TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌCCHUYÊN VĨNH PHÚC

RÈN LUYỆN TƯ DUY  GIẢI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH THÔNG QUA
 

 MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC PHẲNG
 VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

    
  

                                                           Người thực hiện : Đào chí Thanh
                                                           Tổ  : Toán Tin


Đào Chí Thanh ­ CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh h
2 ọc không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ  
giữa hình học phẳng và hình học không gian

                                                           Sô Điện thoại : 0985 852 684
                                                            Email : thanhtoan@vinhphuc,edu.vn
                                               
                                      Năm 2011­  2012 

LỜI CẢM ƠN
Với tình cảm chân thành, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các 
đồng chí trong tổ toán – tin đã  đọc,góp ý tận tình trong bản sáng kiến kinh nghiệm  
này.
Đặc biệt, tôi xin cảm ơn Th.s Hạ Vũ Anh đã đóng góp nhiều ý kiến quí báu 
cho bản sáng kiến kinh nghiệm và giúp tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này.  

     1   1 . Hiện trạng
  2. Một số giải pháp  

Trang
4
4
5
6
6
6
6
6
7
8
8
9

  3. Vấn đề nghiên cứu
  4. Một số bài toán cung cấp cho học sinh kỹ năng giải bài tập HHKG
  5. Một số bài luyện tập 
  6.  Đề kiểm tra chất lượng học sinh
  7.  Kết quả học tập của học sinh

9
24
35
36
38

 PHẦN III­ KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

tiêu này gắn với chính sách chung về  giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo  
gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn 
hoá mới và con người mới…” “Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng 
nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí 
thức, có tay nghề…”
Môn Toán trong trường phổ thông giữ  một vai trò, vị  trí hết sức quan trọng 
là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với  
phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học 
khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh  
hệ  thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học 
sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ 
luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kỹ  năng, đức tính,  
phẩm chất của con người lao động mới là  môn hình học không gian. Để học môn 
này học sinh cần có trí tưởng , kỹ năng trình bày, vẽ các hình trong không gian và 
giải nó.
Như  mọi người đều bỉết,hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt  
chẽ,nội dung phong phú hơn so với hình học phẳng.Trong quá trình dạy học  ở 
                                                                                           
                                                                                                  

4


Đào Chí Thanh ­ CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh h
5 ọc không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ  
giữa hình học phẳng và hình học không gian

trường phổ  thông để  giải quyết một vấn đề  của hình học không gian nhiều giáo 

Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS 
                 thông qua trao đổi trực tiếp).
Phương pháp thực nghiệm.
7.Thời gian nghiên cứu:
Năm học:   Từ tháng 9 năm 2011 đến tháng 4 năm 2012
                                                                                           
                                                                                                  

6


Đào Chí Thanh ­ CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh h
7 ọc không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ  
giữa hình học phẳng và hình học không gian

Số tiết giảng dạy : 24 tiết (được dạy trong các tiết học và chuyên đề  ôn thi  

ĐH)

8. Ký hiệu, tên viết tắt
          Mặt phẳng  :   mf
          Đường thẳng : ĐT
          Diện tích tam giác ABC : S∆ ABC 
          Phép vị tự   :  VOk  (Tâm O; tỷ số k)
  ha ; hb ; hc   : là độ dài đường cao hạ từ A; B; C đến các cạnh đối diện của ∆ ABC 
ma ; mb ; mc : là độ dài đường TT  hạ từ A; B; C đến các cạnh đối diện của ∆ ABC
  la ; lb ; lc      : là độ dài đường phân giác hạ từ A; B; C đến các cạnh đối diện của ∆ 
ABC

                                                                                           

                                                                                           
                                                                                                  

8


Đào Chí Thanh ­ CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh h
9 ọc không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ  
giữa hình học phẳng và hình học không gian

+) Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình 
không gian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả của hình học phẳng được sử 
dụng trong hình không gian, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng  
cho hình không gian
+) Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ của giả thiết và kết luận 
chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách .
+) Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn 
động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn 
hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh. Cũng có thể do chính 
các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh,hay phương pháp truyền đạt 
kiến thức chưa tôt làm giảm nhận thức của học sinh...v.v.
Để hiểu rõ các nguyên nhân yếu kém tôi đã tiến hành trắc nghiệm khách 
quan bằng 10 câu hỏi cho mỗi phiếu (gồm 02 phiếu) về khả năng học tập môn 
toán và môn hình học ở trường phổ thông 
 Sau khi đưa cho học sinh các câu hỏi trắc nghiệm khách quan  tôi đã kiểm 
tra tính trung thực, độ tin cậy của dữ liệu theo công thức Spearman – Brown 
Mỗi câu hỏi có điểm từ 1 đến 5 (Từ 1 điểm: Hoàn toàn không đồng ý đến 5 điểm : 
Hoàn toàn đồng ý)
 (Xem phục lục 1 và 2 trang 43)


­ Về cơ  bản sử dụng phương pháp gợi mở vấn đáp.
                                                                                           
                                                                                                  

11


Đào Chí Thanh ­ CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh h
12 ọc không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ  
giữa hình học phẳng và hình học không gian

­ Đan xen hoạt động nhóm.

D. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC 
1. Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức cũ
Hoạt động của 
học sinh

Hoạt động của giáo viên
VÝ dô 1: Trong mặt phẳng, cho
®êng th¼ng d vµ hai ®iÓm A, B
cè ®Þnh kh«ng thuéc d. T×m
®iÓm M trªn d sao cho tæng MA
+ MB nhá nhÊt.

­   Hiểu   yêu   cầu 
đặt   ra   và   trả   lời 
câu hỏi.
­ Nhận xét câu trả 
lời của bạn và bổ 

trình chiếu
 

                                                                                           
                                                                                                  

12


Đào Chí Thanh ­ CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh h
13 ọc không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ  
giữa hình học phẳng và hình học không gian

A
B

M

E

α

C

Nhận   xét   đề   bài  *)   Nếu   A;B   khác   phía   đối   với   mặt 
KG   và   đề   hình  phẳng (    α ) thì điểm M xác định như 
phẳng?
thế nào?
*)   Nếu   A;B   cùng   phía   đối   với   mặt 
phẳng  

Ví   dụ   2':   Trong   không   gian,cho   tứ  
diện   ABCD,goị   M;N;P;Q;R;S   lân
̀ 
                                                                                           
                                                                                                  

13


Đào Chí Thanh ­ CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh h
14 ọc không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ  
giữa hình học phẳng và hình học không gian

lượt   là   trung   điêm
̉   cać   canh
̣  
AB;CD;CA;BD;AD;BC
Chưng
́   minh   cać   đoan
̣   thăng
̉  
MN;PQ;RS đông qui tai môt điêm
̀
̣
̣
̉
Dựa   vaò   cach
́   C/m 
A
VD3   ta   có  tứ  giać  


D
M

S
C

H/s   nêu   t/c   của  Ví   dụ  3:  Trong mặt   phẳng, cho   ∆  
trung   tuyến   trong  ABC thì giao 3 trung tuyến đồng qui  
tam giác?
tại G và G chia các đoạn trung tuyến  
theo tỷ  số  1:2     (Kết quả  đã biết  ở  
THCS)
Ví dụ 3': Trong không gian,cho tứ 
diện ABCD,goi G
̣ a; Gb;GC; Gd lân 
̀
lượt la trong tâm cac măt
̀ ̣
́
̣ 
BCD,ACD,ABD;ABC.Chưng minh 
́
̉
răng cac đ
̀
́ ưong thăng AG
̀
̉
A;BGB;CGC; 

G

N

D

B
P

Ga

M

G
B

P

Ga

M

C

Xet́   ∆   ABM   có 
MN   là  đường   gì 
cua ∆ ; G năm trên
̉
̀
 

̀ a 
 Trong ∆ NMP co XG // NP qua trung 
́
diêm cua MN nên XP = XM; trong ∆ 
̉
̉
ABX co NP // AX qua trung điêm cua 
́
̉
̉
AB nên  BP = PX 
Hay BP = PX = XM Vây X la trong tâm
̣
̀ ̣
 
∆ BCD va ta co NP = ½ AX; GX = ½ 
̀
́
NP nên
AG

BG

CG

DG

   Hương dân
́
̃ 

̀
̉
́ ̀ ́
̣
̣   h/s   c/m     kêt́ 
qua nay?
̉ ̀
M; N thì

                                                                                           
                                                                                                  

15


Đào Chí Thanh ­ CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh h
16 ọc không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ  
giữa hình học phẳng và hình học không gian

           

S∆AMN AM AN
=
.
S∆ABC
AB AC

Đây la kêt qua quan trong cac em t
̀ ́
̉


I

N

M

M

I

C

D

A

O

C

O
A

Hãy tìm giao 
tuyến của (ACS) 
và (BSD)
Tìm giao điểm  
của (P) và SO


∆ SAO; ∆ SOC
Do đó :
SI �SM SP � SM SP
.
� +
�= 2
SO �SA SC � SA SC
  � 2SM.SP = SI (SM.SC + SA.SP)
SO
2SO SC SA
�
=
+
(1)
SI
SP SM

                                                                                           
                                                                                                  

16


Đào Chí Thanh ­ CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh h
17 ọc không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ  
giữa hình học phẳng và hình học không gian

Tương tự trong ∆ SBD : 

2SO SB SD

                                                                                                  

17


Đào Chí Thanh ­ CVP – Rèn luyện tư duy giải toán hinh h
18 ọc không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ  
giữa hình học phẳng và hình học không gian

­ GV: dụng cụ dạy học, bảng phụ, phiếu học tập, máy vi tính ( computer) và 

máy chiếu ( projector).
­ HS: dụng cụ học tập, sách giáo khoa.
C. GỢI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
­ Về cơ  bản sử dụng phương pháp gợi mở vấn đáp.
­ Đan xen hoạt động nhóm.
D. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC 
1. Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức cũ
Hoạt động  
Hoạt động của giáo viên
của học sinh
 +) Vẽ hình
VÝ dô 1 : Trong mặt phẳng, cho góc xOy, trên  
  +)   kẻ   hình  Ox lấy điểm A, Oy lấy diểm B sao cho 
phụ   đề   c/m  1
1
1
+
=
(d là hằng số).Chứng minh rằng 

=
(viOD = DC )
AO OB
AO
OB
1
1
1
�
+
=
� OD = d B
OA OB OD

Vậy C là điểm cố định cần tìm.
­   Phát   hiện  Ta có thể mở rộng ra không gian đ
ược không?
a
vấn   đề   nhận 
thức.

A

K
                                                                                           
E
c

H
                                                                                                  


1
1
1
+
=  
AB CD k

Chứng  minh rằng mặt phẳng đi qua  
BD   và   song   song   với   AC   qua   một  
điểm cố định

Nhận   xét   đề   bài  +) Qua C dựng đưòng thẳng Cc // a
KG   và   đề   hình  +) Trong mặt (a,c) dựng BK//AC 
phẳng?
+)   Mặt   phẳng   (BKD)   là   mặt   phẳng 
cần dựng
H/s nhận xét trong  +) Theo các dựng ta có AB = CK nên
mặt phẳng (CKD)  1 + 1 = 1 � 1 + 1 = 1
kết   quả   có   như  AB CD k CI CD k
+) theo VD1 thì H là điểm cố định
VD1 không? 

Hãy   dựng 
mặt   phẳng 
thoả  mãn yêu 
cầu bài toán?
Hương
́   dân
̃ 


y
N

t
B

O

H/s nêu công thức 
tính diện tích tam 
giác?
  
H/s nêu công thức 
tính   thể   tích   hình 
chóp? 

M

Ta gọi khoảng cách từ A đến (xOy) là 
h thì: 
1
VOABM

+

1
VOABN

=

�
h.OB.sin BOM �
OM ON �

Nêu công thức Hê­  Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho ∆ 
rông  để  tính  diện  ABC thì diện tích tam giác : 
tích ∆ ABC
Công thứcHê rông
S∆ = p(p − a)(p − b)(p − c) (p =

a+b+c
)
2

Trong KG có 
công   thức 
tương   tự 
không?

Ví dụ 3':Trong không gian,cho tứ 
diện SABC có SA;SB;SC đôi một 
vuông góc.Tính thể tích tứ diện theo 
AB =a;AC =b;BC =a
                                                                                           

                                                                                                  

20



AC 2 = SC 2 + SA2

Vy:

SA2 + SC 2 = c 2
C

a 2 + c 2 b2
SA =
2
2
a c2 + b2
SB 2 =
2
2
a + c 2 + b2
SC 2 =
2
2

S
B

3.Hotng3:
Hotngca
HS
KhiSA,SB,SC
ụimtvuụng
gúcthỡthtớch
hỡnhchúptớnh


CụngthcnygngingHờrụng
Vớd 4:Trong mtphng, cho tam giác đều
ABC, trọng tâm G. M là một điểm trong tam
giác. Đờng thẳng MG cắt các đờng thẳng
BC, AC, AB theo thứ tự ở A, B, C. Chứng
minh rằng:

A'M B 'M C 'M
+
+
= 3.
A 'G B 'G C 'G




21


oChớThanhưCVPRốnluyntduygiitoỏnhinhh
22 ckhụnggianchohocsinhthụngquamụiliờnh
giahỡnhhcphngvhỡnhhckhụnggian

MK BC ( K BC )
theoTalột
GH BC ( H BC )
MA ' MK
=
tacú:

MB ' MJ MC ' MI
=
;
=
B ' G GH C ' G GH


Hóynhnxột
MK + MJ + MI (1)

Vy:

S dng
A'M B'M C 'M 3
din tớch

+
+
= ( MK + MJ + MI )
A 'G B 'G C 'G h
tỡm
Licú: S ABC = S MBC + S AMC + S ABM tng(1)
1
1
1
2
2
2
MK + MI + MJ = h Suyra:


23 ọc không gian cho hoc sinh thông qua môi liên hệ  
giữa hình học phẳng và hình học không gian

Giả sử đường thẳng cắt mặt (ACD).(BCD)
tại B';A'
như hình vẽ ta có
nhận xét gì?

A

B'
G
M
D
B

A'

K

H
C

 Hãy tính tổng (2)

MK ⊥ ( BCD )( K

( BCD ))

ME + MF + MK + MI Hạ   GH ⊥ ( BCD)( H ( BCD))

A 'G B 'G C 'G D 'G h
Hãy so sánh diện  Ta có:  VABCD = VABC + VACD + VABD + VBCD                         

tích các  mặt  của                                                                                        
1
1
1
1
1
tứ diện?
� .S BCD .h = .S BCD .MK + .S ACD .ME + .S ABD .MI + .S ABC .MF
 
3

3

3
3
3
Vì :  S ABC = S ABD = S DBC = S ADC   � ME + MK + MI + MF = h
A' M B ' M C ' M D ' M
+
+
+
= 4       
      Vậy  
A 'G B 'G C 'G D 'G

Hoạt động 5: Củng cố toàn bài
                    BTVN: Chứng minh ĐL Mêlelauyt trong mặt phẳng; trong không gian.

c)

1
1 1
=
+            (3)
ha2 b 2 c 2

d) a2 = b2 + c2                ( 4)
e) b.c = a.ha                              (5)
  Sau đây là bài toán tương tự  trong không 
gian
 Bài toán 1’ 
Cho hình chóp tam diện vuông SABC đỉnh S.  
Đặt  SA = a; SB = b; SC = c 
hạ OH  ⊥  (ABC); OH = h Chứng minh rằng 

D

   c) ∆ ABC nhọn, 
a2 .tanBAC = b2 tanCBA = c2tanBCA = 2SABC .
 Bài giải :
 a)  Hạ SF  ⊥  BC thì AH qua F
 Ta thấy ∆ ASF vuông tại S nên 
 

C

a


b
S

F
c
C

1
1
1
(Áp dụng  (3))
=
+
2
2
2
h
SF
a

lại sử dụng (3) vào ∆ BSC ta có 
 

1
1
1 1
1
1 1
=
+

1
1
2
S BAC
= BC 2 . AF 2 = (b 2 + c 2 ).(a 2 + SF 2 )
4
4
1 2 2
b 2c 2
1
2
= (b + c ).(a + 2 2 ) = ( a 2b 2 + c 2b 2 + a 2c 2 )
4
b +c
4
2
2
2
2
 Vây  :  S ABC
= S SAB
+ S SBC
+ S SAC

c) Do H nằm trong tam giác ABC nên ∆ ABC nhọn
   Xét : 2SABC = AF. BC  và  b2 tan ABC = b2 .

AF
 theo (1) thì b2 = BC.BF nên 
BF

) (sử 
= AM 2 ( 2
AB'
AC' 2

                                 = AM 2 . 

1
    = 1 (Do 
AM 2

AB’C’ vuông tại A, AM là đường cao).
 Bài toán 2’ :    Cho hình chóp tam diện vuông  
SABC đỉnh S, M là điểm thuộc miền trong 
ABC. SM hợp với các cạnh SA, SB, SC các  
góc theo thứ tự  ,  , . 
Chứng minh cos2  + cos2  + cos2  = 1.
Giải:

B'

A

A'
a

B'
M

B