Dạng 1. Xác định véc tơ pháp tuyến
Câu 1.

(ĐỀ MINH HỌA BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt

 P  : 3x  z  2  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của  P  ?
phẳng
r
r
r
r
n   3;0; 1
n   3; 1; 2 
n   3; 1; 0 
n   1;0; 1
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
Lời giải
Chọn A
r
 P  : 3x  z  2  0 là n2   3;0; 1 .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Câu 2.

Oxyz ,

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian

 P  : 2 x  y  3z  1  0

 P  : 2 x  y  3z  1  0

có một vectơ pháp tuyến là

(Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  2 y  3 z  1  0.
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P) ?
uu
r
uu
r
ur
uu
r
n3   1; 2; 1 .
n4   1; 2;3 .
n1   1;3; 1 .
n2   2;3; 1 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
uu
r
n4   1; 2;3 .
Từ phương trình mặt phẳng (P) suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Oxyz,

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không giam

n4   2;3;1

mặt phẳng

uu
r
n2   1;3; 2 

.

 P  : 2 x  y  3z  1  0 .
(Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
 P ?
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
uu
r
ur
uu
r
uu
r
n3   2;3;1
n1   2; 1; 3 
n4   2;1;3
n2   2; 1;3
A.
.
B.
.
C.

n 2   2;  3;  2 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
r
 P  : 2 x  3 y  z  2  0 . Véctơ n1   2;  3;1 là một véctơ pháp tuyến của  P  .

Câu 7.

P : 4 x  3 y  z 1  0
(Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  
.
P
Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của  
r
r
r
n 4   3;1;  1
n3   4;3;1
n 2   4;  1;1
A.
.
B.

Chọn A

 P  :3x  2 y  z  4  0
Mặt phẳng
Câu 9.

Oxyz ,

D.

uu
r
n2   3; 2;1

có một vectơ pháp tuyến là

A.

r
n3   1; 2;3

có một véc tơ pháp tuyến là
r
r
n   1; 2; 3
n   1; 2;3
B. 4
C. 2
Lời giải


(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian

 P  :3x  2 y  z  4  0

r
n1   4;3;  1

cho mặt phẳng

r
n1   3; 2;1

.

(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào dưới
đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
r
ur
i   1;0;0
m  1;1;1
A.
B.

 Oxy ?
C.
Lời giải

r
j   0;1;0


n   2; 3; 4 
A.
.
B.
.

r
n   2;3; 4 

C.
Lời giải

Chọn C

.

   : 2x  3 y  4z  1  0

D.

r
n   2;3;1

.

uu
r
n0   2; 3; 4 

 : 2x  3 y  4z  1  0

n1  (3; 1; 2)

C.

uu
r
n3  (3; 1;0)

D.

uu
r
n2  (3;0; 1)

Lời giải
Chọn D
Câu 13. Trong không gian Oxyz , véctơ nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng

   : 2 x  3 y  1  0?
A.

r
a   2;  3;1

B.

r
b   2;1;  3

Chọn C

là
r
r
A. n  (3;6; 2)
B. n  (2; 1;3)

r
r
n

(

3;

6;

2)
n
C.
D.  (2; 1;3)
Lời giải
x
y z
1
1
   1 �  x  y  z  1  0. � 3 x  6 y  2 z  6  0.
2
3
Phương trình 2 1 3
r

Câu 16.

 P

có tọa độ là

 P  : 2 x  6 y  8z  1  0

 2;  6;  8

hay

nên một véc tơ pháp tuyến của

 1;  3;  4  .

(CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây
P : 2 y  3z  1  0
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  
?
uu
r
uu
r
ur
uu
r
u4   2;0;  3
u2   0; 2;  3
u1   2;  3;1


 3;0; 1 .
C.
Lời giải
 P  : 3x  y  2  0 là  3; 1;0  .
Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
B.

 1;0; 1 .

D.

 3; 1;0  .

Dạng 2. Xác định phương trình mặt phẳng
Dạng 2.1 Xác định phương trình mặt phẳng cơ bản
Câu 18.

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng

 Oxz 

có phương trình là:
B. z  0

A. x  0

C. x  y  z  0
Lời giải



r
i   1;0;0 

1 x  0   0  y  0   0  z  0   0 � x  0

nên ta có

.

 Oyz 
(SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng
có phương trình là
A. z  0 .
B. x  y  z  0 .
C. x  0 .
D. y  0 .
Lời giải
Chọn
C.

Trang 4/81 - Mã đề 135


Câu 21.

(CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Ozx ?
A. x  0.


n   1; 2;3
M  1; 2; 3
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
và có một vectơ pháp tuyến
là
1 x  1  2  y  2   3  z  3  0 � x  2 y  3z  12  0
.

Câu 23.

(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai

A  0;1;1
B  1; 2;3
 P  đi qua A và vuông góc với
điểm
) và
. Viết phương trình của mặt phẳng
đường thẳng AB .
A. x  y  2 z  3  0
B. x  y  2 z  6  0 C. x  3 y  4 z  7  0 D. x  3 y  4 z  26  0
Lời giải
Chọn A

 P  đi qua A  0;1;1 và nhận vecto
Mặt phẳng

uuu
r
AB   1;1; 2 

trung điểm 
của đoạn thẳng AB. Do đó, phương trình mặt phẳng đó là:
 6  x  1  2  y  1  2  z  2   0 � 6 x  2 y  2 z  0 � 3x  y  z  0.

Câu 25.

A  1; 2;0 
B  3;0; 2 
(Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
. Mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
A. x  y  z  3  0 .
B. 2 x  y  z  2  0 . C. 2 x  y  z  4  0 . D. 2 x  y  z  2  0 .
Lời giải
Trang 5/81 - Mã đề 135


Chọn D

I  1;1;1
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Suy ra
.
uuu
r
AB   4; 2; 2 
Ta có
.
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I của AB và nhận
uuu

A. 3 x  y  z  6  0
B. 3 x  y  z  0
C. 6 x  2 y  2 z 1  0 D. 3x  y  z  1  0
Lời giải
Chọn B

   là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Gọi
uuur
   đi qua I  1;1; 2  và nhận AB   6; 2; 2  làm một VTPT.
�    : 6  x  1  2  y  1  2  z  2   0 �    : 3x  y  z  0 .

Câu 28.

A  1;3;0 
B  5;1; 1
(Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
.
AB
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
có phương trình là:
A. x  y  2 z  3  0 . B. 3 x  2 y  z  14  0 .C. 2 x  y  z  5  0 . D. 2 x  y  z  5  0 .
Lời giải
Chọn D
I  3; 2; 1
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm
, có vec tơ pháp tuyến
r 1 uuu
r

véctơ pháp tuyến là
4( x  4)  4( y  3)  6( z  1)  0
� 2( x  4)  2( y  3)  3( z  1)  0
� 2 x  2 y  3 z  17  0
Câu 30.

A  1; 2;1
(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
và
B  2;1;0  .

Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là
A. x  3 y  z  5  0
B. x  3 y  z  6  0
C. 3 x  y  z  6  0
D. 3x  y  z  6  0
Lời giải
Chọn D
uuu
r
uuur


AB  3; 1; 1 .
AB  3; 1; 1



Do mặt phẳng
cần tìm vuông góc với AB nên

cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
 P  là x  2 y  2 z  1  0 .
Vậy phương trình mặt phẳng
Câu 32.

(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong
không gian Oxyz , cho 2 điểm A(5; 4; 2) và B(1; 2; 4) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với
đường thẳng AB là?
A. 3x  y  3z  25  0

B. 2 x  3 y  z  8  0 C. 3 x  y  3 z  13  0 D. 2 x  3 y  z  20  0
Lời giải

Chọn D

uuu
r
Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AB nên nhận AB làm vectơ pháp tuyến,
uuu
r
AB  (4;6; 2)
uuu
r
AB
 (4;6; 2) có phương trình
A
(5;

4;
2)


B  1;2;2 
   của đoạn thẳng AB .
và
. Viết phương trình mặt phẳng trung trực
   : 4 x  2 y  12 z  7  0 .
   : 4 x  2 y  12 z  17  0 .
A.
B.
   : 4 x  2 y  12 z  17  0 .
   : 4 x  2 y  12 z  7  0 .
C.
D.
Lời giải
�5
�
uuu
r
I�
0; ; 1�
AB
  2; 1;6 
2
�là trung điểm của AB ;
Gọi �
.
�5
�
r
I�

 Q  :2 x  y  3  0 B.  Q  :x  z  0
A.

 Q  : x  y  z  0

C.
Lời giải

D.

 Q  :3x  y  z  0

Chọn B
uuu
r
r
AB   2; 2; 2   2  1;1; 1 , u   1;1; 1
uuur
n P    1;2; 1
uuur
uuu
r uuur
�
n Q   �
AB
� , n P  �  1;0;1
Vậy
Câu 36.

 Q  :x  z  0 .

Trang 8/81 - Mã đề 135


r uuu
r uu
r
�
n�
AB,n
� P �  0;8;12 

 Q .
Từ giả thiết suy ra
là vectơ pháp tuyến của mp
 Q  đi qua điểm A  2; 4;1 suy ra phương trình tổng quát của mp  Q  là:
Mp
0  x  2   8  y  4   12  z  1  0 � 2 y  3 z  11  0
.
Câu 37.

(CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm

A  1; 1; 2 

B  3;3;0 
và
. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
A. x  y  z  2  0 .
B. x  y  z  2  0 .
C. x  2 y  z  3  0 . D. x  2 y  z  3  0 .


. Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC

là
A. x  2 y  5 z  5  0 .

B. 2 x  y  5 z  5  0 . C. x  2 y  5  0 .

D. x  2 y  5 z  5  0 .

Lời giải
uuur
BC   1; 2; 5 

Do mặt phẳng vuông góc với BC nên
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
1 x  2   2  y  1  5  z  1  0 � x  2 y  5 z  5  0
Vì vậy phương trình mặt phẳng là :
.
Câu 39.

(SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho hai
điểm

A  1;1; 2 

và

B  2;0;1


Trang 9/81 - Mã đề 135


Ta có

uuu
r
AB   2; 2;1

uur

 Q  : nQ   1; 2;  1 .
, vectơ pháp tuyến mặt phẳng
uur uur uuu
r

 P  : nP  nQ �AB   4;  3;  2  .
Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng

 P

đi qua

 P

A  0;1;0 

Vậy phương trình mặt phẳng


 P

có phương trình là
A. 3 x  14 y  4 z  5  0 . B. 2 x  y  2 z  2  0 .
C. 2 x  y  2 z  2  0 . D. 3 x  14 y  4 z  5  0 .
Gọi

Lời giải

uur uur
nP , nQ

lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
uuur
uur
AB   2;  1;5  nP   2;  1; 2 
Ta có
,
.

 P

và

 Q .

uur uuur uur
uur uuur uur uur
n

2y + 2z + 7 = 0,( b) : 5x - 4y + 3z + 1 = 0

độ O đồng thời vuông góc với cả
A. 2x - y - 2z = 0.
C. 2x + y - 2z = 0.

( a)

và

( b)

. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa

là:
B. 2x - y + 2z = 0.
D. 2x + y - 2z + 1 = 0.

Lời giải
Chọn C

uu
r
uu
r
n = ( 3;- 2;2) nb = ( 5;- 4;3)
Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là a
,
.
uu

và mặt phẳng

đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt

 P  có dạng ax  by  cz  11  0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
phẳng
A. a  b  c  5 .
B. a  b  c  15 .
C. a  b  c  5 .
D. a  b  c  15 .
Lời giải
Chọn A
r
Q
P
Q
n   1; 3; 2 



 P  làm vtcp
Vì
vuông góc với
nên
nhận vtpt
của
uuu
r
Q
Q

Q
chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng   . Mặt phẳng   có phương trình là:
A. 3 x  2 y  z  3  0 . B. x  y  z  2  0 .
C.  x  y  0 .
D. 3x  2 y  z  3  0 .

Lời giải
Chọn A
uuur
AB   1; 2; 1
Ta có
P
Từ  

P
suy ra vec tơ pháp tuyến của  

uur
nQ

là

uur
nP   1;1;1

Q
Gọi vec tơ pháp tuyến của   là
uur uuur
nQ  AB  1
Q

A 1; 1; 2 
đi qua 
và có vec tơ pháp tuyến
3  x  1  2  y  1   z  2   0 � 3x  2 y  z  3  0

Câu 45.

nên

 Q

có phương trình là

.

(THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz ,
cho hai mặt phẳng

 P  : x  3 y  2 z  1  0,  Q  : x  z  2  0 . Mặt phẳng   

vuông góc với cả

 P

 Q đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mp    là
và
A. x  y  z  3  0
B. x  y  z  3  0
C. 2 x  z  6  0
D. 2 x  z  6  0

  đi qua điểm M  3;0;0 và có vectơ pháp tuyến    1;1;1 nên    có phương trình:
Vậy
x  y  z  3  0.
Vì mặt phẳng

Câu 46.



(CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ
tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng

   : 3x  2 y  2 z  7  0

và

   : 5 x  4 y  3z  1  0 .

   và    có phương trình là
Phương trình mặt phẳng đi qua O đồng thời vuông góc với cả
A. 2 x  y  2 z  1  0 . B. 2 x  y  2 z  0 .
C. 2 x  y  2 z  0 .
D. 2 x  y  2 z  0 .
Lời giải
P
P
Gọi mặt phẳng phải tìm là   . Khi đó véc tơ pháp tuyến của   là:
uur uur uur
nP  �
n , n �

vuông góc với
nên có giá vuông góc
uur
r
u
u
u
r
uu
r
n
 Q  nên n cũng vuông góc với uAB
với p , mặt khác véc tơ AB có giá nằm trong mặt phẳng
uur uuu
r
r
r �
uuur
�  3; 2;1
n
,
AB
 Q
P
n
�
Mà p và AB không cùng phương nên ta có thể chọn n = �
, mặt khác

 P

Trang 12/81 - Mã đề 135

D. x  y  z  1  0 .
Lời giải

P
. Mặt phẳng  

có 1 véctơ pháp tuyến là:

r
n P    1; 1;0 

.


r
n
Gọi
là
véctơ
pháp
tuyến
r uuur
r
uuur r
�
n  AB
�
AB; n P  �


(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ

H  2;1;1 .
tọa độ Oxyz cho
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A; B; C sao
cho H là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:
A. 2x  y  z  6  0.
B. x  2y  z  6  0. C. x  2y  2z  6  0.
D. 2x  y  z  6  0.
Lời giải
AB  OC
�
� AB   OHC  � AB  OH.
�
AB  CH
Ta có: �
BC  OA
�
� BC   OAH  � BC  OH
�
BC  OH
Tương tự �
.
AB  OH
�
� OH   ABC  .
�
BC



   //    , PT có dạng    : 3x  y  2z  D  0 (điều kiện

Ta có:
Vậy
Câu 51.

 

qua

M  3;  1;  2

D �4 );

nên 3.3  1  2. 2  D  0 � D  6 (thoả đk);

   : 3x  y  2z  6  0

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm
A  2; 1; 2  và song song với mặt phẳng  P  : 2 x  y  3z  2  0 có phương trình là
A. 2 x  y  3z  11  0 B. 2 x  y  3z  11  0
C. 2 x  y  3z  11  0

D. 2 x  y  3z  9  0
Lời giải

Chọn C

Trang 13/81 - Mã đề 135

x y z
  1
2 3 7

 P  đi qua A  3;0;0  , B  0;0; 4  và song song trục Oy có phương trình
Câu 53. Mặt phẳng
A. 4 x  3 z  12  0
B. 3 x  4 z  12  0
C. 4 x  3 z  12  0
D. 4 x  3 z  0
Lời giải
Chọn A
uuu
r
uuu
r
uOy   0;1;0  ; AB   3;0; 4 
uur uuu
r uuur
�
nP  �
u
�Oy . AB �  4;0;3
Lấy
Do đó
Câu 54.

 P  : 4  x  3  3z  0 � 4 x  3z  12  0

(THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi

r
n ( )   2; 1;3

.

(CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa

A  1; 0;1 B  1; 2; 2 
hai điểm
,
và song song với trục Ox có phương trình là
A. y  2 z  2  0 .
B. x  2 z  3  0 .
C. 2 y  z  1  0 .
D. x  y  z  0 .
Lời giải
Trang 14/81 - Mã đề 135


Ta có

uuur
AB  2; 2;1

.

uuur uuur r
n P   �
AB, i �
�


2

 C 2 �0 

D. y  z  0.
.

( P) đi qua điểm A(1; 1;  1) nên B.1  C.  1  0 � B  C .
Chọn B  C  1 ta được ( P) : y  z  0 .

Câu 57.

(CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với

 Q  : x  2 y  2 z  3  0 , mặt phẳng  P  không qua O ,
hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
d�
 P ; Q �
� 1 . Phương trình mặt phẳng  P  là
và �
B. x  2 y  2 z  0 .

 Q

song song mặt phẳng
A. x  2 y  2 z  1  0 .

C. x  2 y  2 z  6  0 .


A. 2 x  2 y  z  2  0 B. 2 x  2 y  z  0
C. 2 x  2 y  z  6  0

D.

   : 2x  2 y  z  2  0
Lời giải

Chọn A
P
 : 2x  2 y  z 1  0
P : 2x  2 y  z  m  0
Có   song song  
nên  
, với m �1 .
P
A 1;1; 2 
Do   đi qua điểm 
nên 2  2  2  m  0 � m  2 (nhận)
P : 2x  2 y  z  2  0
Vậy măt phẳng cần tìm là  
.

Trang 15/81 - Mã đề 135


Câu 59.

(THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ
P : 2x  2 y  z  5  0

3� �
�
2   2   1
C  14
�
2

2

2

Ta có

C  4 �  Q : 2x  2 y  z  4  0

khi đó

 Q

M 2;0;0 
cắt Ox tại điểm 1 
có hoành độ âm

Q
nên trường hợp này   không thỏa đề bài.
C  14 �  Q  : 2 x  2 y  z  14  0
 Q  cắt Ox tại điểm M 2  7;0;0  có hoành độ
khi đó

dương do đó

Phương trình mặt phẳng
A  3; 0; 0  � Q 
Gọi
� d   P , Q   d  A, P   1
�
Câu 61.

3 D  3
D  0 (l ), qua O
3 D
�
�
1� �
��
3  D  3 �
D  6 ( n )
3
�

(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Mặt phẳng

A  3;0;0  , B  0;0; 4 
qua
và song song với trục Oy có phương trình là
A. 4 x  3 z  12  0 .
B. 3 x  4 z  12  0 .
C. 4 x  3 z  12  0 .
D. 4 x  3 z  0 .
Trang 16/81 - Mã đề 135


nên ta có thể chọn

Khi đó phương trình mặt phẳng cần tìm qua điểm
r
n   4;0;3
 P  :4  x  3  3  z  0   0 .
là
 P  : 4 x  3z  12  0 .
Vậy
Câu 62.

A  3;0;0 

và có vectơ pháp tuyến

(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian
Oxyz , cho A  2;0;0  , B  0; 4;0  , C  0;0;6  , D  2; 4;6  . Gọi  P  là mặt phẳng song song với

mp  ABC 

 P  cách đều D và mặt phẳng  ABC  . Phương trình của  P  là
,
A. 6 x  3 y  2 z  24  0 .B. 6 x  3 y  2 z  12  0 .
C. 6 x  3 y  2 z  0 .
D. 6 x  3 y  2 z  36  0 .
Lời giải
x y z
mp  ABC  2  4  6  1 � 6 x  3 y  2 z  12  0
Phương trình
:


(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN LẦN 1 NĂM 2018-2019) Trong không gian hệ
tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

 Q  : x  2y  2z  3  0 và mặt phẳng  P 

không qua O , song

 Q  và d   P  ; Q    1. Phương trình mặt phẳng  P  là
song mặt phẳng
A. x  2y  2z  3  0. B. x  2y  2z  0 .
C. x  2y  2z  1  0 . D. x  2y  2z  6  0 .
Lời giải.

 P  có dạng x  2y  2z  d  0 Với d �0;d �3.
Gọi phương trình mặt phẳng
d 3
d 0
�
d   P  ; Q    1 �
 1� �
d  6.
12  22  22
�
Có
Trang 17/81 - Mã đề 135


 P  có dạng: x  2y  2z  6  0 .
Kết hợp điều kiện �

.

z

M  2;0;0  N  0;  1;0  P  0;0; 2  �  MNP  : 2  1  2  1
Ta có:
,
,
Câu 65.

(ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua

A  1; 0;0  B  0; 2; 0  C  0;0; 3
ba điểm
,
,
có phương trình là
x y z
x y z
x y z
 
 1
  1
 
1
A. 1 2 3
. B. 1 2 3
.
C. 1 2 3
.

  0
C. 1 2 3
.
Lời giải

D.



x y z
  1
1 2 3
.

A  1;0;0  , B  0;2;0  , C  0;0;3

lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy, Oz .
x y z
  1
Phương trình đoạn chắn có dạng: 1 2 3
.
Ta có

Câu 67.

(ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , phương
A 3; 0;0  B  0; 4; 0 
C 0;0; 2 
trình mặt phẳng đi qua ba điểm 
;


x y z
   1.
D. 1 3 5

Lời giải
Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng qua các điểm

x y z
   1.
A  1;0;0  B  0;3;0  C  0;0;5
,
,
là 1 3 5
Câu 69.

(THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , phương

A  1;0;0  B  0;  2;0 
C  0;0;3 
trình mặt phẳng đi qua ba điểm
,
và
là
x y z
x y z
x y z
x y z

 1

A.
C.

 P  : 3x  y  2 z  6  0
 P : 2x  y  z  4  0

Chọn D
Cách 1.
Giả sử

 P

đi qua 3 điểm
x y z
 P :   1
a b c
Suy ra

B.

 P  : 2x  3y  z  4  0
 P : x  2y  z  2  0

D.
Lời giải

M  a;0;0  N  0; b;0  P  0;0; c 
,
,


(THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz ,

M  1; 2;3
nếu ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
lên các trục tọa độ

 ABC  là
thì phương trình mặt phẳng
1 2 3
x y z
  1
  1
A. x y z
.
B. 1 2 3
.

1 2 3
x y z
  0
  0
C. x y z
.
D. 1 2 3
.
Lời giải
M  1; 2;3
Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
lên Ox, Oy, Oz .
A  1;0; 0  , B  0; 2;0  , C  0;0;3 

 1 � 3 x  6 y  2 z  6  0
2 1 3
.
Câu 73.

(CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian Oxyz ,
cho điểm M (8; 2; 4) . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz .
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B và C là
A. x  4 y  2 z  8  0
B. x  4 y  2 z  18  0 C. x  4 y  2 z  8  0 D. x  4 y  2 z  8  0
Lời giải
M (8; 2; 4) chiếu lên Ox, Oy , Oz lần lượt là A(8;0;0), B(0; 2; 0), C (0;0; 4)

x y z

  1 � x  4 y  2z  8  0
Phương trình đoạn chắn qua A, B, C là: 8 2 4
Câu 74.

(CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Viết phương trình mặt phẳng
M  2;1; 3



đi qua

   cắt trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận M
, biết
làm trực tâm
A. 2 x  5 y  z  6  0. B. 2 x  y  6 z  23  0.


uuuu
r uuur
b  3c
�
�
�b  3c  0
�AM . BC  0
�
��
��
r uuur
�uuuu
3c
a
BM . AC  0
�2a  3c  0
�
�
�
2
Do M là trực tâm tam giác ABC nên:
4 1 3
14
    1 � c   � a  7, b  14.
2
1


3

uuur
uuur
BC   0; b; c  ; AC   a;0; c 

C. 3.
Lời giải
. Khi đó mặt phẳng

D. 5

 ABC  :

x y z
  1
a b c

�2 1 1
�H � ABC 
�a  b  c  1
a3
�
u
u
u
r
u
u
u
r
�


Trang 21/81 - Mã đề 135


Mặt phẳng



A  m; 0;0  , B  0; n; 0  , C  0;0; p 
cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại
,

x y z
  1
m, n, p �0 . Ta có phương trình mặt phẳng    có dạng m n p
.
1 2 3
M �   �    1
 1
m n p
Mà
.
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
AM   1  m; 2;3 , BM   1; 2  n;3 , BC   0; n; p  , AC    m;0; p 
Ta có

Vậy T  a  b  c  1  2  3  6 .


Suy ra
Câu 77.

(THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Mặt phẳng

M  1;1;1

D. 18 .

Lời giải
Từ giả thiết ta có a  0, b  0, c  0 và thể tích khối tứ diện OABC là
x y z
 P  có dạng a  b  c  1 .
Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng
Mà

Do đó
Vậy

minVOABC 

VOABC 

1
abc
6
.

c

33

1
abc

abc 27

1
9
abc �
6
2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  3 .
9
� a bc 3
2
. Khi đó a  2b  3c  18 .

Trang 22/81 - Mã đề 135

.


Câu 78.

(THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho điểm
phẳng

 P

M  1; 2;5 
OM  1; 2;5 

Do đó mặt phẳng
đi qua điểm
và có véc tơ pháp tuyến
.
 P  là  x  1  2  y  2   5  z  5   0 � x  2 y  5 z  30  0.
Phương trình mặt phẳng
lên mặt phẳng

Cách 2:
A  a;0; 0  ; B  0; b; 0  ; C  0; 0; c 
Giả sử
x y z
  1
có dạng a b c
.
1 2 5
   1 1
M � P 
a b c
Theo giả
thiết
ta
có
nên
.
uuuu
r

y z

P
  là 30 15  6  1 � x  2 y  5 z  30  0.
Phương trình mặt phẳng

 P
Khi đó phương trình mặt phẳng

 P  : x  4 y  2z  6  0 ,  Q : x  2 y  4z  6  0 .
Câu 79. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng
Mặt phẳng



chứa giao tuyến của

 P  ,  Q  và cắt các trục tọa độ tại các điểm

A, B, C sao

   là
cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều. Phương trình mặt phẳng
A. x  y  z  6  0 .
B. x  y  z  6  0 .
C. x  y  z  3  0 . D. x  y  z  6  0 .
Lời giải
uur
P  : x  4 y  2z  6  0
nP   1; 4; 2 

Mặt phẳng

. Ta có đường thẳng d có véctơ chỉ phương là

r
u   2;  1; 1

và đi qua

.

   cắt các trục tọa độ tại các điểm A  a ;0;0  , B  0; b ;0  , C  0;0; c 

với abc �0 .

x y z
  1
a b c
Phương trình mặt phẳng
.
r �1 1 1 �
n� ; ; �


�a b c �.
Mặt phẳng
có véctơ pháp tuyến
�2 1 1
  0
�a  6


 :

Câu 80.

(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ

M  9;1;1
tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  đi qua điểm
cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C ( A, B, C
không trùng với gốc tọa độ ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
81
243
81
A. 2 .
B. 2 .
C. 6 .
D. 243 .
Lời giải
Giả sử

A  a;0; 0  , B  0; b; 0  , C  0;0; c 

với a, b, c  0 .
x

y

z


243 81
81
VOABC  a.b.c �
 .
6
6
2 Vậy thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là 2 .

Dạng 3. Một số bài toán liên quan điểm với mặt phẳng
Dạng 3.1 Điểm thuộc mặt phẳng
Câu 81.

(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

   :x  y  z  6  0 . Điểm nào dưới đây không thuộc    ?
Trang 24/81 - Mã đề 135

Oxyz , cho mặt phẳng


A.

Q  3;3;0

B.

N  2;2;2

C.
Lời giải

C.
Lời giải

M  1; 1;1

D.

, cho mặt phẳng

N  5;0;0

Chọn B

M  1;1;6
 P .
Ta có 1 2.1 6  5  0 nên
thuộc mặt phẳng

Câu 83.

(ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng

 P : x  y  z  3  0

đi qua điểm nào dưới đây?
M  1; 1; 1
N  1;1;1
P  3;0;0 
Q  0;0; 3
A.

Câu 85.

(CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới
P : 2x  y  z  2  0
đây nằm trên mặt phẳng  
.
Q 1; 2; 2 
P 2; 1; 1
M  1;1; 1
N 1; 1; 1
A. 
.
B. 
.
C.
.
D. 
.
Lời giải
P
2.1   2   2  2  4 �0
+ Thay toạ độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng   ta được
nên
Q � P 

.

P
2.2   1   1  2  2 �0
+ Thay toạ độ điểm P vào phương trình mặt phẳng   ta được