Bài 3
Cơ sở và số chiều của không gian vectơ
3.1 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa 3.1.1
Cho m vectơ α
1
, α
2
, . . . , α
m
của không gian vectơ V trên trường K , m  1.
1. Hệ vectơ α
1
, α
2
, . . . , α
m
được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m phần
tử x
1
, x
2
, . . . , x
m
∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho x
1
α
1
+ x
2
α

2
= ··· = x
m
= 0.
3. Tập S ⊂ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của S đều
độc lập tuyến tính.
Ví dụ:
1. Trong không gian hình học E
3
• Hai vectơ cùng phương là phụ thuộc tuyến tính.
• Hai vectơ không cùng phương là độc lập tuyến tính.
• Ba vectơ đồng phẳng là phụ thuộc tuyến tính.
• Ba vectơ không đồng phẳng là độc lập tuyến tính.
• Bốn vectơ bất kỳ là phụ thuộc tuyến tính.
2. Trong không gian vectơ R
3
, hệ vectơ
α
1
= (1,−2, 0), α
2
= (0, 1, 2), α
3
= (−1, 4, 4)
3.2. Một số tính chất độc lập và phụ thuộc tuyến tính 21
là phụ thuộc tuyến tính vì:
1(1,−2, 0) − 2(0, 1, 2) + 1(−1, 4, 4)
= (1,−2, 0) + (0,−2,−4) + (−1, 4, 4)
= (1 + 0 − 1,−2 − 2 + 4, 0 − 4 + 4) = (0, 0, 0).
Hệ vectơ

+ x
2
+ x
3
, x
2
+ x
3
, x
3
) = (0, 0, 0).
Từ đó suy ra



x
1
+ x
2
+ x
3
= 0
x
2
+ x
3
= 0
x
3
= 0

n
[x]. Bằng cách đồng nhất hệ số ở
hai vế ta được a
1
= a
2
= ··· = a
n
= 0.
3.2 Một số tính chất độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Mệnh đề 3.2.1
1. Hệ gồm một vectơ α độc lập tuyến tính khi và chỉ khi α ̸= θ.
2. Mọi hệ vectơ chứa vectơ θ đều phụ thuộc tuyến tính.
3. Mọi hệ vectơ chứa hai vectơ tỉ lệ với nhau thì phụ thuộc tuyến tính.
4. Một hệ gồm m vectơ (m > 1) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một
vectơ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại.
Chứng minh:
3.2. Một số tính chất độc lập và phụ thuộc tuyến tính 22
1. (⇒) Giả sử hệ α độc lập tuyến tính. Nếu α = θ ta có 1.α = θ từ đó hệ α
phụ thuộc tuyến tính. Mâu thuẫn này suy ra α ̸= θ.
(⇐) Nếu α ̸= θ thì từ xα = θ suy ra x = 0. Vậy hệ α độc lập tuyến tính.
2. Giả sử đã cho hệ vectơ θ, α
2
, . . . , α
m
. Chọn x
1
= 1, x
2
= ··· = x

j
+ ··· + x
m
α
m
= θ.
Vậy hệ α
1
, α
2
, . . . , α
m
phụ thuộc tuyến tính.
4. (⇒) Giả sử hệ m vectơ α
1
, α
2
, . . . , α
m
phụ thuộc tuyến tính. Khi đó tồn tại
các phần tử x
1
, x
2
, . . . , x
m
thuộc K không đồng thời bằng 0 sao cho
x
1
α

1
+ x
2
α
2
+ ··· + x
i−1
α
i−1
+ x
i+1
α
i+1
+ ··· + x
m
α
m
.
Nhân cả hai vế của đẳng thức này với
−1
x
i
ta được:
α
i
= −
x
1
x
i

.
Như vậy α
i
biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại.
(⇐) Giả sử có vectơ α
i
biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại, tức là
α
i
= x
1
α
1
+ x
2
α
2
+ ··· + x
i−1
α
i−1
+ x
i+1
α
i+1
+ ··· + x
m
α
m
.

, α
2
, . . . , α
m
độc lập tuyến tính và β là một vectơ không
biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ đã cho thì hệ vectơ α
1
, α
2
, . . . , α
m
, β cũng
độc lập tuyến tính.
Chứng minh: Giả sử x
1
α
1
+ x
2
α
2
+ ··· + x
m
α
m
+ xβ = θ. Nếu x ̸= 0 thì
từ đó suy ra
β = (−
x
1

α
2
+ ··· + x
m
α
m
= θ.
Vì hệ vectơ đã cho độc lập tuyến tính nên x
1
= x
2
= ··· = x
m
= 0. kết hợp với
x = 0 suy ra hệ vectơ α
1
, α
2
, . . . , α
m
, β độc lập tuyến tính. ✷
Mệnh đề 3.2.3
1. Nếu ta thêm một số vectơ bất kỳ vào một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính thì được
một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.
2. Nếu bớt đi một số vectơ bất kỳ của một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì được một
hệ vectơ độc lập tuyến tính.
Chứng minh:
1. Giả sử hệ vectơ α
1
, α

thì với
x
m+1
= x
m+2
= ··· = x
m+r
= 0
ta cũng có
x
1
α
1
+ x
2
α
2
+ ··· + x
m
α
m
+ 0.β
1
+ 0.β
2
+ ··· + 0.β
r
= θ.
Vậy hệ vectơ α
1

ε
1
= (1, 0, . . . , 0), ε
2
= (0, 1, . . . , 0), . . . , ε
n
= (0, 0, . . . , 1)
là một cơ sở. Thật vậy, mỗi vectơ α = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ R
n
đều
viết được dưới dạng
α = (a
1
, 0, . . . , 0) + (0, a
2
, . . . , 0) + ··· + (0, 0, . . . , a
n
)
= a
1
ε
1
+ a
2

2
, . . . , x
n
) = (0, 0, . . . , 0) hay x
1
= x
2
= ··· =
x
n
= 0.
Cơ sở ε
1
, ε
2
, . . . , ε
n
được gọi là cơ sở chính tắc của R
n
.
3. Trong R
3
hệ 4 vectơ ε
1
= (1, 0, 0), ε
2
= (0, 1, 0), ε
3
=
(0, 0, 1), ε

x
n−1
+ a
n
x
n
.
nên {1, x, x
2
, . . . , x
n−1
, x
n
} là hệ sinh của P
n
[x].
Mặt khác theo ví dụ 3 mục 3.1 lại có {1, x, x
2
, . . . , x
n−1
, x
n
} độc
lập tuyến tính.
3.4. Sự tồn tại cơ sở 25
3.4 Sự tồn tại cơ sở
Định lý 3.4.1
Cho V là K− không gian vectơ. Giả sử C là một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong
V , S là một hệ sinh của V và C ⊂ S. Khi đó tồn tại một cơ sở B của V sao cho
C ⊂ B ⊂ S.

2
, . . . , α
r
, (1)
β
1
, β
2
, . . . , β
s
. (2)
Nếu hệ (
1) độc lập tuyến tính và mỗi vectơ của hệ (1) là tổ hợp tuyến tính của hệ (2)
thì r  s.
Chứng minh: Theo giả thiết ta có
α
1
= x
1
β
1
+ x
2
β
2
+ ··· + x
s
β
s
.

.
(3)
Thay β
1
trong (2) bởi α
1
, ta được hệ
α
1
, β
2
, . . . , β
s
.
(4)
Theo giả thiết mọi vectơ của hệ (
1) đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ (2),
theo công thức (
3) mỗi vectơ của hệ (2) đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ
(
4). Từ đó mỗi vectơ của hệ (1) đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ (4). Do
đó
α
2
= y
1
α
1
+ y
2

2
−
y
3
y
2
β
3
− ··· −
y
s
y
2
β
s
. (5)
Ta lại thay β
2
trong hệ (
4) bởi α
2
và được hệ
α
1
, α
2
, β
3
, . . . , β
s