352 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân
Điều này dẫn đến
lim
n→∞
x
s
n
−1−m
=0.
Mặt khác,
x
s
n
= λx
s
n
−1
+ H(x
s
n
−1−m
,x
s
n
−1−m
)
 λx
s
n
+ H(x
s

n→∞
H(x
s
n
,x
s
n
−1−m
)
x
s
n
 1 − λ
điều này trái với (4.48). Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 6.13. Với một nghiệm giới nội ngặt {x
n
}
n
của (4.43) ta gọi tập
tất cả các điểm tụ của dãy các véc tơ {v
n
=(x
n−m
,x
n−m+1
,··· ,x
n
)}
n
là tập

}
n∈Z
(giá trị ban đầu được chọn trong tập giới hạn ω(x)) của
phương trình (4.43) với mọi n sao cho
lim sup
n→∞
x
n
= P
0
, lim inf
n→∞
x
n
= Q
0
và
Q
0
 P
n
 P
0
,Q
0
 Q
n
 P
0
, ∀n ∈ Z.

1 − λ
.
Từ công thức này ta có
1
1 − λ
· inf
x>0
F (x)  lim inf
n→∞
x
n
 lim sup
n→∞
x
n

1
1 − λ
· sup
x>0
F (x).
Từ đây ta luôn giả sử rằng phương trình x = λx + F (x) có nghiệm duy
nhất x =
x ∈ (0,∞). Ta sẽ xác định điều kiện để mọi nghiệm của (4.43) hội
tụ tới trạng thái cân bằng duy nhất x với tất cả các chậm.
Định lý 6.41. Giả sử F là hàm đơn điệu tăng và
lim sup
x→∞
F (x)
x

x
n
= P
0
, lim inf
n→∞
x
n
= Q
0
(4.51)
và
Q
0
 P
n
 P
0
,Q
0
 Q
n
 P
0
, ∀n ∈ Z.
Hơn nữa,
P
0

F (P

0
)  0 và ξ(Q
0
)  0. Mặt khác, từ (4.49)
suy ra lim sup
x→∞
ξ(x) < 0, và từ (4.50) ta nhận được lim inf
x→0
ξ(x) > 0.Do
đó, hai trường hợp sau có thể xảy ra: Hoặc là trong (0,Q
0
] và [P
0
,∞) có hai
điểm K

,K

khác nhau sao cho ξ(K

)=ξ(K

)=0, hoặc P
0
= Q
0
= x. Theo
giả thiết thì trường hợp thứ hai xảy ra. Định lý được chứng minh.
Định lý 6.42. Giả sử F là hàm đơn điệu giảm. Đặt
f(x)=

= P
0
, lim inf
n→∞
x
n
= Q
0
và
Q
0
 P
n
 P
0
,Q
0
 Q
n
 P
0
, ∀n ∈ Z.
Vì vậy,
P
0

F (P
−m−1
)
1 − λ

và Q
0
cùng thuộc vào đoạn [a
n
,b
n
] với mọi n ∈ N. Dãy {a
n
}
n
là đơn điệu tăng và dãy {b
n
}
n
là đơn điệu giảm. Vì vậy tồn tại hai giới hạn
tương ứng là α và β. Hơn nữa, các giới hạn này thỏa mãn hệ
α = f(β),β= f(α).
Theo giả thiết của ta thì α = β =
x.Vìvậy,lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= x và
do đó, P
0
= Q

}
n∈Z
là hai nghiệm có nguồn gốc của phương trình (4.43) sao cho
lim sup
n→∞
x
n
= P
0
,Q
0
 P
n
 P
0
, ∀n ∈ Z. (4.54)
Vì vậy,
P
0

F (P
−m−1
)
1 − λ

F (y
0
)
1 − λ
= f(y

0

F (P
−m−1
)
1 − λ

F (P
0
)
1 − λ
(4.56)
và tương tự
Q
0

F (Q
−m−1
)
1 − λ

F (Q
0
)
1 − λ
. (4.57)
Đặt
ξ(x)=
F (x)
x

Do giả thiết của ta trường hợp thứ hai xảy ra. Định lí được chứng minh.
Xét trường hợp f(y
0
) >y
0
. Trước tiên, ta nhắc lại định lý sau của Ivanov
đã được trình bày trong [?]:
Định lý 6.44. [?] Giả sử tồn tại một đoạn I trong R là bất biến đối với ánh
xạ f ∈ C(R), tức là f(I) ⊂ I. Giả thiết thêm rằng, có duy nhất một điểm
x ∈ intI là điểm hút toàn cục của f, tức là f(x)=x và lim
n→∞
f
n
(x)=x
với mọi x ∈ intI. Thế thì, mọi nghiệm {x
n
}
n∈N
−m
,x
i
∈ intI, i = −m, 0
của phương trình
x
n+1
=
µ
µ +1
x
n

ta phải
có x
n
∈ I với tất cả n trừ một số hữu hạn chỉ số n. Vì vậy không mất tính
tổng quát ta giả sử rằng x
n
∈ I với mọi n. Theo định lý 6.44 ta có điều phải
chứng minh.
Bổ đề 6.5. Giả sử hàm f có đạo hàm đến cấp 3 trên I, |f

(x)|  1 và đạo
hàm Schwarzian
Sf(x)=
f

(x)
f

(x)
−
3
2

f

(x)
f

(x)


2
của f âm trong I \{x}. Thế thì mọi nghiệm giới nội ngặt của (4.43) hội tụ
tới x.
358 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân
Bây giờ chúng ta nghiên cứu hiệu suất của chậm m đối với sự hội tụ của
nghiệm phương trình (4.43) tới trạng thái cân bằng dương x. Ta giả thiết
f(y
0
) >y
0
. Điều này kéo theo x>y
0
.
Mệnh đề 6.3. Với mỗi nghiệm giới nội ngặt {x
n
}
n
của (4.43) ta có
λ
m+1
x<lim inf
n→∞
x
n
 x  lim sup
n→∞
x
n
 f(y
0

0
+ F (Q
−1−m
),
do đó Q
0
 f(Q
−1−m
). Nhưng Q
0
 Q
−1−m
,vìvậyQ
−1−m
 f(Q
−1−m
). Mặt
khác, ta có y<f(y) với mọi y ∈ (0,
x).Vìvậy,Q
−1−m
 x. Từ đây suy ra
P
0
 x. Hơn nữa, từ công thức biến thiên hằng số ta có
Q
0
= λQ
−1
+ F (Q
−1−m

m+1
x.
Mặt khác,
P
0
= λP
−1
+ F (P
−1−m
)  λP
0
+ F (P
−1−m
),
nên P
0
 f(P
−1−m
) <f(y
0
). Nhưng P
0
 P
−1−m
, do đó P
−1−m
 f(P
−1−m
).
Mặt khác, ta có y>f(y) với mọi y ∈ (

λ
m+1
> 1 −
1
√
L
1
L
2
.
Chứng minh: Gọi {P
n
}
n∈Z
và {Q
n
}
n∈Z
là các nghiệm có nguồn gốc của phương
trình (4.43) với P
0
= lim sup
n→∞
x
n
và Q
0
= lim inf
n→∞
x

−1−m−j
)

x

1 − λ
m+1

− (1 − λ)
m

j=0
λ
j
f(Q
−1−m−j
)
=(1− λ)
m

j=0
λ
j
(x− f(Q
−1−m−j
))
 (1 − λ)

{0jm: xf (Q
−1−m−j

m+1
− 1)x +(1− λ)
m

j=0
λ
j
f(P
−1−m−j
)
=(1− λ)
m

j=0
λ
j
(f(P
−1−m−j
) − x)
 (1 − λ)

{0jm: f(P
−1−m−j
)x}
λ
j
(f(P
−1−m−j
) − x)
360 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân

2

P
0
− x

.
Nhưng từ giả thiết của ta,

1 − λ
m+1

2
L
1
L
2
< 1,
nên P
0
= Q
0
= x. Định lý được chứng minh.
Mệnh đề 6.4. Giả sử các giả thiết của định lý 6.46 được thoả mãn. Cho
m
0
 0 là một số nguyên sao cho m
0
<mvà
λ

là nghiệm của phương trình
x
n+1
= λx
n
+ F (x
n−m
0
).
Chậm trong phương trình này là m
0
, nên áp dụng định lý 6.46, ta có
lim
n→∞
x
n
= x.
Nhưng {x
n
}
n
là dãy tuần hoàn nên x
n
= x với mọi n. Điều này mâu thuẫn với
giả thiết {x
n
}
n
là nghiệm khác hằng. Mệnh đề được chứng minh.
Trên đây ta đã nghiên cứu hiệu suất của chậm m đối với sự hội tụ của

nghiệm tuần hoàn khác hằng số phải dao động xung quanh x. Cho nên, trong
mục này ta chỉ quan tâm nghiệm dao động xung quanh trạng thái cân bằng
dương
x.
Ta giả sử tồn tại một đoạn compact I =[a, b] 
x sao cho f(I) ⊆ I,
f(x) >
x với x ∈ (a, x) và f(x) < x với x ∈ (x, b]. Kí hiệu K là khối [x, b]
m+1
.
Rõ ràng, K là tập lồi compact của R
m+1
. Ta nghiên cứu nghiệm dao động của
(4.43) xuất phát từ K.
Mệnh đề 6.5. Giả sử {x
n
}
n
là một nghiệm của (4.43) xuất phát từ K. Thế
thì x
n
∈ I với tất cả n ∈ N.
Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo n. Giả sử x
k
∈ I =[a, b] với tất cả
k  n. Thế thì
x
n+1
= λx
n

(xem [?]), K có một điểm bất động khác ở bên trong K. Gọi {y
n
}
n
là một
nghiệm của (4.43) xuất phát từ điểm bất động này. Thế thì {y
n
}
n
là một
nghiệm tuần hoàn khác hằng của (4.43). Điều này mâu thuẫn với giả thiết
rằng mỗi nghiệm xuất phát từ K hội tụ tới trạng thái cân bằng dương. Mệnh
đề được chứng minh.
Định nghĩa 6.14. Một nghiệm {x
n
}
n
của (4.43) xuất phát từ K được gọi là
dao động chậm xung quanh trạng thái cân bằng dương
x nếu tồn tại dãy các
số nguyên dương
n
1
<n
2
< ··· <n
k
< ···
sao cho n
k+1

Chứng minh: Xét một nghiệm dao động {x
n
}
n
xuất phát từ K. Từ định nghĩa
của K ta có x
−m
,x
−m+1
,··· ,x
0
 x. Giả sử n
1
là chỉ số nhỏ nhất sao cho
x
n
1
< x. Thế thì x
n
1
,x
n
1
+1
,··· ,x
n
1
+m
< x. Thật vậy, giả sử trái lại, tức là có
k ∈ [0,m) sao cho x

+k−m
< x.
Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của n
1
.Vìvậy,
x
n
1
,x
n
1
+1
,··· ,x
n
1
+m
< x.
Bây giờ giả sử n
2
>n
1
là chỉ số nhỏ nhất sao cho x
n
2
 x. Rõ ràng, n
2
>n
1
+m.
Ta sẽ chứng minh rằng x

2
+k
< x − λx,
kéo theo f(x
n
2
+k−m
) < x. Nhờ giả thiết của hàm f, ta nhận được x
n
2
+k−m
> x.
Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của n
2
.Vìvậy,
(x
n
2
,x
n
2
+1
,··· ,x
n
2
+m
) ∈K.
Bằng quy nạp, ta có thể xác định dãy
n
1

n
2k+1
+m
< x
với tất cả các số nguyên dương k. Mệnh đề được chứng minh.
Bây giờ ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn không tầm thường của
(4.43) khi chậm m đủ lớn. Tuyến tính hoá (4.43) tại trạng thái cân bằng (đặt
x
n
= x + y
n
,với>0 là một số nhỏ tuỳ ý) ta được
y
n+1
= λy
n
+ F

(x)y
n−m
.
Tìm nghiệm dưới dạng y
n
= z
n
, ta nhận được phương trình đặc trưng
z
m+1
= λz
m

2
2λD
,
hay
mθ = arccos
1 − λ
2
− D
2
2λD
.
Mặt khác, ta cũng có
cos mθ cos θ − sin mθ sin θ = λ cos mθ + D,
sin mθ cos θ + cos mθ sin θ = λ sin mθ.
Giải hệ này ta được
cos θ =
1+λ
2
− D
2
2λ
,
hay
θ = arccos
1+λ
2
− D
2
2λ
.

−D
2
2λD
arccos
1+λ
2
−D
2
2λ

D = F

(x) ∈ [−1−λ,−1+λ]∪[1−λ, 1+λ]

(4.60)
thì (4.43) nhận một nghiệm tuần hoàn không tầm thường, xuất phát từ K và
dao động chậm xung quanh trạng thái cân bằng dương
x.
Định nghĩa 6.15. Một nghiệm {x
n
}
n
của mô hình quần thể (4.43) được gọi
là diệt vong nếu lim
n→∞
x
n
=0; được gọi là trường tồn nếu
0 < lim inf
n→∞

k
,f(x)=
F (x)
1 − λ
.
Sự diệt vong
366 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân
Nếu λ + µ  1 hay µ  1 − λ thì
F (x)=
µx
1+x
k

(1 − λ)x
1+x
k
< (1 − λ)x, x > 0.
Theo định lý 6.39 ta có lim
n→∞
x
n
=0.
Sự trường tồn
Tiếp theo ta xét λ + µ>1. Đặt
H(x, y)=µx
1
1+y
k
.
Rõ ràng, H là hàm đồng biến trên [0, +∞) đối với x và nghịch biến trên

x
n
 lim sup
n→∞
x
n
< ∞.
b Sự phát triển bền vững
Ta có
F

(x)=µ ·
1+(1− k)x
k
(1 + x
k
)
2
.
Do đó nếu k  1 thì F

(x) > 0 và F là hàm đồng biến. Hơn nữa các điều kiện
(4.49) và (4.50) của định lý 6.41 được thỏa mãn. Tức là
lim sup
x→∞
F (x)
x
= lim sup
x→∞
µ

=
k

λ + µ − 1
1 − λ
.
Bây giờ ta xét trường hợp k>1. Trong trường hợp này dùng định lý 6.43
ta tính được
F

(x)=0 =⇒ 1+(1− k)x
k
=0
=⇒ x =
k

1
k − 1
> 0.
Xét y
0
=
k

1
k−1
> 0 ta có
F (y
0
)=max

0
=(1− λ)y
0
,
từ đó suy ra
lim
n→∞
x
n
=
k

λ + µ − 1
1 − λ
.
Tiếp theo ta xét trường hợp
k>
µ
λ + µ − 1
.
Để áp dụng định lí 6.45, trước hết ta tính f

(x).Tacó
f

(x)=
1
µ
{µ − k(λ + µ − 1)}.
Ta cần tìm điều kiện để | f


2(k +1)
2 − k
·
k
k − 1
để nhận được sự ổn định tiệm cận toàn cục của
x. Thật vậy, điều kiện để đạo
hàm Schwarzian âm trong [0,f(y
0
)] là
(k − 1)(k − 2)x
k
+2(k +1)> 0
⇐⇒ x<
k

2(k +1)
2 − k
k

1
k − 1
=
k

2(k +1)
2 − k
· y
0

k
k − 1
.
Để áp dụng định lí 6.46 ta tìm số L sao cho
|f(x) −
x|  L|x − x| với mọi x ∈ [y
0
,f(y
0
)].
Ta có
f

(x)=
F

(x)
1 − λ
=
µ
1 − λ
[(1 + x
k
) − kx
k−1
x]
(1 + x
k
)
2

,y y
k
0
.
Dễ dàng tính được
ϕ

(y)=
µ
(1 − λ)(1 + y)
4
[(1 − k)y
2
+2y + k +1]
và phương trình ϕ

(y)=0có 2 nghiệm y
1
= −1,y
2
=
k+1
k−1
. Vậy
max
y∈[y
k
0
,f(y
0

1 − λ
m+1
λ
m+1
− λ
(m+1)k
,
thì ta có
lim
n→∞
x
n
= x
với mỗi nghiệm {x
n
}
n
của (4.43).
Tổng hợp lại các kết quả ở trên ta được:
Nếu λ + µ  1 thì mọi nghiệm diệt vong.
Nếu λ + µ>1 thì mọi nghiệm trường tồn. Với điều kiện này thì trạng thái
cân bằng dương duy nhất của mô hình là
x =
k

λ + µ − 1
1 − λ
.
Khi đó mọi nghiệm phát triển bền vững (lim
n→∞

m+1
−λ
(m+1)k

λ+µ−1
1−λ
.
370 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân
Nhận xét 6.7. Kết quả này là mới và có ý nghĩa, bởi vì trước đây (xem [?],
[?], [?]), các tác giả đã chứng minh sự ổn định toàn cục với tất cả các chậm,
tuy nhiên sử dụng thêm giả thiết khác.
Trong [?] các tác giả đã chứng minh rằng nếu
k<
2
1 − λ
·
µ
λ + µ − 1
thì trạng thái cân bằng dương
x là ổn định tiệm cận địa phương. Kết quả của
ta là ổn định tiệm cận toàn cục nên đòi hỏi phải thêm điều kiện về các tham
số.
Bây giờ ta nghiên cứu tính chất tuần hoàn của nghiệm. Giả sử
k>
2µ
λ + µ − 1
và y
0
=
k

)]. Tồn tại một
đoạn đóng I =[a, b] ⊆ [y
0
,f(y
0
)] sao cho f ánh xạ đoạn này vào chính nó.
Khi đó, với chậm m đủ lớn tồn tại một nghiệm tuần hoàn khác hằng số xuất
phát từ khối [
x, b]
m+1
. Chú ý rằng, để nhận được (4.60) đòi hỏi phải có
k<
2µ
λ + µ − 1
·
1
1 − λ
.
Ví dụ 6.52. (Mô hình quần thể ruồi xanh Nicholson).
Khảo sát sự diệt vong, trường tồn, phát triển bền vững và tuần hoàn của
mô hình quần thể ruồi xanh Nicholson
x
n+1
= λx
n
+ px
n−m
e
−qx
n−m

(ii) e
2
(1 − λ) <p<e
2
và m<
ln
p−(1−λ)e
2
pλ
ln λ
.
Nếu p  e
2
và
m>
arccos
1−λ
2
−[(1−λ)(1−ln
p
1−λ
)]
2
2λ[(1−λ)(1−ln
p
1−λ
)]
arccos
1+λ
2