SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH THUẬN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC: 2019 - 2020
Khóa ngày: 21/03/2020
Môn thi: TOÁN - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
(Đề thi có 01 trang / 20 điểm)

Bài 1:

Cho x , y , z là các số thực dương thỏa xyz  1 . Chứng minh rằng

1
1
1
3
 3
 3
 .
x  y  z y  z  x z  x  y 2
3

Lời giải
1
1
1
2

2  xy  yz  zx 

Theo giả thiết x , y , z là các số thực dương thỏa xyz  1 , khi đó:
2

3 3  xyz 
3
xy  yz  zx
VT 
 VT 
 VT  (đpcm).
2
2
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1 .

Bài 2:

Giải phương trình

5 x 2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1 .
Lời giải
2

5 x  14 x  9  0

Điều kiện xác định:  x 2  x  20  0  x  5 .
x 1  0

Ta có:



Đối chiếu điều kiện nhận x 

5  61
.
2

x  8
.
TH2: 3u  2v suy ra: 3 x  4  2 x  4 x  5  4 x  25 x  56  0  
x   7

4
Đối chiếu điều kiện nhận x  8 .
2

2

 5  61 
Vậy tập nghiệm của phương trình S  
;8 .
 2


Bài 3:

Cho a  2, b  3, c  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
N





N 
N
2c
2
2
2
4 2 2 2 3
a 2
b 3

Ta có: N 

2  c  4
c  8


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  2  a  2  a  4 .

b  6

 3  b  3
Bài 4:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt
đúng ba lần và các chữ số khác có mặt tối đa một lần.
Lời giải
TH1: Xếp số 0 ở mọi vị trí.

Áp dụng công thức trung tuyến, ta có: ma2 

2b 2  2c 2  a 2
 2ma  2b 2  2c 2  a 2 .
4

Suy ra: 2 3a.ma  a 3 2b 2  2c 2  a 2 .
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

2 3a.ma  a 3 b 2  c 2  2a 2 

3a 2  2b 2  2c 2  a 2
 2 3a.ma  a 2  b2  c 2 (đpcm).
2

a
b
c
, sin B  ,sin C  ;
2
2
2
sin A sin B sin C
a
b
c
Khi đó:


 3


a2
b2
c2


1
2ama 3 2bmb 3 2cmc 3

a2
b2
c2
a2
b2
c2


 2


2
2
2
2
2
2
2
2
2ama 3 2bmb 3 2cmc 3 a  b  c a  b  c a  b  c



Xét max a , b , c  6 , suy ra max a !, b !, c !  720 . Tuy nhiên abc  666 , do đó a , b , c  5 .
Nếu a , b , c  4 , suy ra a ! b ! c !  3.4!  72  100 . Vậy trong ba số a , b , c có ít nhất một số 5 .
TH1: Có một số bằng 5 , suy ra hai số còn lại nhỏ hơn 5 .
Suy ra a ! b ! c !  5! 4! 4!  168 . Khi đó a  1 suy ra b  5 hoặc c  5 .
Xét số cần lập là 1b5 hoặc 15c .
KN1: abc  1b5 , trong đó b  1; 2;3; 4 .
Suy ra 100  10b  5  1! b ! 5!  b ! 16  10b .
Kiểm tra b  1; 2;3; 4 , ta thấy b  4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
KN2: abc  15c , trong đó c  1;2;3;4 .
Suy ra 100  50  c  1! 5! c !  c !  29  c .
Kiểm tra c  1;2;3;4 , ta thấy không tồn tại c thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: Có hai số bằng 5 .
Suy ra 5! 5! 0!  100a  10b  c  5! 5! 4!  241  abc  264 , suy ra a  2 .
Thử lại 255  2! 5! 5! , nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH3: Cả ba số bằng 5 .
Nhận thấy 555  3.5! nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy số có ba chữ số thỏa mãn điều kiện bài toán là: 145 .
-------------------- HẾT --------------------

Tải tài liệu miễn phí