Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ
Câu 1.

Câu 2.

A  1;1;  2 
(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
u
u
u
r
B  2; 2;1
. Vectơ AB có tọa độ là
 1;  1;  3
 3;1;1
 1;1;3
 3;3;  1
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C
uuur
uuu
r
AB   2  1; 2  1;1   2  
AB   1;1;3
hay
.

A  2; 4;3
(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
B  2; 2; 7 

. Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
 4; 2;10 
 1;3; 2 
 2;6; 4 
 2; 1;5
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
� x A  xB
�xI  2  2
�
y A  yB
�
 1
�yI 
2
�
� z A  zB
�zI  2  5
I
AB
I

Lời giải
Chọn B
D  x;0;0  �Ox
Gọi

Trang 1/55 - Mã đề 161


AD  BC �
Câu 5.

Câu 6.

 x  3

2

x0
�
 16  5 � �
x  6.
�

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
uuur
A  1;1;  1
B 2;3; 2 
và 
. Vectơ AB
có tọa độ là

D.

 2;0; 0  .

Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm
Câu 7.

M  2;1;  1

 0;1;0  .
trên trục Oy có tọa độ là

(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm

A  2; 2;1

. Tính độ dài đoạn thẳng OA .

A. OA  5

B. OA  5

C. OA  3
Lời giải

D. OA  9

Chọn C
OA  22  2 2  12  3 .

trên trục Oz có tọa độ là

A  3; 2;3
B  1; 2;5 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ
trung điểm I của đoạn thẳng AB .
I  1;0; 4 
I  2;0;8 
I  2; 2; 1
I  2; 2;1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
A  3; 2;3
B  1; 2;5 
Tọa độ trung điểm I của đoạn AB với
và
được tính bởi

Trang 2/55 - Mã đề 161


Lời giải

2;1;0 

.

D.

 0;0;  1 .

Chọn D
Hình chiếu vuông góc của điểm

M  2;1;  1

0;0;  1
trên trục Oz có tọa độ là: 
.

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

AB cắt mặt phẳng
AM
3
A. BM

 Oxz 

AM
tại điểm M . Tính tỉ số BM .

�
�
��
3  3k � �
1  k
uuuu
r
uuu
r
�z  1  k
�z  0 � M  9;0;0  .
A, B, M thẳng hàng � AM  k . AB  k ��
�
�
uuuu
r
uuuu
r
BM   14;  6;  2  ; AM   7;  3;  1 � BM  2 AB.
Câu 12.

;

uuur
AB   7;3;1 � AB  59

và

A  3; 1;1
(ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm


.

[2H3-1.1-1] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không
r
r
r
a  1; 2;3 ; b  2; 2; 1 ; c  4;0; 4 
Oxyz
gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vecto
. Tọa độ của vecto
r r r
r
d  a  b  2c là
r
r
r
r
d  7;0; 4 
d  7;0; 4 
d  7;0; 4 
d  7;0; 4 
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Trang 3/55 - Mã đề 161


Chọn B
 Xét đáp án A:

r r
a  b   3; 3; 3

đúng.
r
r
a  2  1; 1; 2  �b   1; 1;1

 Xét đáp án B:
Đáp án B sai.

r
r
. Suy ra a và b không cùng phương.

Câu 15.

[2H3-1.1-1] (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian Oxyz , cho hai
uuu
r
A  0;1;  1  B  2;3; 2 
điểm
,
. Vectơ AB có tọa độ là
 2; 2;3 .
 1; 2;3 .
 3;5;1 .

.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
A  3; 2;3
B  1; 2;5 
Cho hai điểm
và
.
�x A  xB 3   1

1
�
2
2
�
�y A  yB  2   2

0
�
2
� 2
�z A  zB 3  5
� 2  2 4
� I  1;0; 4 
Trung điểm I có tọa độ: �
.

a   2; 3;3 b   0; 2; 1 c   3; 1;5 
Oxyz
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
,
,
. Tìm
r
r
r
r
tọa độ của vectơ u  2a  3b  2c .
10; 2;13
2; 2; 7 
2; 2;7 
2; 2; 7 
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Lời giải
r
r r
r
r
r


I  2; 1; 3 

.

D.

I  2;1;3

.

x A  xB
�
x

2
I
�
2
�
y A  yB
�
 1 � I  2;1;3
�yI 
2
�
� z A  zB
�z I  2  3
Ta có �
.

x+ y =

11
5 .

.

�
3
�
x =�
x +1 y - 2 1 �
5
�
=
= ��
� x + y =1
�
8
2
2
5
�
uuu
r uuur
y=
�
�
A, B, C thẳng hàng � AB, AC cùng phương
� 5

r r r
r
r
a  i  2 j  3k � a  1; 2; 3 

Câu 22.

C. 
Lời giải

2; 1; 3

.

D.

 3; 2; 1 .

.

[2H3-1.1-1] (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian cho hệ trục toạ độ

Oxyz , cho ba điểm A  1; 2;3 , B  1; 2;5  , C  0;0;1 . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác
ABC .

Trang 5/55 - Mã đề 161


A.


3
�
y A  y B  y C 2  2  0
�

 0 � G  0;0;3
�yG 
3
3
�
z A  z B  zC 3  5  1
�

3
�zG 
3
3
�
Câu 23.

[2H3-1.1-1] (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
r
r
r
r
r r r
a   2;  3; 3 b   0; 2;  1 c   3;  1; 5 
cho
,
,

A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải

D.

I  2;1;3

.

Tọa độ trung điểm I của AB là

� 1 3
�xI  2  2
�
� 3 1
 1 � I  2;1;3 .
�y I 
2
�
� 24
�zI  2  3
�
Câu 25.

[2H3-1.1-1] (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Trong không

�
y A  yB 5  3
�

 1 � M  1;1; 2 
�yM 
2
2
�
z A  zB 2  2
�
�zM  2  2  2
Trung điểm M có tọa độ là �
.
Câu 26.

[2H3-1.1-1] (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa
r
u
r
r r
u
r
x   2;1; 3
y   1;0; 1
Oxyz
a

x


r
a  x  2 y   2  2;1  0; 3  2    4;1; 5 
.

Câu 27.

[2H3-1.1-1] (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Trong không gian
Oxyz , cho hai điểm A  2; 4;3 và B  2; 2;7  . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

 2; 1; 5 .
 2; 6; 4  .
C.
D.
Lời giải
x A  xB 2  2
�
�xM  2  2  2
�
y A  y B 4  2
�

 1
�yM 
2
2
�
z A  zB 3  7
�
�zM  2  2  5
� M  2; 1;5 .

.

,

C  3;1; 2 

C.

D  4;  2;9 

. Tìm tọa độ điểm D sao cho
.

D.

D  4; 2;  9 

.

Lời giải
Gọi

D  x; y; z 

. Để ABCD là hình bình hành

�x  4
uuu
r uuur
�

Tọa độ trọng tâm G là
� 1 2  3
2
�xG 
3
�
3 1  1
�
 1 � G  2;1; 2  .
�yG 
3
�
402
�
2
�zG 
3
�
Câu 30.

[2H3-1.1-1] (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong

A  5; 2;0  , B  2;3;0  C  0; 2;3
không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết
,
.
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
 1; 2;1 .
 2;0; 1 .
 1;1;1 .

1
�z 
�z 
3
3
�
�
.
Câu 31.

[2H3-1.1-1] (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Trong không gian
uuu
r
Oxyz , cho A  2; 1;0  và B  1;1; 3 . Vectơ AB có tọa độ là

A.

 3;0; 3 .

B.

 1; 2; 3 .

A  2; 1;0  B  1;1; 3
,
uuu
r
� AB   1  2;1  1; 3  0    1; 2; 3
Câu 32.



C.
Lời giải

D  0;0;1

.

uuur uuur
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ AD  BC .
uuur
uuur
AD   x  1; y ; z 
BC   1;0;1
Ta có
và
.

Trang 8/55 - Mã đề 161

.

D.

D  0; 2;1

.


Suy ra x  0; y  0; z  1 .

M  3; 4; 0 
P  2;0;3
Q  2;0;0 
N  0; 4; 1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
 Oyz  có phương trình là x  0 � N  0; 4; 1 � Oyz  .
Mặt phẳng tọa độ
Câu 35.

[2H3-1.1-1] (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong
rr r
Oxyz
không gian
với i, j , k lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Tính tọa độ
r r r
của vecto i  j  k .
r r r
r r r
r r r
r r r
i


D. i  j  k  (1; 1;1).
Lời giải
r
r
r
Ta có i  (1; 0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1).
r r r
Do đó, i  j  k  (1;1; 1).

Câu 36.

[2H3-1.1-1] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục
tọa độ Oxyz cho
độ M �
.

 Oyz  là M �
. Hình chiếu của M xuống mặt phẳng
. Xác định tọa

M�
 4;0;0 .
C.
Lời giải
M  4;5;6
 Oyz  là M �
 0;5;6 .
Hình chiếu của
xuống mặt phẳng


 x; y ;  z  .
A. Nếu M �
đối xứng với M qua mặt phẳng
M�
 x; y ;  z  .
B. Nếu M �
đối xứng với M qua Oy thì
 Oxy  thì M �
 x; y ;  z  .
C. Nếu M �
đối xứng với M qua mặt phẳng
M�
 2 x;2 y;0  .
D. Nếu M �
đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì
Lời giải
 Oxz  thì M �
 x;  y; z  . Do đó phương án A sai.
Nếu M �
đối xứng với M qua mặt phẳng
Trang 9/55 - Mã đề 161


M�
  x; y;  z  . Do đó phương án B sai.
Nếu M �
đối xứng với M qua Oy thì
M�
  x;  y;  z  . Do đó phương án D sai.
Nếu M �

r r r
r
u  2i  3 j  k � u   2;3; 1
Do đó,
.

Câu 39.

[2H3-1.1-1] (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz ,

M  1;  2; 2 
N  1; 0; 4 
cho 2 điểm
và
. Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng MN là:
 1;  1;3 .
 0; 2; 2  .
 2;  2;6  .
 1;0;3 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Gọi I là trung điểm MN . Ta có:
� xM  xN 1  1

1
�xI 
2

a   1; 2;1
cho
và
. Vectơ c  2a  b có tọa độ là
A.

 1;7;2 .

B.

 1;5;2 .

r
r
r r
c   c1 ; c2 ; c3 
Có c  2a  b , gọi

 3;7;2 .

C.
Lời giải

D.

 1;7;3 .

�
c1  2.1   1  1
�

 8; 2  .


Chọn

A.

� x A  x B 3  5
x 

1
�
�I
2
2
�
�y  y A  yB  4  6  5
I
� I  1;5 
2
2
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khi đó ta có: �
.
Câu 42.

[2H3-1.1-1] (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

r
r
r

a
�, b �  2; 6; 1

Vậy chọn đáp án D
Câu 43.

[2H3-1.1-1] (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không
r
r r r
r
Oxyz
a


i  2 j  3k . Tọa độ của vectơ a là:
gian với trục hệ tọa độ
, cho
r
r
r
r
a  1; 2; 3
a  2; 3; 1
a  3; 2; 1
a  2; 1; 3
A.
.
B.
.
C.

2; 1;6 



2 2 �.
�
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C
� x A  xB 2  2
�xI  2  2  2
�
y A  yB 4  2
�

 1
�yI 
2
2
�
� z A  zB 3  9
�z I  2  2  6
� I  2; 1;6 
Gọi I là trung điểm của đoạn AB . Ta có �

A  1;5; 2 
B  3;  3; 2 
gian Oxyz , cho hai điểm
và
. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng
AB là
A.

M  1;1; 2 

B.

M  2; 2; 4 

C.
Lời giải

M  2;  4;0 

D.

M  4;  8;0 

Chọn A
x A  x B 1  3
�

1
�xM 
2

. Tìm
để các vectơ , b
cùng hướng.
3
4
m  7; n  
m  7; n  
4.
3.
A.
B. m  4; n  3 .
C. m  1; n  0 .
D.
Lời giải

�
�k  2
�2  k
�
�
 k  0  � �m  1  3k � �m  7
�
�
3
3
3  k  2n 
r
ur
�
r r

B  5; 3; 7 

. Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của

.
.
Lời giải

B  xB ; y B ; z B 
Giả sử
.
Vì M là trung điểm của AB nên ta có:
x A  xB
�
� 1  x B
2
�xM  2
�
2
�xB  5
�
�
y A  yB
�
� 5  yB
�
��
1
� �y B  3
�yM 

Chọn D
Gọi D ( xD ; yD ; z D ) cần tìm
uuur uuur
Tứ giác ABCD là hình bình hành � AB  DC
2  1  3  xD
�xB  x A  xC  xD
�
�xD  4
�
�
�
� �yB  y A  yC  yD � �
1  2  5  yD � �yD  8
�z  z  z  z
�
�
3  (1)  1  zD
C
D
�
�zD  3 .
�B A
Suy ra: D(4;8; 3) .

Câu 50.

D. D (4;8; 3)

[2H3-1.1-2] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không


�
�
�
�
�
A.
B.
.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
E x; y; z 
Gọi 
uuu
r
uuu
r
CE   x  7; y  4; z  2  2 EB   2  2 x; 4  2 y ; 6  2 z 
Ta có:
;

�
�x  3
�x  7  2  2x
�
uuu
r
uuu
r

Lời giải
Chọn D
� 1 2  a
1
�
3
�a  0
�
� 3  4  2
�
c
��
b 1
�
3
�
�
c  3
�
� 35b
3
�
3
�
Trang 13/55 - Mã đề 161


Vậy a  b  c  2
Câu 52.


�x  4
x  2 y  1 4


��
3
4
2
�y  7 .

[2H3-1.1-2] (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho

A  1; 2; 3  B  2;5;7  C  3;1; 4 
tam giác ABC với
,
,
. Điểm D để tứ giác ABCD là hình bình
hành là
� 8 8�
D�
0; ; �
D  6;6;0 
D  0;8;8 
D  4; 2; 6 
3 3�
�
A.
B.
C.
D.

0; 2; 3
1; 2; 3
 1; 2; 3 .
 1; 2;3 .
A. 
.
B. 
.
C.
D.
Lời giải
 Oyz  � H  0; 2; 3
Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng
M  1; 2; 3
 Oyz 
Gọi M ' là điểm đối xứng với
qua mặt phẳng
� H là trung điểm của MM ' � M '  1; 2; 3 .
Câu 55.

[2H3-1.1-2] (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho tam giác

ABC có A  1; 2;0  , B  2;1; 2  , C  0;3; 4  . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình
bình hành.
1;0; 6 
 1;6; 2  .
 1;0;6  .
 1;6; 2  .
A. 
.

[2H3-1.1-2] (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Trong không

A  3;1;  2  B  2;  3;5
gian Oxyz , cho hai điểm
,
. Điểm M thuộc đoạn AB sao cho
MA  2 MB , tọa độ điểm M là
17 �
�7 5 8 �
�3
;  5; �
� ; ; �
�
4;5;

9

.
 1; 7;12  .
2 �.
A. �3 3 3 �.
B.
C. �2
D.
Lời giải
M  x; y; z 
Gọi
. Vì M thuộc đoạn AB nên:

� 7

Câu 57.

[2H3-1.1-2] (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ

A  0;1; 2 
B  3; 1;1
trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ điểm M sao cho
uuuur uuu
r
AM  3 AB .
A.
C.

M  9; 5;7 

.

M  9;5; 7 

Gọi

M  x; y; z 

B.
.

D.



Câu 58.

.

[2H3-1.1-2] (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz ,

A  2;  2;1 B  0;1; 2 
Oxy 
cho hai điểm
,
. Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 
sao cho ba
điểm A , B , M thẳng hàng là
M  4;  5;0 
M  2;  3;0 
M  0;0;1
M  4;5;0 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
uuu
r
uuuu

r r r r
Oxyz
u

2
i  2 j  k , v   m;2; m  1 với m là tham số thực. Có bao
tọa độ
cho các véc tơ
r r
u
v
nhiêu giá trị của m để
.
B. 1 .

A. 0 .
Ta có

C. 2 .
Lời giải

r
u   2;  2;1

Khi đó

r
2
u  22   2   12  3



[2H3-1.1-2] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục
uuu
r
A  1; 2; 1 , AB   1;3;1
Oxyz
tọa độ
, cho hai điểm
thì tọa độ của điểm B là:
B  2;5;0 
B  0; 1; 2 
B  0;1; 2 
B  2; 5;0 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Gọi

B  x; y; z 

�x  2
�
� �y  5 � B  2;5;0 
uuu
r

Ta có
;
;
.
uuuu
r
uuur uuur uuur uuuu
r
�
�
AC
  a; 2a;2a 
 AC �
Theo quy tắc hình hộp ta có AB  AD  AA�
.
uuur
2
2
AC  AC  a 2   2a    2a   3 a
Suy ra
.
Trang 16/55 - Mã đề 161


Vậy độ dài đoạn thẳng
Câu 62.

AC �
3a


. Do đó
.
Câu 63.

A  3;1;0  B  0; 1;0  C  0;0; 6 
[2H3-1.1-2] Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,
,
. Nếu
uuur uuur uuuu
r r
B C có các đỉnh thỏa mãn hệ thức A�
B C có tọa
A  B�
B  C�
C  0 thì tam giác A���
tam giác A���
độ trọng tâm là
 3; 2;0  .
 2; 3;0  .
 1;0; 2  .
 3; 2;1 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
uuu
r uuur uuur r
G  1; 0; 2 

GB

GC

GC
0
Ta có:
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuuu
r
uuur uuur uuuu
r r
� GA  GB  GC  GA�
 GB�
 GC �� GA�
 GB�
 GC �
0.
BC .
� G là trọng tâm của tam giác A���

B C là  1;0; 2  .
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác A���
Câu 64.

[2H3-1.1-2] (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian

Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết A   1;0;1 , B   2;1; 2  và D   1;  1;1 . Tọa độ
điểm C là
2; 0; 2 

và
�x  1  1 �x  2
�
�
�y  1  1 � �y  0
�z  1  1 �z  2
�
Suy ra �
2; 0; 2 
Vậy tọa độ điểm C là 
.

Trang 17/55 - Mã đề 161


Câu 65.

[2H3-1.1-3] (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ
�8 4 8 �
B� ; ; �
A  1; 2;  2 
I  a; b; c 
tọa độ Oxyz, cho hai điểm
và �3 3 3 �. Biết
là tâm của đường tròn
nội tiếp tam giác OAB . Giá trị a  b  c bằng

A. 1

B. 3

r
uuur
12 12 �
�
3 uuur uuur 4.OA  3.OB
D� ; ; 0�
DA   DB � OD 
�.
4
7
. Do đó �7 7
uuur �5
2 �
15
AD  � ;  ; 2 �� AD 
7 �
7 .
�7
Ta có
uur
uur 7 uuur
AD uur
5 uur
ID  
.IO   IO � OI  OD � D  1; 1; 0 
AO
7
12
Do đó a  b  c  0 .


Vậy MI  MJ  MK  2 . Khi đó M thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp đáy IJK và cách

 IJK  một khoảng không đổi là

Trang 18/55 - Mã đề 161

2 . Khi đó có hai điểm M thỏa mãn điều kiện trên.


Dạng 2. Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng
Dạng 2.1 Tích vô hướng và ứng dụng
Câu 67.

Oxyz
(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
r
r
r r
a   2;1;0 và b   1;0; 2 . Tính cos a,b .
r r
r r
r r
r r 2
2
2
2
cos a,b  
cos a,b  
cos a, b 


 

 

Câu 68.

(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm
M  2;3;  1

,

N  1;1;1

A. m  2

và

P  1; m  1; 2 

B. m  6

Chọn C
uuuu
r
uuur
MN  3; 2; 2  ; NP  2; m  2;1

.


C.
D.
Lời giải
Chọn B
uuur
uuur
AB


3;

5
AC   2;  2  .


Ta có:
,
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB.AC 3.2  5.2
1
cos A  cos AB; AC 


AB.AC
34.2 2
17 .
Khi đó:





rr
1.  3  0.0  0.1
i.u 
2
r r r r
2
2
cos i, u
i . u 1.  3  0  1

 





r r
 3
� i, u  150�
= 2
.

 

Trang 19/55 - Mã đề 161


Chọn D

rr
r r
a.b
cos a ; b  r r 
a. b



Ta có:
Câu 72.



3.5  4.0  0.12

 3

2

 42  02 . 52  02  122



3
13

.


 



 

Câu 73.

[2H3-1.2-1] (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019)
r
r
u

3;0;1
v
  2;1;0 


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ
và
. Tính tích vô
rr
hướng u.v .
rr
rr
rr
rr
A. u.v  8 .
B. u.v  6 .
C. u.v  0 .

cos  r r 
�  1500
2
i.u
.







Câu 75.

0

D. 150 .



[2H3-1.2-2] (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không
�
gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;3) B(0;3;1) , C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC là
9
9
9
9


35 .

[2H3-1.1-2] (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz
A 5;1;5  ; B  4;3; 2  ; C  3; 2;1
I a; b; c 
cho các điểm 
. Điểm 
là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC . Tính a  2b  c ?

A. 1 .

B. 3.

D. 9.

C. 6.
Lời giải

uuu
r
�
uuu
r uuur
AB
�   1; 2; 3
� AB.BC  0 �
�uuur
BC   7; 5; 1
Ta có �
tam giác ABC vuông tại B .
� tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC .

Chọn C
uuu
r
uuur
AB   1; 0;1 , AC   1; 1;1 �  1 .1  0.1  1.1  0 � AB  AC
Ta có:
.
Nên diện tích tam giác ABC là
Câu 78.

S

1
6
AB. AC 
2
2 .

[2H3-1.2-2] (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian
r
r
u   1;1; 2  , v   1;0; m 
Oxyz
với hệ tọa độ
, cho véc tơ
. Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa
r r
u , v bằng 45�.
A. m  2 .


2
2 � 3  m  1  1  2m

� 1
�m �
1  2m �0
�
�� 2
�� 2
�m 2  4m  2  0 � m  2  6
3m  3  1  4m  4m2
�
�
.

Trang 21/55 - Mã đề 161


Dạng 2.2 Tích có hướng và ứng dụng
Câu 79.

(ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện
ABCD biết A  3;  2; m  , B  2; 0; 0  , C  0; 4; 0  , D  0; 0;3 . Tìm giá trị dương của tham số
m để thể tích tứ diện bằng 8.
A. m  8 .
B. m  4 .
C. m  12 .
D. m  6 .
Lời giải
uuu



�
�
m6 .
6�
6
�

Thể tích tứ diện:
Vì m dương nên m  6. Do đó chọn
Câu 80.

D.

[2H3-6.0-1] (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz ,
cho bốn điểm A(1;  2;0) , B (2;0;3) , C ( 2;1;3) và D(0;1;1) . Thể tích khối tứ diện ABCD
bằng:
A. 6 .

B. 8 .

C. 12 .
Lời giải

D. 4 .

uuu
r
uuur

u
u
u
r
u
u
u
r
1
1
VABCD  �
AB, AC �
. AD  24  4
�
�
6
6
.

Câu 81.

[2H3-1.1-2] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không
r r
r
r
�
u
, v � 14
u   1;1; 2  , v   1; m; m  2 
gian với hệ tọa độ Oxyz , cho


 m  2

2

 m 2   m  1  3m 2  6m  5
2

m 1
�
 14 � 3m2  6m  5  14 � 3m2  6m  9  0 � �
m  3 .
�

[2H3-1.1-2] (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không
gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có A  2; 1;1 , B  3;0; 1 , C  2; 1;3  ,
D �Oy và có thể tích bằng 5 . Tính tổng tung độ của các điểm D .
A. 6
B. 2
C. 7
D. 4
Lời giải
Chọn
A.

Trang 22/55 - Mã đề 161


uuur
uuur

�  1  2 y;5; y  3
Khi đó �
2 y  6  30
�
�y  12
1 uuur uuur uuur
VABCD  �
DA, DB �
.DC  5 � �
��
�
�
2 y  6  30
6
�
�y  18 .
Và
Vậy y1  y2  12  18  6 .
Câu 83.

[2H3-1.2-2] (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,
r
r
a   1; 2;3
b   1;1; 1
cho
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
r r
r r

2

  2  1   3  1  4  1  4  3
2

2

rr
a.b  1.1   2  .1  3.  1  1  2  3  4
r r r
a b  u 

 1  1

2

(đúng).

(đúng).

  2  1   3  1  0  9  16  5
2

2

(đúng).

r r
�2 3 3 1 1 2 �
�

uuur
AB
, AC �
= ( 5;1; 2)
AB = ( 0; 2; - 1) ; AC = ( - 1;1; 2) ; AD = ( - 3; m + 2; n) �
�
;�
uuur uuur uuur
�
�
AB, AC �
. AD = 0 � m + 2n = 13
�
�
Bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng
Câu 85.

[2H3-1.2-2] (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không

A  1;0; 1 , B  1; 1; 2 
gian Oxyz, cho hai điểm
. Diện tích tam giác OAB bằng
A. 11.

6
.
B. 2

uuu
r uuu

2

D.

6.

.
Trang 23/55 - Mã đề 161


ur
r
ur
m   4 ; 3 ;1
n   0 ; 0 ; 1
Oxyz
Câu 86. [2H3-1.1-2] Trong không gian
, cho hai véc tơ
và
. Gọi p là
ur r
ur
ur
�
� p  15
m
,
n
�
�

ur
�
�
�
�
m
,
n
p

k
.
m
�nên
� , n �  3k ;  4k ;0  , k  0 .
Vì p là véc tơ cùng hướng với �
ur
k  3
�
p  15 � 9k 2  16k 2  15 � �
k 3 .
�
Ta có:
ur
� p   9 ;  12 ; 0 
k

0
�
k

r uuur
�
AB, AC �
�
�  6; 10; 4  .
r uuur uuur 1
1 uuu
7
V  .�
AB
, AC �
. AD  14 
�
�
6
6
3.
Thể tích khối tứ diện là:
Câu 88.

[2H3-1.4-2] (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz ,
cho bốn điểm

A  0;  2;1 ; B  1;0;  2  ; C  3;1;  2  ; D  2;  2;  1

. Câu nào sau đây sai?
B. Tam giác ACD là tam giác vuông tại A .

A. Bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng.
uuur

Ta có: �
.
uuu
r uuur uuur
� AB, AC , AD đồng phẳng hay bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng. Vậy đáp án A sai.
uuur uuur
AC. AD  3.  2   3.0   3 .  2   0 � AC  AD
Lại có
.
� tam giác ACD là tam giác vuông tại A . Vậy đáp án B đúng.
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
AB.CD  1.  5   2.  3   3 .1  14  0 � cos AB, CD  0 � AB, CD
Mặt khác:
là góc
tù. Vậy đáp án C đúng.
uuur uuur
AB  BD  14 hay AB  BD
� tam giác ABD là tam giác cân tại B . Vậy đáp án D đúng.



Trang 24/55 - Mã đề 161






.

.

D  8;7; 1
�
�
D  12; 1;3
C. �
.
Lời giải

D.

D  12; 1;3

.

uuu
r
CB   5; 2; 1
AD
//
BC
�
AD
Ta có
nhận
là một VTCP.
�x  2  5t

�


u
u
u
r
u
u
u
r
�
�
AC ; AD �
�uuur
��
�
�  4t ; t ;18t 
�
�AD   5t; 2t ; t 
Ta có

r uuur
�
1 uuu
1
�
�
S



  t    18t 

2

 12   18  
2

2

2

341
2
t 341

2

t  2 � D  8;7; 1
�
341
 341 � �
2
t  2 � D  12; 1;3
�

t
Kết hợp với

 4 


(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu

 S :

x2   y  2    z  2   8

A. R  2 2

2

2

S
. Tính bán kính R của   .

B. R  64

C. R  8
Lời giải

D. R  4

Chọn A
Trang 25/55 - Mã đề 161