1
H×n
h häc mỈt ph¼ng täA ®é

C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cđa tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh
chó
ý
: - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng
- 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tun ®­êng nµy lµ chØ ph­¬ng cđa ®g kia,
chØ ph­¬ng ®­êng nµy lµ ph¸p tun cđa ®g kia

Lo¹i 1: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã:
c¸ch gi¶i: - viÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK
- viÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH
Lo¹i 2: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng trung tun kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i:
- LÊy ®iĨm M thc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iĨm t×m
to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®­êng CN t×m tham sè t  ®iĨm C
- LÊy ®iĨm N thc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iĨm t×m to¹ ®é B
thay voµ PT ®­êng BM t×m tham sè t  ®iĨm B

lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diĨm ®èi xøng cđa A qua ®­êng ph©n gi¸c
BB’ vµ CC’  A’ vµ A’’ thc c¹nh BC
- viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cđa nã víi ®­êng CC’, BB’ta cã ®iĨm
B vµ C

chó ý :

C(x;y)
A(x;y)
B
C
A’ B’
B’
C’
A(x;y)
C
A’
I
J
B
A’’
www.VNMATH.com
2
4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) . Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y =3 và điểm C
trên trục hoành sao cho ABC là tam giác đều.
5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B trên đường thẳng x + 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0
a) Xác đònh tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O
b) Xác đònh tọa độ B;C sao cho OBC là tam giác đều.

CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng:
Bài 1 : Viết phương trình tham số phương trình , chính tắc rồi suy ra phương trình tổng quát của đường
thẳng trong các trường hợp sau:
1/ Qua điểm M(2 ; -5) và nhận vectơ

u
=( 4; -3) làm vectơ chỉ phương .

Bài 10: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC nếu cho điểm B(-4;-5) và hai
đường cao có phương trình là :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.
Bài 11 : Cho điểm P( 3; 0) và hai đường thẳng d
1
: 2x – y – 2 = 0 , d
2
:x + y + 3 = 0. Gọi d là đường thẳng qua
P cắt d
1
, d
2
lần lượt tại A và B .Viết phương trình của d biết PA = PB.
Bài 12 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4 ; -1 ) đường cao và trung tuyến kẻ từ một
đỉnh lần lượt có phương trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 .
Bài 13 : Cho tam giác ABC có M( - 2 ; 2) là trung điểm của cạnh BC cạnh AB có phương trình là x – 2y
– 2 = 0,cạnh AC có phương trình là 2x + 5y + 3 = 0 . Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
www.VNMATH.com
3
Bài 14 : Cho hai đường thẳng d
1
: x – y = 0 , d
2
:x – 2y – 2 = 0. Tìm điểm A trên d
1
, C trên d
2
và B , D trên
trục hoành sao cho ABCD là hình vuông .
Dạng 2 : Hình chiếu của một điểm trên đường thẳng
1 / Phương pháp : Xác đònh hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d:

Bài 4 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A . Cho biết BC: 2x – 3y –5 = 0 ,
AB :x + y + 1 = 0. Lập phương trình cạnh AC biết rằng nó đi qua điểm M(1;1).
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 2;7 ) và cách điểm A(1;2) một khoảng bằng1.
Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2 : -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường
thẳng : (d
1
):2x – y + 5 = 0 , (d
2
) : 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
(d
1
) và (d
2
) .
Bài 7 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B( 2 ;- 1 ),đường cao qua đỉnh A có phương trình
3x – 4y +27 = 0 và phân giác trong của góc C có phương trình x + 2y – 5 = 0.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song song với d:3x –4y +1=0 và cách d một khoảng bằng 1

CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Trong mặt phẳng Oxy một tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + 6 =0 và 4x +7y – 21 =0. Viết
phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với góc tọa độ .
2/ Lập phương trình các cạnh của hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)và một đường chéo có phương trình là
7x- y +8 = 0
www.VNMATH.com
4
3/ Chgo tam giác ABC ,cạnh BC có trng điểm M(0; 4) còn hai cạnh kia có phương trình :
2x + y – 11 =0 và x + 4y – 2 =0
a. Xác đònh tọa độ điểm A.
b. Gọi C là điểm trên đường thẳng x – 4y – 2 = 0 , N là trtrung điểm AC . Tìm N rồi suy ra tọa độ của
B , C.

1
:x-y=0,d
2
:2x+y+1=0.Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông ABCD biết A thuộc d
1
, C thuộc d
2
và cả hai đỉnh B,D thuộc trục hoành.
17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x – y -8 = 0, diện
tích tam giác ABC bằng 3/2 . Tìm C.
18/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến ke û từ một
đỉnh có phương trình 2x -3y +12 = 0 và 2x + 3y = 0.
20/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có
phương trình là x -2y+1= 0 và y-1 =0.
21/ Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE)
4x+13y-10 = 0. Lập phương trình ba cạnh.
22/ Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C
lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC.
23/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y= x , phân giác
trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC .
24/ Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là
3x
y 3 0

 
, các đỉnh A và B thuộc trục
hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

www.VNMATH.com

2
2 II. Phương tích của một điểm đối với đường tròn.

Cho đường tròn ( C ) có phươngtrình : F ( x ; y ) = x
2
+y
2
– 2ax – 2by + c = 0 vá điểm M
0
(x
0
;y
0
)
P
M
/
(
C )
= F (x
0
; y
0
) = x
0
2
+y

y + c
2
= 0 .
Trục đẳng phương của hai đường tròn ( C
1
) , ( C
2
) có phương trình là :
2( a
1
- a
2
) x + 2( b
1
- b
2
) y – c
1
+ c
2
= 0 .IV. Tiếp tuyến của đường tròn

1/Dạng 1
:
Cho đường tròn ( C ) : ( x – a )
2
+ ( y –b)

Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
* Đường thẳng

có hệ số góc k có phương trình : y = kx + m
*

tiếp xúc với ( C )  d( I ,

) = R.Từ điều kiện này ta tìm được m.

3/ Da
ïng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) đi qua M( x
M
; y
M
)
.
* Đường thẳng

qua M có phương trình : A ( x – x
M
) + B ( y – y
M
) = 0.
*

tiếp xúc với ( C )  d( I ,

) = R.Từ điều kiện này ta tìm được A và B.


:2x – y – 8 = 0.
6/ ( T ) qua hai điểm A(1;2 ),B(3; ) và tiếp xúc với đường thẳng

có phương trình : 3x +y–3 = 0
Bài 3 : Cho đường tròn ( C ) có phương trình x
2
+ y
2
+ 4x + 4y – 17 = 0 .Lập phương trình tiếp tuyến d với (
C ) : 1/ Tại điểm M ( 2 ; 1 ) . 2/ Biết d song song với

: 3x – 4y – 2004 = 0.
3/ Biết d đi qua điểm A ( 2 ; 6 ) .
Bài 4: Cho đường tròn ( T ) có phương trình : x
2
+ y
2
– 4x – 2y = 0 .
1/ Tính phương tích của điểm M ( 5 ; -2) đối với đường tròn ( T ).
2/Viết phương trình tiếp tuyến với (T)vuông góc với đường thẳng

:2x – 3y + 1= 0.
www.VNMATH.com
6
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ N (– 2 ; 6 ).
Bài 5 : Cho hai đương tròn ( C
1
) và ( C
2

2
– 2x + 4y – 20 = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) tại các điểm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) .
b) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) đi qua C( 6 ; 5) .
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (T) và (T’) có pt : x
2
+y
2
-10x + 9 = 0
d) Với giá trò nào của m thì (T) tiếp xúc với đường tròn (T’’) có pt: x
2
+ y
2
– 2my = 0.

CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1)
2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng :
(d
1
) :
5
2
5


x
y
, (d
2

2
): x
2
+y
2

+4x – 2y – 20 = 0
a. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C
1
) ,(C
2
) và có tâm (d):x+6y – 6 = 0.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
) ,(C
2
)
10/ Cho (C): (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4 và đường thẳng (d) : x – y – 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn ( C’)
đối xứng với ( C) qua (d)
11/ Cho hai đường tròn (C
1
) : x
2
+y
2
– 4x – 5 = 0 , (C

IJ .Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với (C
1
) và (C
2
) tại H.
13/ Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C) :x
2
+y
2
– 2x – 4y = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M
và cắt (C ) tại hai điểm A,B sao cho AB = 10 .
14/Cho đường tròn (C ) : x
2
+y
2
– 2x – 6y – 9 = 0 và điểm M(2;4) .
a. Chứng tỏ rằng M nằm trong đường tròn.
b. Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung
điểm của đoạn AB.
c. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C ) qua AB.
15 / Cho ba đường thẳng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1)  (d2) = A,
www.VNMATH.com
7
(d
2
)  (d
3
) =B , (d
3
)  (d

– 2x – 9y – 2= 0 v (C2) : x
2
+ y
2
– 8x – 9y +16 = 0.
a. Chứng minh rằng (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau .
b. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó .
20/ Viết phương trình các tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn sau :
a. (C
1
): x
2
+ y
2
-10x = 0 , (C
2
): x
2
+ y
2
+4x -2y -20 = 0
b. (C
1
): x
2
+ y

trơc nhá lµ 2b
tiªu cù lµ 2c
t©m sai e=c/a
tiªu ®iĨm ( thc Ox) F
1
=(-c;0) F
2
=(c;0)
Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1
2
c
MF
a ex a x
a
c
MF
a ex a x
a

  
   NÕu b>a th×: a
2
= b
2
- c

Bài 1 : Tìm tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tiêu cự , độ dài các trục và tâm sai của elip (E ) cho bởi các
phương trình sau :
1/ 16x
2
+ 25y
2
= 400 ; 2/ 4x
2
+ 9y
2
= 144 ;
3/ 9x
2
+25 y
2
= 225 ; 4/ 4x
2
+ 9y
2
= 25.
Bài 2 : Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) trong các trường hợp sau :
1/ ( E ) có tiêu cự bằng 6 ; trục lớn là 2 10 .
2/ ( E ) có trục lớn bằng 20 tâm sai bằng 3/5,
3/ ( E ) có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M ( 15 ; - 1 ).
4/ ( E ) có một tiêu điểm F
2
( 4 ; 0 ) và đi qua điểm N ( 3 ;
5
12
)

1/ Tìm các điểm M trên ( E ) sao cho 3F
1
M = F
2
M.
2/ Cho A , B là hai điểm thuộc ( E ) sao cho AF
1
+ BF
2
= 8 .Hãy tính AF
2
+ BF
1
.
Bài 6 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) 16x
2
+ 25y
2
= 100.
1/ Tìm tọa độ các tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tính tâm sai của ( E ) .
2/ Đường thẳng d đi qua một tiêu điểm của ( E ) cắt ( E ) tại hai điểm A , B .Tính
đo
ä dài AB
3/ Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = x + m cắt (E )tại hai điểm phân biệt.
Bài 7: Cho elip ( E ) : x
2
+ 4y

2
– 3OM
2
– F
1
M.F
2
M.
3/ Viết phương trình đường thẳng (d) // Ox và cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho OA  OB.
Bài 11:1/ Lập pt chính tắc của elíp (E) có tiêu điểm F
1
( - 15 ;0), tiếp xúc với (d) : x + 4y – 10 = 0.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) vuông góc với (d’) : x + y + 6 = 0.
Bài 12 : Cho (E) : 4x
2
+ 9y
2
=36 và đường thẳng (d) có phương trình mx – y – 1 = 0 .
1/ Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt với mọi m .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;3)
Bài 13: 1/Lập phương trình chính tắc của elíp (E) có một tiêu điểm F
2
( 10 ;0) độ dài trục lớn 2 18
2/ Đường thẳng (d) tiêp xúc với(E) tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B .Tìm M để diện tích tam giác
OAB nhỏ nhất .
Bài 14 : Cho (E) :
1
49
2
2

9

I.TỌA
ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN1.TÓM
TẮT LÝ THUYẾT
 
   
 
 



















2
2
1
321
332211
222
,,a
.10
0...0.a .9
0.//a .8
....a .7
a .6
a .5
,,ak. .4
,, .3
.2
),,( .1
bb
aa
bb
aa
bb
aa
b
babababab
b
a
b
a
b


13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1













k
kzz
k
kyy
k
kxx
M
BA
BABA
1
,

1
,
1

,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G

16. Véctơ đơn vị cña 3 trôc:
)1
,0,0();0,1,0();0,0,1(
321
 eee

17.
Ozz
KOyyNOxxM
 ),
0,0(;)0,,0(;)0,0,(

18.
Oxz
zxKOyzzyNOxyyxM
 ),
0,(;),,0(;)0,,(

19.
2

//
AA
ADABV
DC
BAABCD
 www.VNMATH.com
10
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạn
g 1:
Chứn
g minh A,B,C là ba đỉnh tam giác

 A,B,C
là ba đỉnh tam giác 

[


AC
,AB

AC]
,[AB

Dạn
g 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

 Ch
ứng minh A,B,C không thẳng hàng
 ABCD là hbh


DCAB Dạn
g 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

 [


AC
,AB
].

AD
≠ 0
 V
td
=
6

.;
////
AAADABV
DCBAABCD
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp : ta có

n
a
d


 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
*Viết phương trình mp qua M và vuông góc với (d): ta có
d
a
n 


*Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mp

8
b
i k




;
9c
k




;
3 4 5d i j k




2: Cho ba vectơ

a
= ( 2;1 ; 0 ),

b
= ( 1; -1; 2) ,

c
= (2 ; 2; -1 ).

b
,

c
.
3: Cho 3 vectơ

a
= (1; m; 2),

b
= (m+1; 2;1 ) ,

c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng .

4: Cho:


2
; 5;3 , 0; 2; 1 , 1;7;2
a
b c




. Tìm tọa độ của vectơ: a)
1
4



1
; 2;1
a



b)
4a
x a




và


0
; 2;1
a




c)
2a
x b



7: Cho bốn diểm không đồng phẳng :
(2
;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).
A
B C D


Hãy tìm tọa độ trọng tâm G
của tứ diện ABCD.
8: Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.
10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh còn
lại.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.
13 . Cho ba vectơ


1
; 1;1 , 4;0; 1 ,
a
b










.
14. Tính góc giữa hai vectơ
a

và
b

:


)
4;3;1 , 1;2;3
a
a b




)
2;5;4 , 6;0; 3 .
b

)
4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1
b
a b c





)
4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1
c
a b c



)
3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1 .
d
a b c





c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC II
. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1.T
ĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp

:
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của 


n

 
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp

:

a


b

qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C)

A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n

= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

1
c
z
b
y

2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m
2
+ n
2
≠ 0 :
m(A
1
x + B
1
y
+ C
1
z
+ D
1
)
+ n(A
2
x +
B

//
D
D
C
C
B
B
A
A





°
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A

BA
D Cz By Ax


)d(M,


10.Góc
gi
ữa hai mặt phẳng
:

2
1
21
.
.
n
n
nn


)
,cos(

2.CÁC
DẠNG TOÁN


qua M và

d (hoặc AB)
°
)
....( AB
n



d
a
vtpt nên (d) Vì
Mqua




Dạng 4: Mp

qua M và //

: Ax + By + Cz + D = 0
°



n n vtpt nên // Vì
M qua

d

/

■
Vtpt
 
/
,
d
d
a
an 

Dạng 6 Mp

qua M,N và



:
■
Mp qua M,N nên

a
MN 

■
Mp  mp nên


Mp

đi qua
)
(dM

và A nên

b
AM 

°
]
,[ AM nvtpt
A qua


d
a

3.B
ÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1. Ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
Bµi 1: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt
n

biÕt

Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c,
1
1
A
; 1;0 , B 1; ;5
2
2

  



  

  
d,
2
1 1
A
1; ; , B 3; ;1
3
2 3

  


  

  

a
b

 

Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph­¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph­¬ng víi trơc 0y. c) Cïng ph­¬ng víi trơc 0z.
Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa vÐc t¬
n
vu«ng gãc víi hai vÐc t¬
(6
; 1;3); (3;2;1)
a
b


.
Bµi 8: T×m mét VTPT cđa mỈt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cỈp VTCP lµ
)
4,2,3( );2,7,2( ba

Bµi 9: LËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn

);4,3,2(n
lµm VTPT.
www.VNMATH.com

c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mỈt ph¼ng (P).
II
I.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.T
ĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.P
hương trình tham số của đường thẳng (d) qua

M(x
o
;
y
o
;z
o
)
có vtcp
a

= (a
1

2.P
hương trình chính tắc của (d) 32
a
z
-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
: 




3.P
T tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp 
1
và 
2


11
22
11
,
,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
a

4.Vò
trí tương đối của 2 đường thẳng
:

Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0

www.VNMATH.com
16

(d) qua M có vtcp
d
a

;
(d’) qua N có vtcp
/

].

M
N
= 0


d,d’ cắt nhau

[
d
a

,
/
d
a
]
0
và
[
d
a

,
/
d
a
].


a
và

)(
/
dM 

} 5.Khoảng cách
:
Ch
o (d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

Kc từ điểm đến đường thẳng:

d
d
a

a

; ’
có vtcp
/
d
a
; ( )
có vtpt
n
Go
ùc giữa 2 đường thẳng
:

/
/
.
.
'
d
d
d
d
a
a
aa


hayBquaA
d
d
)
(
)(

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (

)

 a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua

A
d )
(

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp




n

d
a vtcp nên )( (d) Vì
qua








];[
)()(
)(








n
an
bn
aad
dquaM
d
d

ª




:
+ Tìm
d
a
= [
a

d1
,
a

d2
]
+ Mp chứa d
1
, (d)
; mp
chứa d
2
, (d)


d =   
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d =



chứa d
2
// 
Dạng 9: PT d qua A và

d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mp qua A,  d
1
; B = d
2
 
Dạng 10: PT d

(P) cắt d
1
, d
2
: d =






với mp chứa d
1








tz
ty
tx
d

Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ :


R
t,
21
22: 








tz
ty
tx

) cho bëi :


2
2
: 3 t
3
x t
y
t R
z
t
 



  



 

.

Bµi8: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa ®­êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) ,biÕt:
a)


R
t,




tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ


3
2
12
1
:




 z
yx
d
.
a) T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P) .
b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d
1
) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mỈt ph¼ng (P) .
Bµi 10: Cho hai ®­êng th¼ng (d
1

2
R
t
z
ty
tx
d 









a) CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa nã.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d
1
),(d
2
).

Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®­êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi :











1
1
1
1
2
t
t,
12
29
1
:

a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d
1
),(d
2
) chÐo nhau.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d
1
),(d
2
) .

 Tâm I(a ; b ; c) và
d
cbaR 
2
22

2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho
     
2
R
czbyax:(S)
2
22



và  : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp :
 d > R : (S)   = 
www.VNMATH.com
19
 d = R :  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp

)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có

n
a

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có

n
a
d


 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu










tazz
tayy
taxx
d
3o
2o
1o
:
(1) và

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp

2
22
..
)
(
C
BA
D
I
zC
I
yB
S




I
A.
x
)d(I, R

qua A,

 IA
n vtpt


3.B
ÀI TẬP ÁP DỤNG

Bµi 1: Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y ,ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh cđa mỈt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m
vµ b¸n kÝnh cđa nã ,biÕt:
a)
 
02642:
222
 zyxzyxS b)
 
09242:
222
 zyxzyxS
c)
 
03936333:
222
 zyxzyxS d)
 
07524:
222
 zyxzyxS
Bµi 2: Cho hä mỈt cong (S

) khi m thay ®ỉi. c) T×m ®iĨm cè ®Þnh M mµ (S
m
) lu«n ®i qua.
Bµi 4: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph­¬ng tr×nh:
 
03cos2sin2:
2
22
 mymxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n ch¹y trªn mét ®­êng trßn (C) cè ®Þnh trong mỈt ph¼ng 0xy khi m thay ®ỉi.
c) Trong mỈt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §­êng th¼ng y=m(-1<m<1 ,m

0) ,c¾t (C) t¹i T, S ,
®­êng th¼ng qua A , T c¾t ®­êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm P khi m thay ®ỉi .
Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iĨm A(2;1;-3) vµ
t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iĨm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thc 0x. d) Hai ®Çu ®­êng kÝnh lµ A(-1;2;3),
B(3;2;-7)
Bµi 6: Cho 3 ®­êng th¼ng (d
1

7
:
2





 z
yx
d
,


1
2
2
3
3
1
:
3






 z
yx

ty
tx
d 








t
2
1
2
:
1
,


1
9
2
3
1
7
:
2



a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cđa ®­êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC).
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
Bµi10: Cho bèn ®iĨm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA.
b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cđa c¹nh SB lªn mỈt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A. Gäi K lµ
giao ®iĨm cđa h×nh chiÕu ®ã víi 0A. H·y x¸c ®Þnh to¹ dé cđa K.
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn l­ỵt lµ ®iĨm gi÷a cđa c¸c c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cđa ®iĨm M trªn SB sao
cho PQ vµ KM c¾t nhau.
Bµi 11: Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa D lªn (ABC) vµ tÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD.
b) (HVKTQS-98): ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa AC vµ BD.
www.VNMATH.com
21
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tham số của đường thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ
độ của điểm H.
b) (HVNHTPHCM-99):Viết pttq của (BCD) .Tìm kc từ A đến (BCD). c) Viết ptmc ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 13: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) Lập pt các mặt của hình chóp. b) Lập pt mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp . c) Tính V
SABC
D

Bài 14: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ
diện.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD. www.VNMATH.com
22
ỨNG D
ỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I. Ch
ọn hệ trục tọa độ
Oxyz
tron
g không gian

Ta có
:
,
,
Ox Oy
Oz
v
uông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc
thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :



'(0
;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)
A c
B a c C a b c b 
Với h
ình hộp đáy là hình thoi
''
''. DCBAABCD
Chọn hệ tr
ục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD













 0;
0;
2
2
;0;0;
2
2 a
C
a
A

2 2
0; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; )
2 2
a a
B D S h
 
 


B’
A
D
C
B
D’
A’
C’
y

z

x

zB
D
C
A
O
S
x

y

z

3
3
0; ;0 ; S 0; ;
2
6
a a
C h

  

  

  

   Với
hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA

(ABCD) Với
hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA

(ABCD)
A
BCD là hình thoi cạnh
a

chiều cao bằng
hChọn hệ
trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)


cho A(0;0;0) Khi đó :
   
;
0;0 ; C 0; ;0
B
a b
 

S 0;0;
h B
D
C
A
O
S
x

y


www.VNMATH.com
24 Với
hình chóp S.ABC có SA

(ABC)
và

A
BC vuông tại B
Tam
giác ABC vuông tại B có
;BA
a BC b



đường cao bằng
h
.




SAB cân tại S
và

A
BC vuông tại C 

ABC vuông tại C
;CA
a CB b



chiều
cao bằng
hH
là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)

Khi đó :
   


ABC vuông tại A
;AB
a AC b



chiều
cao bằng
hH
là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :
   
;
0;0 ; C 0; ;0
B
a b


z

B
C
A
S
x

yB
C
A
H
S
x

y

zB
C
A
H
S
x

trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0) Khi đó :
;0;0 ; A 0; ;0
2 2
a a
C
   
   
   


B 0; ;0 ; S 0;0;
2
a
h
 

 
  Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Ox
yz
như sau :
)
0;0;0(O
;
)
0;0;(aA
;
)0;;0( bB

);0;0( cC
;
)
0 ; ; ( baAB 

)
; 0 ; ( caAC 

Tìm vectơ pháp tuyến của :
 Mặt phẳng (ABC) 

S
ử dụng công thức tính góc giữa hai
mặt phẳng:

 
)
(),(coscos ABCOBC


 
)
(),(coscos ABCOBC


 
)
(),(coscos ABCOBC



222222
.
cos
baaccb
cb



y

z
x

y

z



A
B
C
C’
O

www.VNMATH.com