ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001
MÔN : TOÁN (Bảng A)

Ngày thi thứ nhất

Bài 1 : Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại hai
điểm A, B và P
1
P
2
là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó (P
1

(O
1
),
P
2

(O
2
)). Gọi M
1
và M

Bài 2 : Cho số nguyên dương n và cho hai số nguyên nguyên tố cùng nhau a,
b lớn hơn 1. Giả sử p, q là hai ước lẻ lớn hơn 1 của a
n
6
+ b
n
6
.
Hãy tìm số dư trong phép chia p
n
6
+ q
n
6
cho 6.(12)
n
.

Bài 3 : Với mỗi cặp số thực (a, b), xét dãy số {x
n
}, n

N, được xác định
bởi:
x
0
= a và x
1n
= x
nĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2000-2001
MÔN : TOÁN (Bảng A)

Ngày thi thứ hai

Bài 4 : Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện sau :












52103
6 3z x
}3,2{xmin
2
1
zy
yz


1. Xét hoán vị (a
1
,a
2
,…,a
n2
) của 2n số nguyên
dương đầu tiên sao cho các số |a
1i
- a
i
|, i = 1,2,….,2n – 1, đôi một khác
nhau . Chứng minh rằng a
1
- a
n2
= n khi và chỉ khi 1

a
k2
n
với mọi k =
1,2,…,n.
-----------------------------

- y) – 2001y.f(x)
với mọi số thực x, y.

Bài 3 : Cho tập hợp S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1;2002]. Gọi T
là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con không rỗng của S . Với mỗi tập hợp X
thuộc T , kí hiệu m(X) là trung bình cộng của tất cả các số thuộc X . Đặt :
m =
||
)(
T
Xm


ở đây tổng lấy theo tất cả các tập hợp X thuộc T .
Hãy tính giá trị của m.
(|T| kí hiệu số phần tử của tập hợp T)
----------------------------------


+
1
1
x
+
4
1
x
+ … +
2
1
kx 
+ … +
2
1
nx 
= 0
trong đó n là tham số nguyên dương .
1/ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu
trên có duy nhất nghiệm trong khoảng (0;1) ; kí hiệu nghiệm đó là x
n
.
2/ Chứng minh rằng dãy số (x
n
) có giới hạn hữu hạn khi n
Bài 6 : Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn điều kiện :
C

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003
MÔN: TOÁN (Bảng A)
Ngày thi : 12/3/2003 Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và
thoả mãn điều kiện :
f(cotgx) = sin2x + cos2x
với mọi x thuộc khoảng (0;

).
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :
g(x) = f(x).f(1-x)
trên đoạn [-1;1]

Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O
1
) và (O
2
) tiếp xúc
với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O
2
) lớn hơn bán kính của
đường tròn (O
1
). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O
2
) sao cho 3 điểm
O
1

)
của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a
1
,a
2
,…., a
n
) đều có tính
chất 1

|a
k
- k|

2 với mọi k = 1,2,3,…,n.
Chứng minh rằng : 1,75.s
1n
< s
n
< 2.s
1n
với mọi số nguyên n >6

------------------------------------------------