I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C
KHOA H¯C

o0o

É THÀ TUY T NGA

B I TO N X C ÀNH NGU˙N CHO PH×ÌNG TR NH
TRUY N NHI T TUY N T NH M¸T CHI U

TH I NGUY N - 6/2020


I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C
KHOA H¯C

o0o

É THÀ TUY T NGA

B I TO N X C ÀNH NGU˙N CHO PH×ÌNG TR NH
TRUY N NHI T TUY N T NH M¸T CHI U

Chuy¶n ng nh: To¡n øng döng
M¢ sŁ: 8460112

NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C
TS. NGUY N THÀ NG¯C OANH

TH I NGUY N - 6/2020



Ríi r⁄c hâa b i to¡n thu“n theo bi‚n khæng gian . 14
Ríi r⁄c b i to¡n thu“n theo bi‚n thíi gian . . . . . 16
B i to¡n x¡c ành nguçn cho ph÷ìng tr…nh

truy•n nhi»t tuy‚n t‰nh mºt chi•u
2.1. B i to¡n bi‚n ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
20

2.2. Ríi r⁄c b i to¡n bi‚n ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Ph÷ìng ph¡p gradient li¶n hæp . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. V‰ dö sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

K‚t lu“n

34


2

T i li»u tham kh£o

35


3

Danh s¡ch h…nh v‡


v gi¡ trà phi‚m h m J (fn ) (h m trång ! ÷æc cho theo
cæng thøc (2.28). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Tham sŁ hi»u ch¿nh , sŁ b÷îc l°p n , sai sŁ kf fn k L2(0;T )
v gi¡ trà phi‚m h m J (fn ) (h m trång ! ÷æc cho theo cæng
thøc (2.29)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


5

Lới nõi

u

Trong nhiu nghiản cứu thỹc t, h m nguỗn trong quĂ trnh truyn
nhiằt l khổng bit v yảu cu cn phÊi xĂc nh t mt v i thổng s ta
quan sĂt ữổc hay o ữổc [1, 2, 4, 5]. Ơy l cĂc b i toĂn ngữổc xĂc nh h
m v phÊi hay mt phn h m v phÊi (h m nguỗn) ca phữỡng trnh
truyn nhiằt. V nhng ứng dửng quan trồng trong thỹc t nản cõ
rĐt nhiu nghiản cứu cÊ v lỵ thuyt v giÊi s  ữổc phĂt trin. [1, 3, 5,
6].
B i toĂn ngữổc n y l b i toĂn t khổng chnh. Mt b i toĂn ữổc gồi l
t chnh theo nghắa Hadamard nu thọa mÂn tĐt cÊ cĂc iu kiằn:
i) Tỗn ti nghiằm; ii) Nghiằm l duy nhĐt; iii) Nghiằm phử thuc liản tửc v
o d kiằn b i toĂn. Nu t nhĐt mt trong cĂc iu kiằn trản khổng thọa
mÂn th b i toĂn ữổc gồi l t khổng chnh. B i toĂn t khổng chnh
thữớng gƠy ra nhiu vĐn nghiảm trồng v l m cho cĂc nghiằm s c
in khổng n nh, tức l mt sai s nhọ trong d kiằn u v o cõ th dÔn
tợi sai s lợn bĐt k vợi nghiằm. Ta cõ th xt v dử sau Ơy:


X

= p!

0; ! 0:
6

1=2

1
=
n =1 n

2

(0.2)


6

Mt khĂc
1
kf(t) f (t)kC[0; ] =

n=0

n

= 1:


cho tổi trong sut thới gian tổi theo hồc khõa thc s ti trữớng Trữớng
i hồc Khoa hồc

i hồc ThĂi Nguyản.

Quỵ thy cổ Khoa ToĂn- Tin v quỵ thy cổ phặng o to - KHCN
v HTQT, Trữớng i hồc Khoa hồc i hồc ThĂi Nguyản  truyn


7

t cho tổi nhng kin thức b ch trong sut hai nôm hồc va qua.
Bn b, ỗng nghiằp luổn ng viản, hỉ trổ tổi trong quĂ trnh
hồc tp v nghiản cứu!
Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn!
ThĂi Nguyản, ng y 25 thĂng 6 nôm 2020
Hồc viản

ỉ Th Tuyt Nga


8

Ch֓ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n
Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n ÷æc
sß döng trong lu“n v«n nh÷: mºt sŁ khæng gian h m, b i to¡n thu“n,
ành ngh¾a nghi»m y‚u v ph÷ìng ph¡p sai ph¥n ríi r⁄c b i to¡n thæng
qua l÷æc ç Crank-Nicolson.

:

(1.1)
1

2

2

Trong â a, b v ’ trong khæng gian L (Q), g 2 L (Q), f 2 L (0; T )
2

v u0 2 L ( ). Gi£ sß r‹ng a a > 0 vîi a l h‹ng sŁ v b 0. Hìn nœa,
’ ’>0;

(1.2)

vîi ’ l h‹ng sŁ.
ành ngh¾a 1.1 (B i to¡n thu“n) [5] Khi c¡c h» sŁ a(x; t); b(x; t), i•u
ki»n ban ƒu u0, c¡c h m v‚ ph£i ¢ bi‚t (gçm f(t); ’(x; t); g(x; t)),


9

b i to¡n t…m nghi»m cıa h» (1.1) ÷æc gåi l b i to¡n thu“n (hay b i to¡n
trüc ti‚p).
ành ngh¾a 1.2 (B i to¡n ng÷æc) [5] Khi c¡c h» sŁ a(x; t); b(x; t), i•u
ki»n ban ƒu u0, c¡c h m v‚ ph£i ’(x; t); g(x; t) ¢ bi‚t, b i to¡n t…m h m
f(t) tł mºt sŁ quan s¡t (hay thæng tin) v• nghi»m nghi»m cıa h» (1.1)
÷æc gåi l b i to¡n ng÷æc.

tri»t ti¶u tr¶n bi¶n, tøc l
1

1

H0 ( ) = fu 2 H ( ) : u(0) = u(L) = 0g:
ành ngh¾a 1.5 Khæng gian H
2

1;0

(Q) l t“p t§t c£ c¡c h m u(x; t) 2

2

L (Q)câ ⁄o h m suy rºng ux 2 L (Q) vîi t‰ch væ h÷îng
ZZ
(u; v)H1;0(Q) :=

Q

ành ngh¾a 1.6 Khæng gian H
2

1;1

(uv + uxvx) dxdt:

(Q) l t“p t§t c£ c¡c h m u(x; t) 2 ut


(Q) : u S = 0g:


10

nh nghắa 1.8 Khổng gian H0
1;1
H (Q) triằt tiảu trản biản S, tức l
H0

1;1

1;1

(Q) = fu 2 H

(Q) l tp tĐt cÊ cĂc h m u(x; t) 2

1;1

(Q) : u S = 0g:

Ngo i ra chúng tổi sò dửng mt s khĂi niằm sau Ơy:
nh nghắa 1.9 (KhÊ vi Frchet) Cho X; Y l cĂc khổng gian Banach, U l lƠn cn ca im x. nh x F : U ! Y ữổc gồi l khÊ vi Frchet ti
x nu tỗn ti Ănh x tuyn tnh liản tửc A : X ! Y thọa mÂn
lim kF (x + h)

F (x)

khkX

ku(t)k Bdt:

nh nghắa

2

1

2

1

0

W (0; T ) = fu : u 2 L (0; T ; H0 ( )); ut 2 L (0; T ; (H0 ( )) )g;
vợi chu'n
kuk

2

= kuk

W (0;T )

2

2

1


Z

ZZ

@u@

Q

a(x; t)
+ b(x; t)u
@x @x
2

dxdt
1

f(t)(x; t) + g(x; t) dxdt; 8 2 L (0; T ; H0 ( ))

(1.3)


11

v
(1.4)

u(x; 0) = u0(x); x 2 :

Theo [5, nh lỵ 1.1.1, trang 11] Â ch ra sỹ tỗn ti duy nhĐt nghiằm
trong khổng gian W (0; T ) ca b i toĂn (1.1). Hỡn na, tỗn ti hng s

phữỡng trnh truyn nhiằt, ta cn tợi mt s kt quÊ ca b i toĂn liản hổp,
cĂch xĂc nh b i toĂn liản hổp ữổc trnh b y thổng qua cổng thức
Green [7, x3.6.1., p. 156 158]. Cử th, xt b i toĂn thun dng

^

8 ut
>

u(x; t) = 0; (x; t)

>

(1.6)

(a(x; t)ux)x + b(x; t)u = f ; (x; t) 2 Q;
S;

2

>
>


u(x; 0) = u0(x); x 2 :
>

>
>



2 >2

2

2

:
a
L ( ). Ta nh nghắa nghiằm ca b i toĂn n y
vợi aQ
L (Q) v
l h m p 2 W (0; T ) thọa mÂn
T

Z0

(pt; v)H 1( );H01( )dt +
2

ZZ

Q

apxvx + bpv dxdt =

ZZ

Q


>
>


u(x; 0) = b ; x 2 :
>

>

vîi bQ

2

>2
:

( ). Gi£ sß aQ

L

2(Q);

2

a

L

()v


utpdxdt

a(x; t)ux pdxdt +
x

Q

bupdxdt =

Q

Q

bQpdxdt:

Sß döng cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn cho v‚ tr¡i flng thøc tr¶n, ta
nh“n ÷æc

Z

T
0

hut; piH1( )0;H1( )dt +

ZZ

Q a(x; t)uxpxdxdt +

ZZ

(1.11)
Tł cæng thøc (1.10), sß döng cæng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn cho sŁ
h⁄ng ƒu ti¶n cıa v‚ tr¡i, ta câ
T

Z
0

t

hu; ptiH1( )0;H1( )dt + hu; pijt =0

=T

+

ZZ

ZZ
Q

a(x; t)uxpxdxdt +

ZZ
=
bQpdxdt;
Q

Q


(up)jt=T dx +

Z

(up)jt=0dx:

Chú ỵ rng u(x; 0) = b ; v p(x; T ) = a
nản flng thức trản tr th nh
0
Z T hu; ptiH1( )0;H1( )dt+ ZZ
ZZ
Q a(x; t)uxpxdxdt +
Q bupdxdt
=

ZZ

Q bQpdxdt

Z

a u(T )dx +

Z

b p(0)dx:
(1.12)

T phữỡng trnh (1.11) v (1.12) ta cõ
Z

Z
lu(x; t) =
!(x)u(x; t)dx = h(t); t 2 (0; T );
1

trong õ !(x) 2 L ( ) l h m trồng v

R

(1.13)

!(x)dx > 0, d kiằn quan sĂt h

2

ữổc giÊ thit trong khổng gian L (0; T ).
Ta k hiằu nghiằm u(x; t) ca (1.1) l u(x; t; f) (hoc k hiằu l u(f)
nu khổng cõ g nhm lÔn) nhÔn mnh sỹ phử thuc ca nghiằm v
h m chữa bit f(t). Sò dửng phữỡng phĂp bnh phữỡng ti thiu [5], ta
xƠy dỹng li h m chữa bit f(t) bng cĂch chuyn b i toĂn th nh b i toĂn
bin phƠn cỹc tiu hõa phim h m mửc tiảu
1
2

J0(f) = 2 k lu(f) h kL 2(0;T ) :

(1.14)


14


1.2.
1.2.1.

Ríi r⁄c hâa b i to¡n
Ríi r⁄c hâa b i to¡n thu“n theo bi‚n khæng gian

Chia kho£ng (0; L) th nh Nx kho£ng con tr¶n l÷îi
0 = x 0 < x1

ai(t)

i+1

u

h

k=0
X
Nx

h

ui

i

i

i

i

b (t)u (t) i(t)dt;

i+1

i


(1.19)

k=0

ZT
0

Nx

X

Nx

i

h

i

g (t) (t)dt
k=0

(1.20)


15

trong â

1 xi+1

i+1

Z

g(x; t)dx; i = 0; Nx 1:

h

xi

xi

Th‚ c¡c x§p x¿ (1.16) (1.20) v o (1.3), ta nh“n ÷æc
8

T
Z

> 0

dt i + h

0

h
N

x

du

0

+h

bu

N

X
x

N

x

>

i

>
>
>


>

i

dt = 0;


i

v =

i+1

Z v(x)dx:

(1.23)

h
xi

V… trong (1.22) l tòy þ n¶n ta câ
8
> du(t)

>




(1.24)

dt

+

u(t) = F (t);


0
2
2
2
1 B
0
0
2a + h b : : :

a

=

2

B
B

h B

B

:::

:::

0
0
0


0

0

:::

0

0

0

: : : 2a Nx
:::

2b Nx 1

1
+h

a

Nx

a Nx
a

C

1

i
v a = (a + a ).
2

H m v phÊi
i

i

(t) + g

F (t) = ff(t)

(t); i = 0; 1; : : : ; Nxg:

Tnh xĂc nh dữỡng ca trong (1.24) ữổc khflng nh qua b
dữợi Ơy.
B 1.1 Vợi mỉi t, ma trn hằ s xĂc nh bi hằ (1.24) l nòa xĂc nh
dữỡng.
Chứng minh. Ta cn chứng minh
0

U; U

1

0; vợi U = (U ; U ; : : : ; U

Tht vy, t cổng thức ca ma trn


h2

+

: ::

1
a0U
1
U

2

h2 b1

0

B
B

a

N

N

=

h



Uk+1

U0 1

C
U :::

C

+ h 2 b N x) U N x C B U N x C

Nx

@
a xU

a

1

+

2 k =0

1

C

CB

8
u +

m

=

= F (tm); m = 0; 1; : : : ; M, ta rới rc (1.24) nhữ sau

um+1

>

>u



>

:

0

t

= u0

um+1 + um = F m+1=2;

:

B m =(E+

1

m

) (E
) 1;

);

2
2
t m
2
E l ma trn ỡn v.
Kỵ hiằu ( ; ) v k k tữỡng ứng l tch vổ hữợng v

chu'n Euclide trong

N

khổng gian R x . Ta nhn ữổc kt quÊ v tnh n nh ca lữổc ỗ sai
phƠn nhữ sau.
B 1.2 Lữổc ỗ (1.27) l n nh.
Chứng minh. T phữỡng trnh u tiản ca (1.27) ta nhn ữổc
m+1

m



2 )kku

k+ tk(E+ 2

lỵ 2.1, p. 220] ta cõ
t m 1
2 ) (E
(E +

k(E +
Hỡn na
t
k(E +

2

= sup
m) 1

k

m )k

t
2

1:

t m 1


))
(; )

(( ; ) + t( ; ) +

1:
t

2

4

mm

(

;)


18

Do vy, t phữỡng trnh (1.28) ta nhn
ku

m+1

m

k

t k

m

ku

m+1

k

F

(1.29)

k kvk + (m + 1) tkfk:

Nhữ vy, lữổc ỗ sai phƠn (1.27) l n nh.
Chú ỵ, trong t i liằu [1] cĂc tĂc giÊ

 chứng minh ữổc rng tỗn ti

hng s dữỡng cdd khổng phử thuc v o hằ s a v b thọa mÂn
M
Nx
m=0 k 0
XX
cdd

1=2



Chữỡng 2

B i toĂn xĂc nh nguỗn cho phữỡng
trnh truyn nhiằt tuyn tnh mt
chiu
Trong chữỡng n y, chúng tổi nghiản cứu b i toĂn tm li th nh phn
ch phử thuc thới gian trong v phÊi ca phữỡng trnh t quan sĂt t
ch phƠn (nhữ Â trnh b y trong Phn Lới nõi u, Ơy l b i toĂn
ngữổc, t khổng chnh). Tức l ta xƠy dỹng li h m f(t) trong h m
v phÊi t quan sĂt tch phƠn
Z
lu(x; t) =
!(x)u(x; t)dx = h(t); t 2 (0; T );
(2.1)
1

trong õ !(x) 2 L ( ) l h m trồng v

R

!(x)dx > 0, d kiằn quan sĂt h

2

ữổc giÊ thit trong khổng gian L (0; T ).
Vợi mửc ch õ, chúng tổi s ữa b i toĂn v b i toĂn bin phƠn cỹc
tiu hõa phim h m mửc tiảu, ỗng thới ch ra cổng thức gradient ca
phim h m cÊ dng liản tửc v rới rc thổng qua nghiằm ca b i toĂn liản
hổp. Thut toĂn ữổc sò dửng tm cỹc tiu ca phim h m mửc tiảu l


(2.2)

(0;T )

f l

ữợc lữổng

2

ca f 2 L (0; T ).
Sò dửng cổng thức Green trong nh lỵ 1.1 hoc [7, nh lỵ 3.18], b i
toĂn liản hổp cho b i toĂn (1.1) cõ dng
8

@p

> p(x; t) = 0;

@

a(x; t)

>

>
>

>

(2.3)

Phim h m (2.2) l
khÊ vi Frchet v cổng thức gradient ca phim
h m ữổc cho thổng qua nh lỵ dữợi Ơy
nh lỵ 2.1 Phim h m J khÊ vi Frchet v cổng thức gradient rJ (f) ti
f cõ dng
Z
rJ (f) =
p(x; t)(x; t)dx + (f(t)
f (t));
(2.4)
vợi p(x; t) l nghiằm ca b i toĂn liản hổp (2.3).
Chứng minh. Ta chú ỵ rng, nu i chiu thới gian trong b i toĂn liản
hổp (2.3) th ta nhn ữổc dng ca b i toĂn thun (1.1). Do vy nu
nghiằm ca b i toĂn liản hổp ữổc hiu theo nghắa nghiằm yu th
tỗn ti duy nhĐt nghiằm yu trong khổng gian W (0; T ) cho b i toĂn
liản hổp.
2

Kỵ hiằu h ; i l tch vổ hữợng trong L (0; T ). Cho bin phƠn nhọ f


21

cıa f, ta câ
1

1
2

@x 2




2

2 klu(f + f) hkL 2(0;T )
2 klu(f) hkL 2(0;T )
= hl u(f); lu(f) hi +
1 kl u(f)kL22(0;T );
2
nghi»m cıa b i to¡n

2

x2 :

u(x; 0) = 0;

>
>

>
:

>

(2.5)


Sß döng cæng thøc Green nh÷ trong ành lþ 1.1 ho°c [7, ành lþ 3.18]
cho (2.3) v (2.5), ta câ
Z TZ
Z TZ
! u(lu
h)dxdt =
f ’pdxdt:
0

0

Do v“y

Z

T

J0(f + f) J0(f) = 0

=D

Z

Z f ’pdxdt + o(k fkL2(0;T ))

’(x; t)p(x; t)dx; f

E

+ o(k fkL2(0;T )):