Dạng 4. Một số bài toán liên quan giữa đường thẳng với mặt phẳng
Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc
Câu 110. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

phẳng
giữa

A.

( P ) : 2x − 2 y − z +1 = 0

∆

và

( P)

x −1 y + 2 z −1
=
=
2
1
2

∆:
và đường thẳng

Oxyz

, cho mặt


r
n(2; −2; −1)

(P )

∆

có vecto pháp tuyến
và đường thẳng
rr
∆ //(P )
∆ ⊂ (P )
nu
. =0
mãn
nên
hoặc
.

Do đó: lấy

A(1; −2;1) ∈ ∆

d(∆(P )) = d(A ;(P )) =

ta có:

có vecto chỉ phương

2.1− 2.(−2) − 1+ 1


C.

( P) : x + y + z + 2 = 0

2 3
.
3

D.

thỏa

Oxyz

,

bằng:

3.

Lời giải
Đường thẳng

d

qua

M ( 1;0;0 )



tọa độ

Oxyz

x = 2 + t

∆ :  y = 5 + 4t
z = 2 + t


, khoảng cách giữa đường thẳng

( P ) : 2x − y + 2z = 0
1

A. .

,

( t ∈¡ )

và mặt phẳng

bằng
B.

0

.

= 1.
2
22 + ( −1) + 2 2
Câu 113. [2H3-1.2-2] (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ

 x = 1− t

d :  y = 2 + 2t
 z = 3+ t


tọa độ Oxyz cho đường thẳng
giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
600
300
A.
B.

và mặt phẳng (P):

C.

x− y+3= 0

120o

D.

. Tính số đo góc


. Khi đó ta có
rr
u.n
−1.1 + 2. ( −1) + 1.0
3
3
sin α = r r =
=
=
2
2
u n
( −1) + 22 + 12 . 12 + ( −1) + 02 2 3 2

Trang 2/66 - Mã đề 115Trang 2/66 - Mã đề 115


Do đó
Câu 114.

α = 600

[2H3-3.6-3] (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

cho mặt phẳng

( P ) : 4 x = 7 y + z + 25 = 0

chiếu vuông góc của



khi đó

nằm trên

( P)

. Gọi

d1 '

tạo với

,

là hình

d1 , d1 '

các

a + 2b
c

uu
r
u2 ( a; b; c )

. Tính
.

r
uur ur
nQ =  nP , u1  = ( 5;5;15 )

( Q)

có vectơ pháp tuyến
.
uur
uur ur
u1 ' =  nP , u1  = ( 22;11; −11)
d1 '
Đường thẳng
có vectơ chỉ phương
hay một vecto chỉ phương
r
u = ( 2;1; −1)
khác
.
uur uu
r
uu
r
n p .u2 = 0 ⇒ 4a − 7b + c = 0 ⇒ c = 7b − 4a ⇒ u2 = ( a; b;7b − 4a )
Vì
.
ur uu
r
uur uu
r

. Các đường thẳng nằm trong

( Q)

( P)

mà vuông góc với
d1 , d1 '

( Q)
90o

thì vuông góc với tất cả các đường thẳng trong
hay chúng cùng tạo với
các góc
. Do đó, các đường thẳng này thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chúng có vectơ chỉ phương
r uur
a + 2b
u = nQ ( 1;1;3) ⇒
=1
c
.

Trang 3/66 - Mã đề 115Trang 3/66 - Mã đề 115


Câu 115. [2H3-3.3-3] (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai điểm
sao cho
A.

. Điểm

M

Oxyz,

thuộc

( P)

bằng

.

D.

4

.

Lời giải
* Ta có :
Gọi

uuu
r
AB = ( 2; 4; −6 ) = 2 ( 1; 2; −3 )

I ( 4;3; 4 )



của

1

vpcp là

là :

( x − 4 ) + 2 ( y − 3) − 3 ( z − 4 ) = 0

r
uuu
r uuu
r
u =  n( P ) , n( Q )  = ( 1;1;1)



và đi qua điểm

 x = −2 + t

d :y = t
z = t


. Khi đó

M ∈d

không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho hai đường thẳng

x = t

d
:
y = 0 .
2
x −1 y − 2 z + 1
d1 :
=
=
,
 z = −t

2
−2
−1

Trang 4/66 - Mã đề 115Trang 4/66 - Mã đề 115


Mặt phẳng

( P)


hoặc

0.

−4

C.

.

D.

4

.

Lời giải

r
u1 = ( 2; −2; −1)

d1 , d 2

r
u2 = ( 1;0; −1)

Ta có vectơ chỉ phương của
lần lượt là
và
.


[2H3-2.5-3] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa

độ

Oxyz

d1 :

, cho hai đường thẳng

d2

tạo với
một góc
0
−4
A.
hoặc

45o

x −1 y − 2 z +1
=
=
2
−2
−1

và nhận véctơ


.

Lời giải
Đường thẳng
Mặt phẳng

d1

( P)

và

d2

có véctơ chỉ phương lần lượt là

có véctơ pháp tuyến là

Từ giả thiết ta có:

r
n = ( 1; b ; c )

r r
u1 ⊥ n
 r r
 u2 .n
o
 | ur | . | nr | = sin 45


 2 − 2b − c = 0
2b + c = 2
b = 2
2b + c = 2
⇔
⇔
⇔ 



2
2
2
2
2
2
 c = −2
( 1 − c ) = 1 + b + c
b + 2c = 0
⇔  1 − c = 1 + b + c
Vậy

b.c = −4

.

Trang 5/66 - Mã đề 115Trang 5/66 - Mã đề 115



x −1 y − 2 z +1
=
=
2
−2
−1
r
n ( 1; b; c )

và nhận vectơ

và

x = t

d2 :  y = 0
 z = −t


. Mặt phẳng

làm một vec tơ pháp tuyến. Xác

.
B.

4

.


. Theo bài ra ta có

 2.1 + ( −2 ) b + ( −1) c = 0
r ur
n.u1 = 0


⇔  1.1 + 0.b + ( −1) c
1 ⇔  c = 2 − 2b
r
u
u
r

=

2

2
2
2
2
 cos n; u2 = sin ( d 2 ; ( P ) )
2
( c − 1) = 1 + b + c
 1+ b + c . 2

(

)


.

D.

3x + 2 y + z − 5 = 0

Oxyz

, mặt phẳng đi qua điểm

có phương trình là

.

Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng qua

A ( 1; 2; −2 )

và nhận

Vậy phương trình của mặt phẳng là:
⇔ 2 x + y + 3z + 2 = 0

uur
u∆ = ( 2;1;3)

làm VTPT


B.

3x − 2y + z − 12 = 0

M

D.

3x − 2y + z + 12 = 0
x − 2y + 3z + 3 = 0
Lời giải

Chọn C

Mặt phẳng cần tìm đi qua
có phương trình:
Câu 121.

M ( 3; −1;1)

và nhận VTCP của

∆

là

uu
r
u∆ = ( 3; −2;1)


( P)

∆
vuông góc với đường thẳng .

m = −52

C.

m = 52

D.

m = −2

Lời giải
Chọn A
∆:

Đường thẳng
Mặt phẳng

( P ) :10 x + 2 y + mz + 11 = 0

Để mặt phẳng
⇒

x − 10 y − 2 z + 2
=

r
n

.

Trang 7/66 - Mã đề 115Trang 7/66 - Mã đề 115


Câu 122. [2H3-3.9-1] (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong
Oxyz
không gian với hệ trục tọa độ
, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
x +1 y − 2 z
∆:
−
=
M ( 1; −1; 2 )
2
−1
3
phẳng đi qua
và vuông góc với đường thẳng
.
2 x − y + 3z + 9 = 0
2 x + y + 3z − 9 = 0
2 x − y + 3z − 9 = 0
2 x − y + 3z − 6
A.
. B.
. C.

là

2 ( x − 1) − 1( y + 1) + 3 ( z − 2 ) = 0

hay

làm vtpt

2 x − y + 3z − 9 = 0

Câu 123. [2H3-3.7-1] (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Trong không gian
x −1 y − 2 z − 3
=
=
2
−1
2

d:

cho đường thẳng
tuyến là:
r
n = ( 1; 2;3)
A.
.

B.

r

.

Lời giải
d:

x −1 y − 2 z − 3
=
=
2
−1
2

uu
r
ad = ( 2; −1; 2 )

Đường thẳng
có vectơ chỉ phương là
Ta có:
uuur uu
r
( P) ⊥ d
( P ) n( P ) ad = ( 2; −1; 2 )
Vì
nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
=

Câu 124. [2H3-3.7-2] (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không
Oxyz


.

Lời giải

Mặt phẳng
uu
r
ud = ( 1;1;1)

(P)

(d ) :

vuông góc với đường thẳng

x y z
= =
1 1 1

nên nhận véc tơ chỉ phương

làm véc tơ pháp tuyến, suy ra phương trình mặt phẳng
x+ y+z +D =0
( P)
D =0
, mặt khác
đi qua gốc tọa độ nên
.


.
B.
. C.
.

( ∆) :

D.

x − 2 y −1 z − 3
=
=
1
−1
1

3x + y − 2 z − 1 = 0

.

Lời giải

Ta lấy điểm

uuuu
r
 AM = ( 2; 0;3)
r
uuuu
r uuur

1
−2
1

cho đường thẳng
d
.
( T ) : x + y + 2z +1 = 0
A.
.
C.

( Q) : x − 2y − z +1 = 0

Oxyz

,

. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng

B.

.

D.

( P) : x − 2 y + z +1 = 0
( R) : x + y + z +1 = 0

.

không vuông góc với

(T)

. Do

1 −2 1
≠
≠
1 1 2

nên

r
u

không cùng

.

Trang 9/66 - Mã đề 115Trang 9/66 - Mã đề 115


Mặt phẳng
phương với

Mặt phẳng

( P)
uur


có một vectơ pháp tuyến là
. Do đó

( d)

nên

r
u

cùng

.

có một vectơ pháp tuyến là
. Do
uur
nQ
( Q)
( d)
cùng phương với
. Do đó
không vuông góc với
.

Mặt phẳng

1 −2 1
=


không cùng

.

Câu 127. [2H3-3.2-2] (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ
Oxyz
tọa độ
viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng

( α ) : x + 3 y − z + 1 = 0 ( β) : 2x − y + z − 7 = 0
,

A.

C.

x+2 y z +3
=
=
2
−3
−7
x
y − 3 z − 10
=
=
−2
−3
7


của hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình:

.

 x − z = −1
x = 2
⇒
⇔
⇒ A ( 2;0;3) ∈ d
y=0
2 x + z = 7
z = 3
 x − z = −10
x = 0
y =3⇒ 
⇔
⇒ B ( 0;3;10 ) ∈ d
 2 x + z = 10
 z = 10

.

Trang 10/66 - Mã đề 115Trang 10/66 - Mã đề 115


Vậy đường thẳng

trình chính tắc là:


=
=
=
=
1
3
−1
1
2
−1
A.
B.

C.

x − 2 y −1 z − 3
=
=
1
1
−1

x − 2 y −1 z − 3
=
=
1
2
−1

D.

r
uu
r uu
r
u =  n1 , n2  = ( 2; 2; −2 )

.

Câu 129. [2H3-3.2-2] (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, gọi

(α)

(d ) :

là mặt phẳng chứa đường thẳng

( β ) : x + y − 2z + 1 = 0

phẳng
( 0;1;3)
A.
.

(α)

x −2 y −3 z

nβ (1;1; −2)

là một VTPT của
uur
uu
r uur
⇒ nα = ud ; nβ  = (−4; 4;0)

(β)

A(2;3; 0) ∈ d ⇒ A ∈ ( α )

Trang 11/66 - Mã đề 115Trang 11/66 - Mã đề 115


Phương trình mặt phẳng
(α ) : −4( x − 2) + 4( y − 3) + 0( z − 0) = 0 ⇔ −4x + 4 y − 4 = 0 ⇔ x − y + 1 = 0

Giả sử

M ( x; y; z ) ∈ ( α ) ∩ ( β )

. Khi đó tọa độ M thỏa mãn hệ

Thay các đáp án vào hệ trên ta thấy

M (2;3;3)

.



x − 2 y −1 z − 3
=
=
1
1
−1

. D.

x − 2 y −1 z − 3
=
=
1
2
−1

.

Lời giải

( P) : x + z − 5 = 0

có vectơ pháp tuyến

( Q) : x − 2 y − z + 3 = 0

Ta có:

ur

∆
là một vectơ chỉ phương của , thì
và
ur uu
r
r
r
 n1 , n2 
u = ( 1;1; − 1)


u
Suy ra cùng phương với
. Chọn
.

Gọi

Lấy

M ( 2;1;3)

Đường thẳng

thuộc mặt phẳng

∆

đi qua


.

.

Trang 12/66 - Mã đề 115Trang 12/66 - Mã đề 115


Câu 131. [2H3-2.3-2] (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian

d:

A ( 0; − 3;1 )

Oxyz

cho điểm
và đường thẳng
d
A
đi qua
và vuông góc với đường thẳng là:
3x − 2 y + z + 5 = 0
3x − 2 y + z − 7 = 0
A.
. B.
.
C.

3 x − 2 y + z − 10 = 0



[2H3-3.7-3] (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ

∆:
cho đường thẳng

(α)

phẳng
đi qua
x + 2y + z = 0
A.
.

x +1 y − 2 z
=
=
−1
2
−3

và mặt phẳng

( P) : x − y + z − 3 = 0

,

. Phương trình mặt

( P)

(
)
(
)
∆
có VTCP
và
có VTPT là
.
ur
r r
n′ = − u; n  = ( 1; 2;1)
(α)
O
qua
và nhận
( α ) : x + 2y + z = 0
Suy ra
.
Dạng 4.3 Bài toán giao điểm (hình chiếu, đối xứng) của đường thẳng với mặt phẳng
Câu 133. [2H3-3.6-1] (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa
d:

độ Oxyz, cho đường thẳng
nào dưới đây đúng?
A.

d

x +1 y z − 5

song song với

( P) .

d

D.

nằm trong

( P) .

Lời giải
Chọn A

d

Đường thẳng

có vtcp

r
u ( 1; − 3; −1)
r
n ( 3; − 3; 2 )

( P)

Mặt phẳng
có vtpt


Câu 134. [2H3-3.6-2] (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ

∆:

x
y − 2 z +1
=
=
−2
1
3

cho đường thẳng
T = m+n
, tính giá trị của
.
T =2
T = −2
A.
.
B.
.

và mặt phẳng

C.

( P ) :11x + my + nz − 16 = 0


 m = 10
⇒
⇔
⇔
∆ ⊂ ( P)
 B ∈ ( P )
n = 4
11. ( −2 ) + 3m + 2n − 16 = 0

⇒ T = m + n = 14

.

Cách 2: Đường thẳng

∆

A ( 0; 2; −1)

đi qua
r
n = ( 11; m; n )
( P)
Mặt phẳng
có VTPT
.

có VTCP

r


∆:

, cho đường thẳng

( P ) : x + 2 y − 3z + 2 = 0

M ( 2;0; − 1)

.

B.

x − 2 y z +1
= =
−3
1
2

. Tọa độ điểm

M ( 5; − 1; − 3)

.

M

. Gọi

M

là nghiệm của hệ:

x − 2 y
 −3 = 1

 y z +1
 =
x + 3y = 2
 x = −1
2
1


⇔ y =1
 x + 2 y − 3 z + 2 = 0 ⇔ 2 y − z = 1
 x + 2 y − 3 z = −2
z = 1





.

Câu 136. [2H3-3.7-2] (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không
gian
là:

A.


Lời giải

lên mặt phẳng
AH :

lên mặt phẳng

.

1 1 1
 ; ; ÷
2 4 4
D.
.

(α) : x + y + z = 0

. Khi đó:

x − 3 y − 2 z +1
=
=
1
1
1

là vectơ chỉ phương suy ra phương trình
H ∈ AH ⇒ H ( 3 + t; 2 + t; − 1 + t )
Do
.

.

( P) : x − y + z + 2 = 0
B.

( −1; 0;1)

có tọa độ là

.

C.

( −2; 2; 2 )

.

D.

( 1; 0; −1)

.

Lời giải
d
v
M

M'
P

là hình chiếu của điểm

( P) : x − y + z + 2 = 0
⇒ M ′ = d ∩ ( P) ⇒

M ( −1;0;3)

theo phương véctơ

r
v = ( 1; −2;1)

.

tọa độ

M′

là nghiệm của hệ phương trình:

 x = −1 + t
 x = −1 + t
 x = −2
 y = −2t
 y = −2t
y = 2



⇔

3
1
1

A. .

là điểm
2
B. .

M ( x0 ; y0 ; z0 )

( P ) : 3x + 5 y − z − 2 = 0

. Giá trị tổng
5
C. .
Lời giải

x0 + y0 + z0

và đường thẳng

bằng
−2
D.
.

Trang 16/66 - Mã đề 115Trang 16/66 - Mã đề 115


d: y = 2 + t .
 z = 3+ t


A ( 1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3 )
mặt phẳng
A. -7.

gian

hệ

Gọi

tọa

độ

M ( a; b; c)

,

cho

3

điểm

là tọa độ giao điểm của d và



.

là tọa độ giao điểm của của d và mặt phẳng

−t 2 + t 3 + t
+
+
=1⇔ t = 6
1
2
3

suy ra

a = −6

b = 8
c = 9


( ABC ) .

.

S = −6 + 8 + 9 = 11.

Câu 140. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

( P ) : 6 x − 2 y + z − 35 = 0

OA′ = 186

D.

A

, cho mặt
qua

( P)

,

OA′ = 3 26

Lời giải
Chọn C
+

A′

đối xứng với

A

qua

( P)

nên

và mặt phẳng

( P)

⇒ H ( −1 + 6t ;3 − 2 t;6 + t )

⇒ 6 ( −1 + 6t ) − 2 ( 3 − 2t ) + 1( 6 + t ) − 35 = 0

⇔ 41t − 41 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H ( 5;1;7 )

+

A′

đối xứng với

A

qua

( P)

nên

H

là trung điểm của

AA′


−
3


 x = −3
 x = −3




 y = −5 + 2t
 y = −6 − t
 y = −5 − t
 y = −5 + t
z = 3 − t
 z = 7 + 4t
 z = −3 + 4t
 z = 3 + 4t




A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Đường thẳng
Gọi

( P) : x + 3 = 0

.

r r

và có VTPT là

[ nP ; ud ] = ( 0; 4;1)

.

Phương trình hình chiếu vuông góc của

d

trên mặt phẳng

( P)

là

Trang 18/66 - Mã đề 115Trang 18/66 - Mã đề 115


 4 y + z + 17 = 0

x + 3 = 0

Cách 2: Ta có


d ′ :  y = −5 − t
 z = 3 + 4t


So sánh với các phương án, ta chọn D là đáp án đúng.
Câu 142. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( P) : x + y + z − 3 = 0
( P)

A.

C.

d:
và đường thẳng

có phương trình là
x −1 y −1 z −1
=
=
1
4
−5

x +1 y +1 z +1
=
=
−1

−2
−1
Lời giải

Chọn A
Gọi

M

là giao điểm của

Tọa độ của
Lấy điểm

M

d

với

( P)

là nghiệm của hệ:

N ( 0; −1; 2 ) ∈ d

.

x + y + z = 3 x = 1
x + y + z − 3 = 0

r
n = ( 1;1;1)

r
n = ( 1;1;1)

.

làm vec tơ chỉ phương.

x y +1 z − 2
=
=
1
1
1
Trang 19/66 - Mã đề 115Trang 19/66 - Mã đề 115


Gọi

N′

là giao điểm của

N′

Tọa độ của

∆

 2 1 8
N′ ; − ; ÷
 3 3 3
uuuur  1 4 5 
1r
MN ′ =  − ; − ; ÷ = − u ( 1; 4; −5 )
3
 3 3 3

Đường thẳng cần tìm đi qua điểm

có phương trinh

x −1 y −1 z −1
=
=
1
4
−5

Câu 143. [2H3-3.2-2] Trong không gian

d:

x +4 y - 3 z - 2
=
=
3
- 6
- 1

và đường thẳng

đối xứng với đường thẳng

d

qua

.

x
y +5 z - 4
=
=
11 - 17
- 2
x
y- 5 z- 4
=
=
11 - 17
- 2

. B.

. D.

x
y - 5 z +4
=


có vectơ pháp tuyến

(α)

là

I

thì

r
n ( 2;1;1)

I ( −22;39;8 )

là đường thẳng đi qua

A

.

.

(α)
và vuông góc với

.

Trang 20/66 - Mã đề 115Trang 20/66 - Mã đề 115

d

đối xứng với đường thẳng

vectơ chỉ phương
Câu 144.

qua

A

∆

 x = −4 + 2t

y = 3+t
z = 2 + t


AA ' ⇒ A ' ( 0;5; 4 )

qua mặt phẳng

uuur
A ' I = ( 22; −34; −4 ) = 2 ( 11; −17; −2 )

(α)

.
.


lên mặt phẳng
 5 
M ′  2; ;3 ÷
M ′ ( 1;3;5 )
 2 
A.
.
B.
.

.
5 3
M ′  ; 2; ÷
2 2
C.
.

D.

M ′ ( 3;1; 2 )

.

Lời giải
Chọn C
Gọi

⇒



M′ = ∆ ∩(α )

.

.

5 3
M ′  ; 2; ÷
2 2
Vậy
.

Câu 145. [2H3-6.17-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Trong
không gian

Oxyz

, điểm

( α ) : 2x + y + 2z − 3 = 0

M′

đối xứng với điểm

M ( 1; 2; 4 )

qua mặt phẳng



MM ′

(α)

có vectơ pháp tuyến là

vuông góc với mặt phẳng

(α)

Gọi

là giao điểm của đường thẳng

H ∈ MM ′ ⇔ H ( 1 + 2t ; 2 + t; 4 + 2t )

.

nên đường thẳng

MM ′

phương. Phương trình đường thẳng

H

r
n = ( 2;1; 2 )


M′

đối xứng với điểm

M

qua mặt phẳng

(α)

H

nên

là trung điểm của

.

MM ′ ⇒ M ′ ( −3;0;0 )

.

Câu 146. [2H3-3.3-3] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không

gian

Oxyz

, cho điểm


1
−1

và mặt phẳng

thỏa mãn đường thẳng

( −3;8; −3)

D.

AB

vuông góc

(0;3; −2)

Lời giải
Chọn D
AB

d

M ( 1 + 2m; −1 + m; 2 − m ) ∈ d

Ta gọi
cắt tại điểm
uuuu
r
AM ( 2m; m − 3;3 − m )

A

nhận

. Gọi

r
r 1 uuuu
u = AM = ( 1; −1;1)
2

là VTCP, ta có phương trình

AB

là

B ( 1 + t ; 2 − t ; −1 + t ) ∈ AB

B ∈ ( P ) ⇒ 1 + t + 2 − t + 2(−1 + t ) + 1 = 0 ⇒ t = −1

. Vậy

B (0;3; −2)

.

Câu 147. [2H3-3.2-3] (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho

mặt phẳng

−1
A.
B.
d

của

C.

x −1 y −1 z −1
=
=
1
4
−5

D.

x −1 y − 4 z + 5
=
=
1
1
1
Lời giải

Chọn C
Gọi

M



.

Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
Gọi

∆

là đường thẳng đi qua

∆:
Phương trình đường thẳng
Gọi

N′

là giao điểm của

∆

N

( P)

và nhận

là:

r


2

x = 3
x + y + z = 3 
x + y + z − 3 = 0
1



⇔ y = −
 x y +1 z − 2 ⇔ x − y = 1
3
 1 = 1 = 1
 x − z = −2


8

z = 3


 2 1 8
N′ ; − ; ÷
 3 3 3
uuuur  1 4 5 
1r
MN ′ =  − ; − ; ÷ = − u ( 1; 4; −5 )
3
 3 3 3

2
1
−1

( P) : x + y + z + 2 = 0
M
cho đường thẳng
, mặt phẳng
. Gọi
là
( P)
( P)
d
d
∆
M
giao điểm của và
. Gọi
là đường thẳng nằm trong
vuông góc với
và cách
Oxyz

42
∆
một khoảng
. Phương trình đường thẳng là
x −5 y + 2 z + 4
x −1 y + 1 z + 1
=

ad = (2;1; −1) ∆
( P)
có véc tơ pháp tuyến là
. có véc tơ chỉ phương
. có véc tơ chỉ
r
r r
a∆ = [ ad , nP ] = (2; −3;1)
N ( x; y; z )
M
∆
phương
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên , khi đó
MN = ( x − 1; y + 3; z )
.
uuuu
r uur
 MN ⊥ a∆
2 x − 3 y + z − 11 = 0


 N ∈ ( P) ⇔  x + y + z + 2 = 0
2
2
2


( x − 1) + ( y + 3) + z = 42

=
2
−3
1

, ta có

.
.

Câu 149. [2H3-2.3-3] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ
r
u = ( 1; 0; - 2)
d1
Oxyz
tọa độ
, cho đường thẳng
có véctơ chỉ phương
và đi qua điểm
d2 :

M ( 1; - 3; 2)
,
thẳng
A.

d1

- 42



11

cách đều hai đường

bằng

.

D.

20

.

Lời giải
r
v = ( 1; - 2;3)

N ( - 3;1; - 4)
Đường thẳng
có véctơ chỉ phương
và đi qua điểm
r r
r uuu
r r uuuu
r
r
év, u ù= ( 4;5; 2) ¹ 0 u
év, u ù.MN =- 16 + 20 - 12 =- 8 ¹ 0


d1

và

d2

( P)
nên

nhận

I ( - 1; - 1; - 1)
vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm

của đoạn

r r
év, u ù= ( 4;5; 2)
ê
ë ú
û

làm một

MN

( P ) 4 ( x +1) + 5 ( y +1) + 2 ( z +1) = 0 Û 4 x + 5 y + 2 z +11 = 0
Suy ra phương trình của


và
x +1 y + 5 z - 5
=
=
3
4
2
A.

N

sao cho

A

d

( P)
và mặt phẳng

lần lượt có phương trình

A( 2; - 1;3)
, điểm

. Phương trình đường thẳng

D

cắt