Chuyên đề iii. Con lắc đơn
A. Lý thuyết.
* Dao động của con lắc đơn nói chung không phải là dao động điều hoà. Khi dao động nhỏ (sin

rad, tức là



10
0
) bỏ qua mọi ma sát và lực cản của môi trờng thì dao động của con lắc đơn là dao động
điều hoà.
* Phơng trình dao động khi biên độ góc

m


10
0
* Phơng trình li độ dài: s = s
m
cos(t + )
* Chú ý: Nếu coi quỹ đạo của con lắc đơn nh là một đoạn thẳng thì phơng trình li độ dài có dạng: x
= Acos (t + ) với A = S
m
=
m
và x = .

T

=
l
* Vận tốc: ở li độ góc bất kì: v

2
= 2g(cos - cos
m
)
Lu ý: nếu
m


10
0
thì có thể dùng l - cos
m
= 2sin
2
(
2
m

) =
2
2
m

v

Động năng: W
đ
=
2
1
mv
2
= mg(cos - cos
m
)
Thế năng: W
t
= mgh

= mg( l - cos)
Cơ năng: W = mgl( l - cos
m
) = W
đmax
= W
tmax
Lu ý: khi
m


10
0
thì có thể dùng l - cos
m
= 2sin


2
= 2
g
l

f =
1 1
2
g
T

=
l
* Thực hiện các thao tác biến đổi toán học để tính chu kỳ, tần số của con lắc.
Baứi taọp aựp duùng.
O
B
s
B
s
max



max
Q
1. Hai con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ là 2s và 2,5s. Tính chu kỳ của con lắc đơn có chiều dài bằng
hiệu chiều dài 2 con lắc trên.
2. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc có chiều dài

t

con lc ny thc hin c 60 dao ng. Tớnh chiu di ban u
ca con lc.
7. Trong 2 phỳt con lc n cú chiu di thc hin c 120 dao ng. Nu chiu di ca con lc ch
cũn bng
1
4
chiu di ban u thỡ chu kỡ ca con lc bõy gi l bao nhiờu?
8. Hai con lắc đơn chiều dài
1
,
2
(
1
>
2
) và có chu kì dao động tơng ứng là T
1
; T
2
. Tại nơi có gia tốc
trọng trờng g = 9,8m/s
2
. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài
1
+
2
, dao động chu với kì 1,8s và con
lắc đơn có chiều dài

1
= 1,5s. Một con lắc khác có độ dài
2
dao động với chu
kì T
2
= 2s. Tìm chu kì của con lắc có độ dài bằng
1
+
2
;
2
-
1
.
Đ/s: T = 2,5(s); T =
4 2,25 1,75 =
(s).
12. Một học sinh buộc hòn đá vào đầu một sợi dây nhẹ và cho nó dao động. Trong 10 phút nó thực hiện đ ợc 299
dao động. Vì không xác định đợc chính xác độ dài của con lắc này, học sinh đó đã cắt ngắn sợi dây bớt 40cm, rồi cho nó
dao động lại. Trong 10 phút nó thực hiện đợc 386 dao động. Hãy dùng kết quả đó để xác định gia tốc trọng trờng ở nơi làm
thí nghiệm.
Đ/s: g = 9,80m/s
2
.
13. Một con lắc đơn có chiều dài là dao động với chu kì T
0
= 2s.
a. Tính chu kì của con lắc khi chiều dài của dây treo tăng lên 1% chiều dài ban đầu.
b. Nếu tại thời điểm ban đầu hai con lắc trên cùng qua VTCB và chuyển động cùng chiều. Tìm thời gian mà

2
1
2
mg

l
.
* Cơ năng của con lắc đơn: W =
2
max
1
2
mg

l
.
2. Tìm vận tốc của vật khi đi qua li độ góc .
* áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có: Cơ năng tại vị trí biên = cơ năng tại vị trí ta xét.

mg(1- cos) +
2
1
2
mv =
mg(1- cos
max
)


max

ht
= m
2
v
l
max
(3cos 2cos )T mg

=
.
* Tại VTCB: T = T
max
= mg(3 - 2cos
max
).
* Tại các vị trí biên: T = T
min
= mgcos
max
.
* Khi biên độ góc nhỏ.
*
2 2
max
1
(2 2 3 )
2
T mg

= +

2
= 10m/s
2
. Lúc t = 0, con lắc đi
qua vị trí cân bằng theo chiều dơng với vận tốc 0,5m/s. Sau 2,5s vận tốc con lắc có độ lớn bao nhiêu?
3. Một con lắc đơn có khối lợng vật nặng m = 0,1kg. Kéo con lắc lệch khỏi VTCB một góc 30
0
rồi buông
tay. Lấy g =10m/s
2
. Lực căng dây khi đi qua vị trí cao nhất là bao nhiêu?
4. Một con lắc đơn có khối lợng vật nặng m = 200g, dây treo có chiều dài = 100cm. Kéo vật ra khỏi vị
trí cân bằng nột góc = 60
0
rồi buông ra không vận tốc đầu. Lấy g = 10m/s
2
. Năng lợng dao động của vật là bao
nhiêu?
5. Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc
max
= 6
0
. Con lắc có thế năng bằng 3 lần động
năng tại vị trí có li độ góc bao nhiêu?
6. Con lắc đơn gồm vật nặng khối lợng m = 0,1 (kg), dao động điêu hoà với biên độ góc
0
= 6
0
trong
trọng trờng g =

10m/s
2
, lấy
2
= 10. Xác định góc lệch sao cho tại đó động năng lớn gấp 3 lần thế năng. Tính lực căng của dây
treo con lắc tai đó.
12. Mt con lc n cú chiu di dõy treo l 100cm, kộo con lc lch khi VTCB mt gúc
0
vi cos
0
=
0,892 ri truyn cho nú vn tc v = 30cm/s. Ly g = 10m/s
2
.
a. Tớnh v
max

b. Vt cú khi lng m = 100g. Hóy tớnh lc cng dõy khi dõy treo hp vi phng thng ng gúc vi
cos = 0,9.
13. Mt con lc n cú m = 100g, dao ng vi gúc lch cc i
0
= 30
0
. Ly g = 10m/s
2
. Tớnh lc cng
dõy treo con lc khi qu cu i qua VTCB.
14. Mt con lc n cú khi lng m = 100g, chiu di dao ng vi
1m
=

2
. Dao ng vi phng trỡnh:
0,05 os(2 t- )
6
c rad


=
.
a. Tỡm chiu di v nng lng dao ng ca con lc.
b. Ti t = 0 vt cú li v vn tc bng bao nhiờu?
c. Tớnh vn tc ca con lc khi nú v trớ
max
3


=
d. Tỡm thi gian nh nht (t
min
) con lc i t v trớ cú ng nng cc i n v trớ m W

= 3W
t

Daùng 3. Sự thay đổi chu kỳ dao động của con lắc đơn.
* Phơng pháp.
3.1. Xác định chu kỳ dao động của con lắc đơn ở độ cao h, độ sâu d khi nhiệt độ không đổi.
* Gia tốc trọng trờng ở Mặt Đất: g
0
=

g
M
G
h
R h
R
=
+
+
.
* Chu kỳ con lắc dao động sai ở độ cao h: T
h
=
2
h
g

l
.
0
(1 )
h
h
T T
R
= +
.
* Khi đa lên cao, chu kỳ dao động của con lắc tăng lên.
b. Khi đa con lắc xuống độ sâu d.
* Gia tốc trọng trờng ở độ sâu d: g

R
= +

;
.
* Khi đa xuống sâu, chu kỳ dao động của con lắc tăng lên, nhng tăng ít hơn khi đa lên cao.
3.2. Xác định chu kỳ dao động của con lắc đơn khi nhiệt độ thay đổi (dây treo con lắc làm bằng kim
loại).
* Khi nhiệt độ thay đổi, chiều dài con lắc đơn biến đổi theo nhiệt độ: =
0
(1 + t).
Trong đó: là hệ số nở dài của kim loại làm dây treo con lắc;
0
là chiều dài dây treo con lắc ở 0
0
C.
* Chu kỳ con lắc dao động đúng ở nhiệt độ t
1
(
0
C): T
1
=
1
2
g

l
.
* Chu kỳ con lắc dao động sai ở nhiệt độ t

t
t
t t
t
t





= +

+
=

= +
+

l l
l
l l
l
. Vì << 1.
1 1
2 1 2 1 2 1
2
2 1
1 1
1 ( ) [1 ( )]
1

1 1
1 ( ) 1 ( )
2 2
h
h
T
h h
t t T T t t
T R R
= +

.
* Khi đa xuống độ sâu d mà nhiệt độ thay đổi thì:
2 1 0 2 1
0
1 1
1 ( ) 1 ( )
2 2 2 2
d
d
T
d d
t t T T t t
T R R

g

l
.
* Khi con lắc chịu thêm tác dụng của ngoại lực
F
ur
, ta coi hợp lực của hai lực
F
ur
và
0 0
P mg=
uur uur
nh là trọng
lực hiệu dụng (trọng lực biểu kiến) tác dụng vào quả cầu con lắc:
P
ur
=
F
ur
+
0
mg
uur
=
mg
ur
.
0