NGUYỄN
ð
Ứ
C
TU
Ấ
N
T
Ự
Ô
N
L
UY
Ệ
N
TH
I
M
Ô
N
T
O
Á
N
Hà
nộ
ư
ơ
ng
1:
Ph
ư
ơ
ng
t
rì
nh
và
b
ấ
t
ph
ư
ơ
ng
t
rì
nh
B
ậ
c nh
ấ
t : ax
+
b
=
0,
a,b
∈
IR.
•
Nếu
a
≠
0
thì
phương
≠
0
thì
phương
trình
vô
nghiệm.
• Nếu
a
=
b
=
0
thì
phương
c
=
0,
a
≠
0.
• Nếu
∆
=
b
2
–
4ac
<
0
phương
trình
- .
2a
−
b
± ∆
•
Nếu
∆
>
0
phương
trình
có
hai
nghiệm
phân
biệt
II.
a
1)
ð
ị nh lí Vié t :
N
ế
u
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
a
x
2
+
bx
+
c
=
x
1
+
x
2
=
-
a
c
v
à
P
=
x
1
.x
2
=
.
a
c
=
0,
a
≠
0
c
ó
h
ai
ngh
iệ
m
:
∆
≥
0
Tr
ái
0
∆
≥
0
Cùng
dương
⇔
c
>
0
a
∆
a
−
b
<
0
a
III.
ð
ịnh
lí
về
d
ấ
u
c
ủ
a
tam
+
c,
a
≠
0
ta
có
1.
ð
ị
nh
l
í
với
∀
x.
•
Nếu
∆
=
0
thì
a.f(x)
>
0
với
∀
x
≠
x
1
<
x
2
và
a.f(x)
>
0
với
x
ngoài
[x
1
;
x
2
]
.
Nếu
tồn
tại
số
α
sao
cho
a.f(
α
)
<
0
thì
tam
thức
α
<
x
2
.
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
ớ
i m ọi x
a
=
b
=
0
c
>
0
a
=
b
>
0
∆
<
0
f(x)
≥
0
với
∀
x
⇔
a
0
với
∀
x
⇔
c
<
0
a
<
0
⇔
c
≤
0
a
<
0
∆
≤
0
2.
So s ánh ngh i ệ m tam th
ứ
nghiệm
phân
biệt
và x
1
<
α
<
x
2
là: a.f(
α
)
<
0.
•
ð
∆
>
0
nghiệm:
a.f
(
α
)
>
0
∆
>
0
-
Nếu
α
0
S b
=
− <
a
2 2a
-
Nếu
α
nằm
bên
trái
hai
nghiệm:
S b
=
− >
a
2 2a
•
ð
iều
kiện
ñể
f(x)
có
hai
nghiệm
phân
biệt
α
).f(
β
)
<
0.
3.
ð
i
ề
u k
f(x)
có
nghiệm
x
1
<
α
<
x
2
⇔
a.f(
α
)
<
0.
2
⇔
a.f
(
α
)
>
0
S
α
<
2
f
(
α
)
=
0
α
<
2
(
Làm
tương
tự
với
trường
hợp
x
<
α
và
khi
hàm
số
y
=
f(x)
liên
tục.
Khi
ñó
ñiều
kiện
ñể
phương
trình
f(x)
=
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
2
1
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
th
ứ
c
b
ậ
c
hai
Nếu
∆
<
0 N
ế
u
∆
=
0 N
ế
u
∆
-
b
a.f(x)
>
0
v
ới
x
ngoà
i
[x
1
;
x
2
]
2a
a.f(x)
<
0
tam
th
ứ
c
b
ậ
c
hai
v
ớ
i
số
th
ự
c
α
ð
iề
u
k
iệ
b
iệt
và
α
n
ằ
m
g
iữ
a
kho
ả
ng
ha
i
ngh
iệ
m
x
1
<
α
0
a.f
(
α
)
>
0
a.f(
α
)
<
0
x
1
<
x
2
>
0
∆
>
0
a.f
(
α
)
>
0
S b
=
− <
a
ươ
ng
t
r
ì
nh
x
2
−
2(m
+
4)x
+
m
2
+
8
ñể
b
iể
u
t
h
ứ
c
(a
+
1)x
2
−
2(a
−
1)x
+
3a
ươ
ng
t
r
ì
nh
x
2
+
x
−
2
≥
m
ngh
iệ
m
ñ
úng
ì
nh
x
2
+
mx
+
2m
=
0
có
ha
i
ngh
iệ
m
x
1
ì
m
m
ñể
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
x
2
−
2mx
+
2m
2
−
1
≤
4
Ví
d
ụ
6
.
Cho
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
x
2
+
(m
+
ha
i
ngh
iệ
m
phân
b
iệt
nh
ỏ
h
ơ
n
2
Ví
d
ụ
7
.
T
=
0
có
ngh
iệ
m
lớ
n
h
ơ
n
1
Ví
d
ụ
8.
T
ì
m
2
=
0
có
ngh
iệ
m
x
≤
x
2
≤
3
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
môn
t
oán
B
ài
2
:
PHƯƠNG
TRÌNH
TRÙNG
PHƯƠNG
VÀ
PHƯƠNG
TRÌNH
CHỨA
GIÁ
TRỊ
TUYỆT
0,
a
≠
0
(1)
ð
ặt
t
=
x
2
≥
0
ph
ươ
ng
t
r
ì
có
ngh
iệ
m
kh
i
và
ch
ỉ
kh
i
(2)
có
ít
nh
ất
m
ột
và
ch
ỉ
kh
i
(2)
có
ñ
úng
m
ột
ngh
iệ
m
d
ươ
ng.
• PT
(1)
m
ột
ngh
iệ
m
b
ằ
ng
0
và
m
ột
ngh
iệ
m
d
ươ
ng.
• PT
(1)
có
ha
i
ngh
iệ
m
d
ươ
ng
phân b
iệt
.
Ví
d
ụ
1
.
Cho
ph
ươ
ng
t
r
t
r
ị
c
ủ
a
m
ñể
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh
vô
ngh
iệ
m.
b)T
ì
m
ngh
iệ
m
phân
b
iệt
.
Ví
d
ụ
2.
T
ì
m
m
sao
cho
ñồ
t
hoành
lầ
n
lượt
tại
4
ñiể
m
phân
b
iệt
A,
B,
C,
D
v
ới
1)
C ác d
ạ
ng c
ơb
ả
n:
b
≥
0
|
a
|
=
b
⇔
±b
b
<
0
|
a
|
≤
b
⇔
2 2
|
a
|
≥
b
≥
|
b
|
⇔
a
2
≥
b
2
Ví
d
ụ
1.
Giải
phương
trình |
phương
trình x
2
-
|
4x
–
5
|
<
0.
Ví
d
ụ
3.
Giải
và
trình 4|sinx|
+
2cos2x
=
3.
Ví
d
ụ
5.
Giải
và
biện
luận
bất
phương
trình
ng pháp ñồ
t h ị :
a)
Cách
vẽ
ñồ
thị
hàm
số
y
=
|
f(x)
|
khi
ñã
ra
2
phần:
phần
ñồ
thị
nằm
phía
trên
trục
hoành
(1)
và
phần
ñồ
thị
ñồ
thị
(2)
qua
trục
hoành
ñược
phần
ñồ
thị
(3).
vẽ.
-
ð
ồ
thị
hàm
phần
ñồ
thị
(3)
vừa
b)
ð
ịnh
lí:
Số
nghiệm
của
phương
trình
g(x)
=
số
y
=
g(x).
Khi
gặp
phương
trình
có
tham
số
ta
tách
riêng chúng
về
ñường
thẳng
y
=
h(m)
rồi
áp dụng
ñịnh
lí
trên
ñể
biện
luận.
Ví
d
ụ
6.
4
nghiệm
phân
biệt.
Ví
d
ụ
7.
Biện
luận
theo
m
số
nghiệm
của
phương
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
4
Tự
ôn
luyện
t
hi
d
ạ
ng
c
ơ
b
ả
n
Dạng
1:
2
n
+
1
f
(x)
=
ϕ(x)
,
3:
2
n
f
(x)
=
ϕ(x)
,
n
∈
N
*
⇔
f
(x)
≥
0
⇔
ϕ
(x)
>
0 ,
2
f
(x)
≤
ϕ
(x)
⇔
ϕ
(x)
≥
0
ϕ
(x)
⇔
ϕ
(x)
<
0
,
ϕ
(x)
≥
0
f
(x)
≥
ϕ
(x)
⇔
ϕ
(x)
≥
0
ϕ
(x)
≥
0
Giải
bất
phương
trình
Ví
d
ụ
3.
Giải
bất
phương
trình
x
2
−
2x
+
6
>
2
−
x
Ví
d
ụ
4.
Tìm
m
ñể
phương
trình
có
nghiệm
x
ph
ư
ơ
ng
trình,
b
ấ
t
ph
ư
ơ
ng
trình
vô
tỷ
không
c
ơ
b
ả
n
phương
hai
vế
của
một
phương
trình
ñể
ñược
phương
trình
tương
ñương
(hay
bình
của
chúng
không
âm.
-
Chú
ý
các
phép
biến
ñổi
căn
thức
A
2
=
A
d
ụ
6.
Giải
bất
phương
trình
x
+
3
≥ 2x
−
8
+ 7
−
x
ụ
8.
Giải
bất
phương
trình
x
+
2
− x
+
1
≤ x
Ví
d
ụ
9.Giải
2
−
4x
+
3
−
x
2
−1
=
2x
+
2
2x
2
−
3x
+
ñặt
ẩn
phụ
phải
tìm
tập
xác
ñịnh
của
ẩn
mới.
-
Chú
ý
các
2ab
+
b
2
,
a
2
−
b
2
=
(a
+
b)(a
−
b)
,
…
phương
trình x
+
8
+
2
x
+
7
+ x
+
1
−
x
+
7
+
4
2
x
2
−
4
Ví
d
ụ
14.Giải
phương
trình
Ví
d
ụ
15.Giải
bất
2x
+
1
+
4
2
x
2x
Nguyễn
ð
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
ài
4
:
HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
ð
ỐI
XỨNG
I.
Hệ
ph
ư
ơ
ng
trình
ñ
ối
x
ứ
ng
x
bởi
y
và
thay
y
bởi
x.
2 ) Tính c h
ấ
t :
Nếu
(x
o
,
y
o
)
là
x
+
y
=
S
Biến
ñổi
hệ
phương
trình
về
dạng:
Hệ
ñã
cho
⇔
St
+
P
=
0
(2)
Nếu
∆
=
S
2
–
4P
>
0
thì
hai
nghiệm
phân
biệt
(t
1,
t
2
),
(t
2
,
t
1
).
Nếu
∆
=
0
thì
nhất
(t
1,
t
2
).
ð
iều
kiện
ñể
hệ
(1)
có
ít
nhất
một
cặp
nghiệm
≥
0
S
≥
0
P
≥
0
x
+
y
=
2
Ví
d
ụ
+
y
x
+
y
x
=
30
y
=
35
x
−
y
−
xy
=
sau
có
nghiệm
x
+
1
+
y
−1
=
m
xy(x
+
2)(y
x
2
+
y
2
+
2(x
+
y)
=
2m
II.
Hệ
ph
ư
ơ
ng
trình
phương
trình
ta
ñổi
vai
trò
x,
y
cho
nhau
thì
phương
trình
nọ
trở
thành
thì
(y
o,
x
o
)
cũng
là
nghiệm
của
hệ.
3 ) C á c h gi
ả
i :
Trừ
vế
với
vế
hai
x
–
y
=
0
hoặc
f(x,y)
=
0.
2x
2
=
y
+
1
Ví
y
−
4
=
y
2
y
y
3
+
x
2
y
=
40x xy
2
−
4
sau
có
nghiệm:
2x
+ y
−1
=
m
x
=
y
2
−
y
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
6
2
Tự
ôn
I.
Hệ
vô
tỷ
Ví
d
ụ
1.
Giải
hệ
phương
trình
x
2
+
luận
x
+
y
+
x
−
y
=
a
xy
=
a
Ví
−
x
−
y
=
2
y
−
x
=
1
Ví
d
ụ
4.
Giải
hệ
ụ
5.
Tìm
m
ñể
hệ
có
nghiệm
II.
Hệ
h
ữ
u
tỷ
x
6.
Giải
hệ
phương
trình
x
2
+
y
2
−
1
+
x
=
1
Ví
y
x
3
−
y
3
=
7
xy(x
−
y)
=
2
Ví
d
ụ
8.
y
2
=
5(1
+
x
2
)
x
−
y
=
a(1
+
xy)
Ví
d
ụ
=
0
Ví
d
ụ
10.
Giải
hệ
phương
trình
2y(x
2
−
y
2
)
=
ñể
hệ
có
hai
nghiệm
phân
biệt:
x
2
−
y
2
+
2x
=
−11
(x
2
−
y
2
)xy
=
180
Ví
d
ụ
13.
Giải
hệ
phương
trình
x
3
ức
Tuấn
lớp
44C1
ð
ại
học
Thủy
lợi
Hà
nội
7
Tự
ôn
luyện
t
hi
m
ũ
,
logarit
B
ài
1
:
PHƯƠNG
TRÌNH
LƯỢNG
GIÁC
I.
Ph
ư
ơ
ng
trình
l
ư
ợ
ng
phép
giải
các
phương
trình
lượng
giác
cơ
bản.
Ta
cần
ghi
nhớ
bảng
sau
ñây:
≤
m
≤
1
−
1
≤
m
≤
1
sinx
=
sin
α
cosx
=
cos
α
+
k2
π
tgx
=
m m
ọ
i
m
tgx
=
tg
α α
+
k
π
k
nh
ậ
n
m
ọ
i
giá
tr
ị
nguyên
(
k
∈
Z
)
.
ð
vi
ệ
c
ch
ọ
n
α
ta
c
ầ
n
nh
ớ
giá
tr
ị
c
ủ
a
hàm
giác
s
ẽ
giúp
ta
nh
ớ
m
ộ
t
cách
rõ
ràng
h
ơ
n.
Nguyễn
ð
ức
ph
ươ
ng
trình:
Tự
ôn
luyện
t
hi
ñại
học
môn
t
oán
a)
sin3x
=
2
; b)
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
a)
cos2x
=
cos
π
; b)
cos(3x
-
5
π
)
3
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
cos
2
(
π
cos
x
−
8
π
)
cos(3
π
sin
x)
Ví
d
ụ
5
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
cos
2
x
ñ
ối
v
ớ
i
sinx
và
cosx: asinx
+
bcosx
=
c
(1)
,
a
2
+
+
b
2
,
ta
ñượ
c:
(1)
⇔
a
a
2
+
b
2
sin
x
+
b
+
b
2
=
sin
ϕ
;
b
a
2
+
b
2
=
cos
ϕ
.
Khi
2
+
b
2
(3)
Ph
ươ
ng
trình
có
nghi
ệ
m
khi
và
ch
ỉ
khi:
c
a
t
ồ
n
t
ạ
i
α
∈
[
0;
π
]
sao
cho
cos
α
=
c
a
2
ϕ
±
α
+
k
2
π
;
k
∈
Z
Ví
d
ụ
6
.
Gi
trình: sinx
+
mcosx
=
1
a)
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình
v
ớ
i
m
=
- 3
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
cos
2
x
+
2 3
sin
x
cos
x
+
3
sin
có
nghi
ệ
m
x
∈
IR:
3
cos
x
+
sin(x
+
α)
=
2
Ví
d
cos
8x).
Ví
d
ụ
11
.
Tìm
m
ñể
ph
ươ
ng
trình
sau
có
nghi
ệ
1
Ví
d
ụ
12
.
Gi
ả
i
ph
ươ
ng
trình:
sin8x
–
cos6x
= 3
(sin6x
4x
−
sin
2
x
+
1
=
0
4
Copyright: Tài liệu đại học ©