NGUYỄN ðỨC TUẤN
TỰ ÔN LUYỆN THI

MÔN TOÁN
MÔN TOÁNMÔN TOÁN
MÔN TOÁN Hà nội, 1 - 2005
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
1
Chương 1: Phương trình và bất phương trình
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I. Cách giải
1) Phương trình bậc nhất: ax + b = 0, a,b
∈
IR.

xx
-
a2
b
.
•

N
ế
u
∆
> 0 ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
=
2,1
x

a2
b ∆±−
.
II. ðịnh lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm
1) ðịnh lí Viét
: N
ế
u ph

ng trình b
ậ
c hai ax
2
+ bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi
ệ
m:
Trái d
ấ
u
⇔

0
a
c
< Cùng d
ấ
u
⇔






>
≥∆
0
a
c







<−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0III. ðịnh lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam th
ứ
c b
ậ
c hai f(x) = ax
2
+ bx + c, a
≠
0 ta có

.
•

N
ế
u
∆
> 0 khi
ñ
ó f(x) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
< x
2
và
a.f(x) > 0 v
ớ
i x ngoài ]x;x[
21
.
a.f(x) < 0 v
ớ
i
21
xxx <<
.
2. ðịnh lí ñảo:

ñ
ó:
21
xx
<α<
. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
2
IV. Ứng dụng

1. ðiều kiện ñể f(x) = ax
2
+ bx + c không ñổi dấu với mọi x
f(x) > 0 v
ớ
i
∀
x







>



≥
==
⇔
0
0a
0c
0ba f(x) < 0 v
ớ
i ∀ x










<∆
<



0a
0c
0ba

2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực
α

•
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
f(x) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và
21
xx <α<
là: a.f(
α
) < 0.
•
ð
i
ề
u ki

ệ
m: α<<
21
xx ⇒







<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0

- N
ế
u α n
ằ
m bên trái hai nghi
ệ
m:
21

ệ
m phân bi
ệ
t và m
ộ
t nghi
ệ
m n
ằ
m trong, m
ộ
t nghi
ệ
m
n
ằ
m ngoài
ñ
o
ạ
n [
βα;
] là: f(
α
).f(
β
) < 0.

3. ðiều kiện ñể f(x) có nghiệm thỏa mãn x >
α





<α
>α
≥∆
2
S
0)(f.a
0

•

Tr
ườ
ng h
ợ
p 3: f(x) có nghi
ệ
m
21
xx <=α





<α
=α

hàm s
ố
y = f(x) liên t
ụ
c. Khi
ñ
ó
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể

ph
ươ
ng trình f(x) = m có nghi
ệ
m là minf(x)
≤
m
≤
maxf(x).Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
3
Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai


a.f(x) > 0 v
ớ
i x ngoài
]x;x[
21

a.f(x) < 0 v
ớ
i
21
xxx <<
Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực
αð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể

f
(x) = ax
2



>α
>∆
0)(f.a
0

α<<
21
xx

α<<
21
xx

a.f(
α
) < 0 







Ví dụ 1
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình 08mx)4m(2x
22
=+++− có 2 nghi
ệ
m d
ươ
ng.
Ví dụ 2
. Xác
ñị
nh a
ñể
bi
ể
u th
ứ
c 3a3x)1a(2x)1a(
2
−+−−+ luôn d
ươ
ng
Ví dụ 3
. Tìm m
ñể
b

ỏ
a mãn
-1<
21
xx <

Ví dụ 5
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình
01m2mx2x
22
=−+−
có nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
4xx2
21
≤≤≤−
Ví dụ 6
. Cho ph
ươ
ng trình 2m3x)2m(x
2
−+++ =0
Tìm m

ươ
ng trình 02m2m9mx6x
22
=+−+− có nghi
ệ
m 3xx
21
≤≤
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
4
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI
I. Phương trình trùng phương
0a,0cbxax
24
≠=++
(1)
ðặ
t t =
2
x
≥ 0 ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành: at

t nghi
ệ
m d
ươ
ng.

•

PT (1) có
ñ
úng 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi (2) có m
ộ
t nghi
ệ
m b
ằ
ng 0 và m
ộ
t
nghi
ệ
m d
ươ
ng.

– 1 = 0.
a)Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
b)Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
ph
ươ
ng trrình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.

Ví dụ 2.
Tìm m sao cho
ñồ
th

1) Các dạng cơ bản:
| a | = b



±=
≥
⇔
ba
0b

| a | = | b |
ba ±=⇔

| a | ≤ b



≤
≥
⇔
22
ba
0b

| a | ≥ b





– 4x + m |.

2)Phương pháp ñồ thị:
a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | khi ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x).
- Chia ñồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần ñồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và
phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành (2).
- Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị
(3).
- ðồ thị hàm số y = | f(x) | là ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) và phần ñồ thị (3) vừa
vẽ.
b) ðịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao ñiểm của ñường thẳng
nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng
chúng về một vế của phương trình rồi vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) và ñường thẳng y = h(m) rồi áp
dụng ñịnh lí trên ñể biện luận.

Ví dụ 6. Tìm m ñể phương trình | x
2
– 1 | = m
4
– m
2
+1 có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
5
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I.Các dạng cơ bản

0)x(

D
ạ
ng 3:





ϕ<
>ϕ
≥
⇔ϕ<
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f
,





ϕ≤
≥ϕ
≥
⇔ϕ≤
2

0)x(f
)x()x(f
,










ϕ≥
≥ϕ



≥ϕ
<
⇔ϕ≥
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f

Ví dụ 1
. Gi

−>−+

Ví dụ 4
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
3mxx2mx
2
−+=−

II. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không cơ bản
1) Phương pháp lũy thừa hai vế:
-
ðặ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n tr
ướ
c khi bi
ế
n
ñổ

c
ủ
a m
ộ
t b
ấ
t ph
ươ
ng trình và gi
ữ
nguyên chi
ề
u)
nếu
hai v
ế
c
ủ
a chúng
không âm.
- Chú ý các phép bi
ế
n
ñổ
i c
ă
n th
ứ
c
AA


Ví dụ 8.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x1x2x ≤+−+

Ví dụ 9
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2x21x6x8x2
22
+=−+++

Ví dụ 10
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
1x1x3x23x4x

ñẳ
ng th
ứ
c
222
bab2a)ba( +±=± , )ba)(ba(ba
22
−+=− , …
Ví dụ 11
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x2x71x10x5
22
−−≥++

Ví dụ 12.
i
ả
i ph
ươ
ng trình
47x1x7x28x
=+−+++++

Ví dụ 13

ấ
t ph
ươ
ng trình
4
x2
1
x2
x2
5
x5
++<+

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
6
Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG

I. Hệ phương trình ñối xứng loại 1
1)Khái niệm
: Là h
ệ
mà m
ỗ
i ph
ươ
ng trình không
ñổ
i khi ta thay x b
ở

ệ
.
3)Cách giải:
Bi
ế
n
ñổ
i h
ệ
ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng: H
ệ

ñ
ã cho
⇔



=
=+
Py.x
Syx
(1)
Khi

ph
ươ
ng trình (1) có hai
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t (t
1,
t
2
), (t
2
, t
1
).
N
ế
u
∆
= 0 thì ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m kép t
1
= t
2
nên h
ệ

0, y
≥
0





≥
≥
≥−=∆
0P
0S
0P4S
2

Ví dụ 1
.Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình



=+
=+
26yx






+−=+
=−++
6m4myx
m1y1x
2




=+++
−=++
m2)yx(2yx
6m5)2y)(2x(xy
22II. Hệ phương trình ñối xứng loại 2
1)Khái niệm:
Là h
ệ
ph
ươ
ng trình mà trong h
ệ
ph

thì (y
o,
x
o
) c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
.

3)Cách giải:

Tr
ừ
v
ế
v
ớ
i v
ế
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ

23






=−
=−
22
22
x4xy
y4yx








+=
+=
x
1
xy2
y
1
yx2
2

2 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
7
Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC

I. Hệ vô tỷ

Ví dụ 1.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+

ng trình





=−−+
=−++
1xyxy
2yxyx

Ví dụ 4.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+−
=−−
2yx2
2y2x

Ví dụ 5.




=++
=+
−+
22
y
x4
yx
1
x
y2
1yx
3
22
22

Ví dụ 7
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình



=−

có nghi
ệ
m



=+++
+=−
02yxxy
)xy1(ayx

Ví dụ 10
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+
=−
y10)yx(x
x3)yx(y2
22
22




=−
−=−−
180xy)yx(
11yxyx
22
22

Ví dụ 13
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





+=+
−=−
)yx(7yx
)yx(19yx
33
33


l
ượ
ng giác c
ơ
b
ả
n. Ta c
ầ
n ghi nh
ớ
b
ả
ng sau
ñ
ây:

Ph
ươ
ng trình
ð
i
ề
u ki
ệ
n có nghi
ệ
m
ðư
a v
ề

tgx = m m
ọ
i m
tgx = tg
α

α
+ k
π

cotgx = m m
ọ
i m
cotgx = cotg
α

α
+ k
π Ở
b
ả
ng trên k nh
ậ
n m
ọ
i giá tr
ị

ượ
ng giác t
ạ
i các góc
ñặ
c bi
ệ
t.
ðườ
ng
tròn l
ượ
ng giác s
ẽ
giúp ta nh
ớ
m
ộ
t cách rõ ràng h
ơ
n.