Dạng 1. Xác định VTCP

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

�x  2  t
�
d : �y  1  2t
�z  3  t
�

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , đường thẳng
một vectơ chỉ phương là:
ur
uu
r
uu
r
uu
r
u1   1; 2;3
u3   2;1;3
u4   1; 2;1
u2   2;1;1
A.
B.
C.
D.

u   1;3;  2 
u   2;5;3
u   2;  5;3
u   1;3; 2 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
r
u
  2;  5;3
Dựa vào phương trình đường thẳng suy ra một vectơ chỉ phương của d là

(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm
A  1;1; 0 
B 0;1; 2 
và 
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .
r
r
r
r
a   1; 0; 2 
c   1; 2; 2 

2 có một vectơ chỉ phương là
ur
uu
r
uu
r
uu
r
u1   3;  1;5 
u4   1;  1; 2 
u2   3;1;5 
u3   1;  1;  2 
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
x  3 y 1 z  5
uu
r
d:


u4   1;  1; 2 
1

1
2
Đường thẳng

2

uu
r
u2   1;  3; 2  .

Trang 1/49 - Mã đề 115


Lời giải
Chọn D
Đường thẳng
Câu 6.

d:

x  2 y 1 z  3
uu
r


u
1
3
2 có một vectơ chỉ phương là 2   1;  3; 2  .

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian
d:

A.


Chọn D
Câu 7.

(Mã đề 104 - BGD - 2019)

Trong không gian

Oxyz

cho đường thẳng

x  3 y 1 z  5


1
2
3 . Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?
uu
r
uu
r
uu
r
ur
u

(1;

2;3)

Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ?
r
r
r
A. u4  (1; 2; 3) .
B. u3  ( 1; 2;1) .
C. u1  (2;1; 3) .

d:

x  2 y 1 z  3


1
2
1 .

r
D. u2  (2;1;1) .

Lời giải
Chọn B

r
Một vectơ chỉ phương của d là: u  (1; 2;1) .
Câu 9.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng
x 1 y  2 z  3


uu
r
u4   1; 2;0 
u1   0; 2;0 
u2   1; 2;0 
u3   1;0;0 
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
M 1 là hình chiếu của M lên trục Ox � M 1  1; 0;0  .

Trang 2/49 - Mã đề 115


M 2 là hình chiếu của M lên trục Oy � M 2  0; 2;0  .
uuuuuur
M M   1; 2;0 
Khi đó: 1 2
là một vectơ chỉ phương của M 1M 2 .
Câu 11.

[2H3-3.1-1] (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
cho đường thẳng
phương
của d ?
ur
u  1; 2;3

r
u4   2; 4;3

.

ur
u
1   1; 2;3 
d
Ta
.
uu
r có một
ur vectơ
uu
r chỉ
ur phương của ulà
u
r uu
r
u2  3u1 u3  u1 �
d
3
,
các vectơ u2 ,uuu
r cũng là vectơ chỉ phương của .
uu
r
uu
r

=
=
=
- 1
- 1 D. 2
- 1
1
C. - 2
Lời giải
Chọn C
Xét đường thẳng được cho ở câu C, có một vectơ chỉ phương là
bài).
Câu 13.

[2H3-3.1-1] (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong
không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
r
u  a; 2; b 

d:

x 1 y  2 z 1


2
1
2 nhận véc tơ

A. 8 .


tọa độ nào sau đây là tọa độ của một véctơ chỉ phương của đường thẳng
�x  2  4t
�
 : �y  1  6t ,  t �� ?
� z  9t
�

Trang 3/49 - Mã đề 115


�1 1 3 �
�; ; �
A. �3 2 4 �.

�1 1 3 �
�; ; �
2;1; 0 
B. �3 2 4 �.
C. 
.
Lời giải

D.

 4;  6; 0  .

r
�1 1 3 �
u   4;  6;9   12 � ; ; �
.

uu
r
u4   1; 2; 3 

Lời giải
uu
r
u
  2; 1; 2 
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là 3
.
Câu 16.

[2H3-3.1-1] (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ
x  2 y 1 z  3


2
1
phương của đường thẳng 3
2;1; 3
3; 2;1
3; 2;1
2;1;3
A. 
.
B. 
.
C. 
.

B.

 1; 4;2 .

C.
Lời giải

D.

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d ta có vectơ chỉ phương là
Câu 18.

 2; 4;1 .

r
u d   2; 4;1

.

[2H3-3.1-1] (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian
�x  1  t
�
�y  4
�
Oxyz véc tơ nào dưới đây là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d : �z  3  2t ,
r
r
r
r
u

Trang 4/49 - Mã đề 115


Dạng 2. Xác định phương trình đường thẳng
Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng cơ bản
Câu 19.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian tọa độ Oxyz , phương trình
�x  1  2t
�
d : �y  3t
?
�z  2  t
�
nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng
x 1 y z  2
x 1 y z  2
x 1 y z  2
x 1 y z  2
 
 
 
 
3
1
3
2
3
2
3

,
. Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N là
x 1 y  2 z 1
x 1 y  3 z  2





1
3
2
1

2
1 .
A.
. B.
x y 1 z  3
x y 1 z  3




3
2 . D. 1
2
1 .
C. 1


�z  0
B. �
.

Trục Oz đi qua gốc tọa độ

O  0;0;0 

�x  t
�
�y  0
�z  0
C. �
.
Lời giải
và nhận vectơ đơn vị

�x  0
�
�y  0
�z  t
D. �
.
r
k   0; 0;1

làm vectơ chỉ phương

�x  0
�

�

�x  2  4t
�
�y   6t .
�z  1  2t
�

�x  2  2t
�
�y   3t .
�z  1  t
�

C.
D.
Lời giải
Theo lý thuyết về dường thẳng trong không gian Oxyz, ta có phương trình tham số của đường
r
M  x0 ; y0 ; z0 
a   a1 ; a2 ; a3 
thẳng đi qua điểm
và có véctơ chỉ phương
là

�x  x0  a1t
�
�y  y0  a2t ,  t �� .
�z  z  a t
� 0 3


uuur
Ta có: EF  (3;1; 7) . Đường thẳng

EF

đi qua điểm

E (1; 0; 2)

và có VTCP

x 1 y z  2
r uuur
 
u  EF  (3;1; 7) có phương trình: 3
1
7 .
Câu 24.

[2H3-1.1-1] (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz ,
Oy có phương trình là
trục y�
�x  t
�
�y  0
�z  0
A. �

�x  0

vectơ chỉ phương
.Phương trình tham số của  là

Trang 6/49 - Mã đề 115

M  2;0; 1

và có một


A.

�x  2  4t
�
�y  6t
�z  1  2t
�

.

B.

r
a   4; 6; 2   2  2; 3;1

�x  2  2t
�
�y  3t
�z  1  t
�

�x  2  2t
�
�y  3t
�z  1  t
�

.

. Vậy phương trình tham số của

r
u   2; 3;1

là:

�x  2  2t
�
�y  3t
�z  1  t
�

.

[2H3-3.2-2] (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong

P  1;1; 1
Q  2;3; 2 
không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
x 1 y 1 z  1

uuu
r hai điểm
u d  PQ   1; 2;3
Khi đó d có một vec tơ chỉ phương là
x 1 y 1 z 1
d:


P
1;1;

1


1
2
3 .
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm
là
Câu 27.

[2H3-5.2-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Trong

A  1; 2;3
B  5; 4;  1
không gian Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
là
x  5 y  4 z 1
x 1 y  2 z  3

. Suy ra
cùng phương với
.
r
B  5; 4;  1
u 2; 1; 2 
Phương trình đường thẳng AB đi qua
nhận 
làm vectơ chỉ phương là:
x  5 y  4 z 1


,  1
2
1
2
. Do đó loại A, C.
C  1; 2; 3
 1 nên phương án
Có tọa độ
không thỏa mãn phương trình
B.
D  3;3;1
 1 nên phương trình đường thẳng AB cũng
Lại có tọa độ
thỏa mãn phương trình
x  3 y  3 z 1


1

Lời giải

�x  0
�
�y  0  t ��
�z  t
�

.

D.

�x  t
�
�y  0  t ��
�z  0
�

.

r
j   0; 1; 0 
A 0 ; 2 ; 0
Oy
Đường thẳng
đi qua điểm
và nhận vectơ đơn vị
làm vectơ chỉ
�x  0  0.t
�x  0

1 B. 2
1
1
A. 2
x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3




1
1 D. 2
1
1
C. 2

Lời giải
Chọn A
Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; 3) nhận véc tơ

r
u   2; 1;1

nên có phương trình dạng

x 1 y  2 z  3


1
1


Trang 8/49 - Mã đề 115

A  2;3;0

�x  1 3t
�
�y  1 3t
�z  1 t
C. �
Lời giải
r
u   1;3; 1

�x  1 3t
�
�y  1 3t
�z  1 t
D. �

nên suy ra chỉ đáp án A hoặc B đúng. Thử

vào ta thấy đáp án B thỏa mãn


Câu 31.

A  1; 2;3
(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho điểm
và đường

�

C.
Lời giải

D.

�x  1  t
�
�y  2  2t
�z  3  2t
�

Chọn C
Gọi  là đường thẳng cần tìm.

M  a; 0;0 
Gọi M   �Ox . Suy ra
.
uuuu
r
AM   a  1; 2; 3
.
uu
r
d có VTCP: ud   2;1; 2  .
uuuur uu
r
AM
.

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
.
�y = 4t
�y = 4
�y = 4 + 4t .
�y = 2 - 4t
�
�
�
�
�
�
�
�
z
=
2
+
2
t

Ta có
uu
r uuuu
r
uuu
r uuu
r
� ud = nBCD = �
BC ; BD �
= ( - 1; - 4; - 2)
�
�
�
�
Khi đó ta loại đáp án A và B
�
�
1 = 2 +t
t =- 1
�
�
�
�
0 = 4 + 4t � �
t =- 1
�
�
�
�
�

1
2
1 ;
3
2
1

và mặt phẳng

 P  : x  2 y  3z  5  0 .

 P  , cắt d1 và d2 có phương trình là
Đường thẳng vuông góc với
x 1 y 1 z
x  2 y  3 z 1




2
1
2
3
A. 3
B. 1
x 3 y 3 z 2
x 1 y 1 z




A  3  t1 ;3  2t1; 2  t1  B  5  3t2 ; 1  2t2 ; 2  t2 
Gọi
,
.
uuu
r
AB   2  3t2  t1 ; 4  2t2  2t1 ; 4  t2  t1 
.
r
 P  là n   1; 2;3 .
Vectơ pháp tuyến của
2  3t2  t1 4  2t2  2t1 4  t2  t1
uuu
r


r
1
2
3
Do AB và n cùng phương nên
.
�2  3t2  t1 4  2t2  2t1

�
� 1
2
��
t 2
�

-

BGD

-

2019)

Trong

không

gian

Oxyz , cho các điểm

A  1;2;0  , B  2;0;2  , C  2; 1;3 , D  1;1;3 . Đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt
ABD  có phương trình là
phẳng 

A.

�x  2  4t
�
�y  4  3t
�z  2  t
�

Chọn A



D.

�x  2  4t
�
�y  1  3t
�z  3  t
�

.


uuur uuur
AB �AD   4; 3; 1
C 2; 1;3 và vuông góc với mặt phẳng  ABD  có phương trình
Đường thẳng qua 
�x  2  4t
�
�y  1  3t
�z  3  t
�
E 2; 4;2  thuộc đường thẳng trên, suy ra đường thẳng cần tìm trùng với đường
Điểm 

thẳng có phương trình

�x  2  4t
�
�y  4  3t
�z  2  t

�x  t
�
�y  t
�z  1  2t
C. �
.
Lời giải

 ABC 

có

�x  t
�
�y  t
�z  1  2t
D. �
.

Chọn C
uuu
r uuur
uuur
uuur
r
�
AB
AB   1;3;1 AC   1;  1;0  n ABC   �
� , AC �  1;1;  2  .
Ta có

�x  2t
�x  2  2t
�x  2  2t
�x  2t
�
�
�
�
�y  3  4t
�y  3  3t
�y  1  t
�y  1  3t
�z  3t
�z  3  3t
�z  3  2t
�z  2t
A. �
B. �
C. �
D. �
Lời giải
Chọn A
Gọi đường thẳng cần tìm là 
d:

d:

x 1 y 1 z  2
r


(Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz cho
và

D  2; 0;  2 

 BCD 

. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với
có phương trình là
�x  3
�x  3  3t
�x  3t
�x  3  3t
�
�
�
�
�y  2
�y  2  2t
�y  2t
�y  2  2t
�z  1  2t
�z  1  t
�z  2  t
�z  1  t
A. �
.
B. �
.
C. �

u
Gọi d là vec tơ chỉ uphương
u
r r của đường thẳng .
d   BCD 
u  n BCD    3; 2;  1
Vì
nên d uu
.
r
u   3; 2;  1
Đáp A và C có VTCP d
nên loại B và
D.
A  0;0; 2 
Ta thấy điểm
thuộc đáp án C nên loại A.
Câu 38.

(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
x 1 y z 1
 
1
2 . Viết phương trình đường thẳng
và đường thẳng d có phương trình: 1
 đi qua A , vuông góc và cắt d .
x 1 y z  2
x 1 y z  2
x 1 y z  2
x 1 y z  2

2 có véc tơ chỉ phương u   1;1; 2 

Đường thẳng
 P  là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d , nên nhận véc tơ chỉ
Gọi

 P  :1 x  1  y  2  z  2   0 � x  y  2 z  5  0
phương của d là vecto pháp tuyến
 P  và đường thẳng d � B  1  t ;t ; 1  2t 
Gọi B là giao điểm của mặt phẳng
B � P  �  1  t   t  2  1  2t   5  0 � t  1 � B  2;1;1
Vì
Trang 12/49 - Mã đề 115


Ta có đường thẳng  đi qua A và nhận vecto
:

uuu
r
AB   1;1; 1

là véc tơ chỉ phương có dạng

x 1 y z  2
 
1
1
1 .


AB
  1;1; 1


Suy ra
.Ta có đường thẳng  đi qua
và nhận véc tơ
là
véc tơ chỉ phương có dạng
Câu 39.

:

x 1 y z  2
 
1
1
1 .

(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
8 4 8
A(2; 2;1), B(  ; ; )
3 3 3 . Đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc

với mặt phẳng (OAB) có phương trình là:
2
2
5
x
y


2
2
D. 1
Lời giải.

Chọn D

uuu
r uuur
�
OA
; OB �
�  4; 8;8 
Ta có: �

r

u   1; 2; 2 
Gọi d là đường thẳng thỏa mãn khi đó d có VTCP
Ta có OA  3, OB  4, AB  5 . Gọi I ( x; y; z ) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB
uu
r
uur
uur r
OB
.
IA

OA

r

Do đó d đi qua M (1;3; 1) có VTCP u  (1; 2; 2) nên đường thẳng có phương trình
x 1 y  3 z 1


1
2
2

Trang 13/49 - Mã đề 115


Câu 40.

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y z  2


2
1
2 và mặt phẳng ( P) : x  y  z  1  0 . Đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( P ) đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình là:
d:

A.

�x  1  t
�
�y  4t

�
�y  t
�
d : �z  2  2t
Gọi  là đường thẳng nằm trong ( P) vuông góc với d .
uur uu
r uu
r
� (1;4;3)
u  �
u
;
n
d
P
�
�
Gọi A là giao điểm của d và ( P ) . Tọa độ A là nghiệm của phương trình:
(1  2t )  (  t)  (2  2 t)  1  0 � t  2 � A(3; 2; 2)

�x  3  t
�
�y  2  4t
uur
�z  2  3t
u  ( 1; 4;3)
Phương trình  qua A(3; 2; 2) có vtcp 
có dạng: �
Câu 41.


�x  t
�
�y  1 t
�z  3  t
�

�x  1 t
�
�y  1 t
�z  3 t
�

C.
Lời giải

D.

�x  1 t
�
�y  1 t
�z  3 t
�

Chọn D

r
r
r r
u   3;2;1
v   1;3; 2 �

z  3 t
�

.

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
x y 1 z 1


1
2
1 và mặt phẳng  P  : x  2 y z  3  0 . Đường thẳng nằm trong  P  đồng
thời cắt và vuông góc với  có phương trình là:
:

Trang 14/49 - Mã đề 115


A.

�x  1  2t
�
�y  1  t
�z  2
�

B.

�x  3
�

1
2
1
Ta có
M   � P  � M � � M  t ; 2t  1; t  1
Gọi
M � P  � t  2  2t  1   t  1  3  0 � 4  4t  0 � t  1 � M  1;1; 2 
r
P
n   1; 2; 1

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
là r
u   1; 2;1
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng  là
 P  đồng thời cắt và vuông góc với 
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
1 r r
�
n, u �  0; 1; 2 
M  1;1; 2  �d
� Đường thẳng d nhận 2 � �
làm véc tơ chỉ phương và
�x  1
�
d : �y  1  t
�z  2  2t
�
� Phương trình đường thẳng
Câu 43.

A.
B.
2x  y  2z  13  0 D. 2x  y  2z  22  0
C.
Lời giải:
Chọn C

 P  là A  4; 1;2
Tọa độ giao điểm của d1 và

r
u2  2; 1;2
A
Mặt phẳng cần tìm đi qua
và nhận
làm VTCP có phương trình
2x  y  2z  13  0.
Câu 44. [2H3-3.7-1] (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong

   : x  y  2 z  1 . Trong các đường thẳng
không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
sau, đường thẳng nào vuông góc với

 .

Trang 15/49 - Mã đề 115


A.


r
a   a1; a2 ; a3 

với

a12  a22  a32  0
a

a

�x  2t
�
d 4 : �y  0
�z  t
�

.

a

r
r � 1 2  3
 � a

1 1 2
Đường thẳng vuông góc với
cùng phương n
Chọn a1  1 thì a2  1 và a3  2 .

Câu 45.


 Oxy 

nên nhận

 Oxy  có

�x  1  t
�
�y  1  t
�z  1
D. �
.
r
k   0;0;1

làm vectơ chỉ

A  1;1;1
phương. Mặt khác d đi qua
nên:
�x  1
�
�y  1
�
� Đường thẳng d có phương trình là: �z  1  t .
Câu 46.

[2H3-3.2-2] (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz ,
cho điểm

y 3 z 2

3
2 .
Lời giải

r
n   1;  3; 2 
có VTPT là
r .
n   1;  3; 2 
P
Vì d vuông góc với   nên d nhận
là VTCP.
x 1 y  3 z  2
r
n

1;

3;
2

 là VTCP có phương trình: 1  3  2 .
Đường thẳng d qua M và nhận
P
Mặt phẳng  

Trang 16/49 - Mã đề 115


x 1 y  1 z  3




1
3 . B. 4
1
4 .
A. 2
x 1 y  1 z  3
x 1 y 1 z  3




2
3 . D. 2
1
1 .
C. 1

Lời giải

K ( 2 + t ; - 1- t ; 1 + t )
Gọi d là đường thẳng qua A và d cắt d 2 tại K . Khi đó
.
uuu
r
AK = ( 1 + t; - t ; t - 2)

4
=
0
�
t
=
1
Do đó
, suy ra
.
x - 1 y +1 z - 3
d:
=
=
2
- 1
- 1 .
Vậy phương trình đường thẳng
Câu 48.

[2H3-3.2-2] (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho điểm

A  1;0; 2 

và đường thẳng

vuông góc và cắt d có phương trình là
x  2 y 1 z 1
:

2
1 .
1
3
1 .
C.
D.
Lời giải
uu
r uuu
r
B
t

1;
t
;
2
t

1
u

AB
  t , t , 2t  3



Gọi giao điểm của  và d là
. Khi đóuu

2
3 . Đường thẳng đi qua
gian
, cho điểm
và đường thẳng
M , vuông góc với d và cắt Oz có phương trình là
�x  1  3t
�x  1  3t
�x  1  3t
�x  1  3t
�
�
�
�
�y  0
�y  0
�y  t
�y  0
�z  1  t
�z  1  t
�z  1  t
�z  1  t
A. �
.
B. �
.
C. �
.
D. �
.

 3;0;1
3
�
�
  d � MN .u  0
3
. Khi đó MN cùng phương với 1 

M  1;0;1
 3;0;1 nên có phương
Đường thẳng  đi qua điểm
và có một vectơ chỉ phương
Câu 50.

[2H3-3.2-3] (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Trong không gian với hệ
tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
là đường thẳng nằm trong
trình tham số của  ?

A.

�x  2  4t
�
�y  3  5t
�z  3  7t
�

.

B.

�y  1  5t
�z  4  7t
�

.

D.

�x  3  4t
�
�y  7  5t
�z  2  7t
�

.

Chọn B
P
Do  nằm trong nằm trong   và vuông góc với d nên  có véctơ chỉ phương là

uur
uuur uu
r
�  4; 5; 7 
u  �
n
,
u
d
P



, d2 :


1
4
2
1
1
1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A ,
vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d 2 .
x 1 y 1 z  3
x 1 y 1 z  3




1
1 . B. 6
1
5 .
A. 2
x 1 y 1 z  3
x 1 y  1 z  3




4

r
u d   1  t ; t ; t  2 
A
;
M
d
Đường thẳng đi qua
nên vectơ chỉ phương
r
r
r r
�
u

u
�
u
d
d
d .u d1  0 � 1.  1  t   4  t   2  t  2   0 � t  1
d
1
Theo đề bài d vuông góc 1
r
� u d   2; 1; 1
r
A
1;

1;3

cắt và vuông góc với d có phương trình

là?

x2 y 2 z 5


.
7
3
A. 1
x  2 y  4 z 1


.
7
3
C. 1

uur
uur
nP   1; 1; 2  , ud   2;1; 3

x2 y 2 z 5


.
7
3
B. 1

n

P
�P ,ud �  1; 7;3
Theo giả thiết � 
x  2 y  2 z 5


.
7
3
Và đường thẳng  đi qua điểm I . Vậy  : 1
Câu 53.

[2H3-3.2-3] (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho
mặt

phẳng

 P  : x  2 y  3z  7  0

và

hai

đường

thẳng

x3 y 2 z 2



2
3 D. 1
2
3
C. 1
Trang 19/49 - Mã đề 115


Lời giải
Gọi  là đường thẳng cần tìm
 �d1  M nên M  3  2t ; 2  t; 2  4t 
 �d 2  N nên N  1  3u; 1  2u; 2  3u 
uuuu
r
MN   2  3u  2t;1  2u  t ; 4  3u  4t 
uuur
uuuu
r
n
Ta có MN cùng phương với  P 

u  2
�
2  3u  2t 1  2u  t 4  3u  4t
�


t  1

�
�y  1  t
�z  3  t
A. x  2 y  z  0 .
B. �
.
,

x
y 1 z  3


1
1 .
C. 2

x 1 y z 1
 
1
1 .
D. 2
Lời giải

Chọn C

uuur
BC   2;1;1

Đường thẳng  đi qua A và song song BC nhận
làm vectơ chỉ phương

�x  1  2t
�
�
�
�y  2
�y  2
�y  2
�z  3  t
�z  3  t
�z  3  2t
A. �
B. �
C. �
Lời giải
Chọn A
Trang 20/49 - Mã đề 115

 P

và

. Phương trình nào

 Q ?

D.

�x  1
�
�y  2

�x  1  t
�
�y  2
�z  3  t
A  1; 2;3
Đường thẳng d đi qua
nên có phương trình: �
Câu 56.

(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ
A  1; 2; 3

;

B 1;4;1

và đường thẳng

d:

Oxyz

, cho hai điểm

x 2 y 2 z  3


1
1
2 . Phương trình nào dưới đây

x 2 y 2 z  3
d:


u
1
1
2 có VTCP là  1; 1;2 nên đường thẳng  cần tìm cũng có VTCP
r
u 1; 1;2
.
x y 1 x 1
: 

.
1 1
2
Suy ra phương trình đường thẳng

Câu 57.

(CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không
M  1;  3; 4 
gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
, đường thẳng d có phương trình:

x  2 y 5 z 2


3

�
�
u
�d , n p  �  5;  5;10  .

y 3 z4

1
2 .
y3 z4

1
2 .

Trang 21/49 - Mã đề 115


Do  vuông góc với

d và song song với  P 

r
u   1;1;  2 

nên
x 1 y  3 z  4


1
2 .


x  2 y 1 z  3


1
2
1 . Xét các điểm A, B lần lượt di động trên d1 và d 2 sao cho AB song

 P  . Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng

AB là
r
u   9;8; 5 
A. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
r
u   5;9;8 
B. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
r
u   1; 2; 5 
C. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
r
u   1;5; 2 
D. Một đường thẳng có vectơ chỉ phương
Lời giải
Chọn A
A �d1 � A  3a;1  a; 1  a  B �d 2 � B  2  b;1  2b; 3  b 
;
.
uuur
r

6
6 �
� 2

Suy ra tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AB là một đường thẳng có vectơ chỉ phương
r
u   9;8; 5 
.
Câu 59.

[2H3-5.11-3] (THPT LƯƠNG VĂN CAN - LẦN 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho
điểm

A  3; 2;  4 

và mặt phẳng

 P  : 3x  2 y  3z  7  0 , đường thẳng

d:

x  2 y  4 z 1


3
2
2

P
. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng  đi qua A , song song   và cắt


D.

�x  3  11t
�
�y  2  47t
�z  4  54t
�

Lời giải
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 P .

uu
r
ud   3;  2; 2 
M  2;  4;1
d
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
.
Trang 22/49 - Mã đề 115

.


M  2  3t ; 4  2t;1  2t 
Giả sử  �d  M nên
khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng  là

�

đường thẳng cần tìm là
.
Dạng 2.4 Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…)
�x  1  3t
�
d : �y  3
�z  5  4t
�
Câu 60. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
.
r
A  1; 3;5 
u  1; 2; 2 
Gọi  là đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Đường phân
giác của góc nhọn tạo bởi d và  có phương trình là

A.

�x  1  2t
�
�y  2  5t
�z  6  11t
�

Chọn B


Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
. Ta xét:
ur 1 r
�1 2 2 �
u1  r .u 1


1;
2;

2


� ; ; �
u
�3 3 3 �;
3
ur 1 r
4�
�3
v1  r .v 1
 ; 0;  �
v   3;0; 4   �
5 �.
�5
5
ur ur
ur ur
u1.v1  0
u1 v1


�x  1  7t
�
d : �y  1  4t
�z  1
�

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
.
r
A  1;1;1
u   1; 2; 2 
Gọi  là đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Đường phân
giác của góc nhọn tạo bởi d và  có phương trình là.

A.

�x  1  2t
�
�y  10  11t
�z  6  5t
�

B.

�x  1  2t
�
�y  10  11t

d �  A  1;1;1

.

uur
I  4;5;1 �d � AI   3; 4;0  � AI  5

Ta có
. Lấy
.
M  1  t ';1  2t ';1  2t '  �
Gọi
sao cho AM  AI .
� 5
t'
�
3
3t' 5 � �
5
�
t' 
�
3.
�
Khi đó
uuu
r �5 10 10 �
15
5 � M �8 ;  7 ; 13 �� u
AM

�3 3 3 �
�3 3
3
Với
�  1 � IAM
�  900
0
cos IAN
� trong trường hợp này  d ;    90 (thỏa mãn)
3
Khi đó
�5 14 2 � uuur 1
NI � H � ; ; �� AH   2;11; 5 
3
�3 3 3 �
Gọi H là trung điểm của
.
�5 14 2 �
H �; ; �
A  1;1;1
Khi đó đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và  đi qua �3 3 3 �hoặc
�x  1  2t
�
�y  10  11t
r
�z  6  5t
u   2;11; 5 
và nhận làm
VTCP � phương trình phân giác là �
.

Lời giải

�x  18  19t
�
�y  6  7t
�z  11  10t
�

D.

�x  1  t
�
�y  1  17t
�z  1  10t
�

Chọn B
A  d �
�x  1  2t
�
 : �y  1  1t
�z  1  2t
�
Phương trình tham số của đường thẳng
.
B  1; 2;3 �, AB  3
Chọn điểm
.
14 17 �
�

�z  1  10t
�

. Tọa độ điểm của đáp án B thuộc AI .

Trang 25/49 - Mã đề 115