b  b  1  c  c  1  d  d  1 là

số chẵn
Mà a 2  c 2  b 2  d 2 nên a 2  b 2  c 2  d 2  2  b 2  d 2  suy ra a 2  b 2  c 2  d 2 chẵn
Do đó a  b  c  d chẵn lớn hơn 2 nên a+b+c+d là hợp số
Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A.Trên AB lấy điểm M ( M khác A
và B), Trên AC lấy điểm N sao cho AM = AN.
a) Chứng minh BN = CM
b) Gọi I là giao điểm của BN và CM,O là trung điểm của BC. Chứng minh
ba điểm A,I,O thẳng hàng
c) Chứng minh

BC  MN
 BN
2