ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
=============================
Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng
Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất
Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh
BIẾN PHỨC
ĐỊNH LÝ VÀ ÁP DỤNG
HÀ NỘI 2009
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
=============================
Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng
Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất
Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh
BIẾN PHỨC
ĐỊNH LÝ VÀ ÁP DỤNG
HÀ NỘI 2009
Mục lục
Lời nói đầu 8
1 Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn 11
1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Các dạng biểu diễn số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Biểu diễn số phức dưới dạng cặp . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Biểu diễn hình học của số phức . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4 Biểu diễn số phức nhờ ma trận . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.5 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức . . . . . . . . . 25
1.2.6 Biểu diễn các số phức trên mặt cầu Riemann . . . . . . . 27
1.2.7 Khoảng cách trên C .................... 30
1.3 Bàitập................................ 33

4.1 Giải phương trình Diophant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.2 Rút gọn một số tổng tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3 Các bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.4 Số phức nguyên và ứng dụng trong lí thuyết số . . . . . . . . . . 172
4.4.1 Tính chất chia hết trong tập các số phức nguyên . . . . 174
6 MỤC LỤC
4.4.2 Số nguyên tố Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.4.3 Một số áp dụng số phức nguyên . . . . . . . . . . . . . . 185
4.5 Bàitập................................189
5 Một số ứng dụng của số phức trong hình học 192
5.1 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức193
5.1.1 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.2 Tích vô hướng của hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.3 Tích ngoài của hai số phức. Diện tích tam giác . . . . . . 195
5.1.4 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.1.5 Mô tả các phép biến hình phẳng bằng ngôn ngữ số phức 196
5.1.6 Điều kiện đồng quy, thẳng hàng, vuông góc và cùng nằm
trên một đường tròn (đồng viên) . . . . . . . . . . . . . 198
5.2 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3 Chứng minh bất đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.4 Các bài toán hình học chứng minh và tính toán . . . . . . . . . 214
5.4.1 Số phức và đa giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.4.2 Đẳng thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . 222
5.5 Bảng các công thức cơ bản ứng dụng số phức vào giải toán
hìnhhọc...............................223
5.6 Bàitập................................227
6 Khảo sát dãy số và phương trình sai phân 231
6.1 Một số khái niệm cơ bản và tính chất của sai phân . . . . . . . 231
6.2 Tính tổng bằng phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . 239
6.3 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . . . 257

còn rất đơn giản. Vì nhiều lý do khác nhau, rất nhiều học sinh, thậm chí là
học sinh khá, giỏi sau khi học xong phần số phức cũng chỉ hiểu một cách rất
đơn sơ: sử dụng số phức, có thể giải được mọi phương trình bậc hai, tính một
vài tổng đặc biệt, ...
Việc sử dụng số phức và biến phức trong nghiên cứu, khảo sát hình học
(phẳng và không gian) tỏ ra có nhiều ưu việt, nhất là trong việc xem xét các
vấn đề liên quan đến các phép biến hình, quỹ tích và các dạng miền bảo giác.
Nhìn chung, hiện nay, chuyên đề số phức và biến phức (cho bậc trung học
phổ thông và đại học) đã được trình bày ở dạng giáo trình, trình bày lý thuyết
8
Lời nói đầu 9
cơ bản và có đề cập đến các áp dụng trực tiếp theo cách phân loại phương
pháp và theo đặc thù cụ thể của các dạng ví dụ minh họa.
Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng nghiệp vụ sau đại học cho đội ngũ giáo
viên, các học viên cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích, Phương
trình vi phân và tích phân, Phương pháp toán sơ cấp và bồi dưỡng học sinh
giỏi về chuyên đề số phức, biến phức và áp dụng, chúng tôi viết cuốn chuyên
đề nhỏ này nhằm trình bày đầy đủ các kiến thức tổng quan, các kỹ thuật cơ
bản về phương pháp sử dụng số phức và biến phức để tiếp cận các dạng toán
khác nhau của hình học, số học, toán rời rạc và các lĩnh vực liên quan.
Đây là chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ sau đại học mà các tác giả đã giảng
dạy cho các lớp cao học, cho đội tuyển thi olympíc toán sinh viên quốc gia và
quốc tế và là nội dung bồi dưỡng giáo viên các trường đại học, cao đẳng và
trường chuyên trong cả nước từ nhiều năm nay.
Trong tài liệu này, chúng tôi đã sử dụng một số nội dung về lý thuyết cũng
như bài tập mang tính hệ thống đã được các Thạc sĩ và học viên cao học thực
hiện theo một hệ thống lôgíc nhất định dưới dạng các chuyên đề nghiệp vụ
bậc sau đại học. Những dạng bài tập khác là một số đề thi của các kì thi
học sinh giỏi và các bài toán trong các tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Kvant,
Mathematica, các sách giáo khoa, chuyên đề và chuyên khảo, ... hiện hành ở

√
−1,b
√
−1,a+ b
√
−1
xuất hiện đầu tiên từ thế kỷ XVI trong các công trình của các nhà toán học
Italy "Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số" (1545) của G.Cardano
(1501 - 1576) và "Đại số" (1572) của R.Bombelli (1530 - 1572). Nhà toán học
Đức Felix Klein (1849 - 1925) đã đánh giá công trình của G.Cardano như sau:
"tác phẩm quý giá đến tột đỉnh này đã chứa đựng những mầm mống của đại
số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học thời cổ đại".
Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu
√
−1 là lời giải hình thức của phương trình x
2
+1 =0, xét biểu thức b
√
−1 là
nghiệm hình thức của phương trình x
2
+ b
2
=0. Khi đó biểu thức tổng quát
hơn dạng
(x − a)
2
+ b
2
=0

vẫn xem đó là một kí hiệu trừu tượng thoả mãn định nghĩa
i
2
= −1.
Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách
thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho
các số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch
lí sau đây: vì i =
√
−1 nên i
2
= −1, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các
quy tắc thông thường của phép toán khai căn bậc hai lại thu được
i
2
=
√
−1
√
−1=

(−1)(−1) =

(−1)
2
=
√
1=1.
Hóa ra −1=1!
Ta nhấn mạnh lại rằng hệ thức

nhưng lại gọi chúng là các nghiệm "nguỵ biện". Chẳng hạn, khi giải hệ phương
trình

x + y =10
xy =40
Cardano đã tìm được nghiệm 5+
√
−5 và 5+
√
−5 và ông đã gọi nghiệm này
là "âm thuần tuý" và thậm chí còn gọi là "nghiệm âm nguỵ biện".
Có lẽ tên gọi "ảo" là di sản vĩnh cửu của "một thời ngây thơ đáng trân trọng
của số học".
14 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn
Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản
chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng
mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I.Newton đã không
thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái
niệm số, còn G.Leibniz thì thốt lên rằng: "Các đại lượng ảo - đó là nơi ẩn náu
đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống
lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có thật".
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính
là nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn "Đại số" (1572) ông đã định
nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên
lí thuyết các số "ảo".
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss
4
(năm 1831). Vào thế
kỷ XVII - XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất
của đại lượng ảo (số phức!) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn

trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình
đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới. Đương nhiên trường
số thực R (và do đó cả trường số hữu tỷ Q) không có tính chất đóng đại số.
Chẳng hạn, phương trình với hệ số thực có thể không có nghiệm thực.
Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor đến giờ, con đường phát triển khái
niệm về số có thể tóm tắt bởi N → Z → Q → R → C với các bao hàm thức:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán học K.Weierstrass,
G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng mở rộng tập số
phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan. K.Weierstrass đã
chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn
bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo
toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp
số phức. Như vậy, các tập hợp số mới chứa tập số phức chỉ có thể thu được
bằng việc từ bỏ một số tính chất thông thường nào đó của các số phức. Chẳng
hạn nhà toán học Ailen là W.Hamilton (1805 - 1865) đã bứt phá ra khỏi phạm
vi số phức và thu được các quatenion là trường hợp đơn giản nhất của hệ siêu
16 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn
phức nhưng đành phải từ bỏ tính chất giao hoán của phép nhân. Hệ thống các
quatenion là hệ không giao hoán và các quatenion thể hiện được trong không
gian bốn chiều R
4
.
Dạng tổng quát của quatenion là
a + bi + cj + dk; a, b, c, d ∈ R,
trong đó 1; i; j; k được Hamilton chỉ ra là các đơn vị siêu phức và được
Hamilton gọi là các quatenion. Ở đây
i
2
= j

L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết:
"Thượng đế đã tạo ra số tự nhiên, còn tất cả các loại số còn lại đều là công
trình sáng tạo của con người".
Có thể nói rằng với khẳng định bất hủ này L.Kronecker đã xác định nền móng
vững chắc cho toà lâu đài toán học tráng lệ mà con người đang sở hữu.
1.2 Các dạng biểu diễn số phức
1.2.1 Biểu diễn số phức dưới dạng cặp
Mỗi số phức a + bi hoàn toàn được xác định bởi việc cho hai số thực a và b
thông thường (a, b ∈ R) gọi là các thành phần của chúng.
Người đầu tiên cố gắng nêu rõ đặc trưng quy luật của các phép tính bằng ngôn
ngữ các thành phần không cần nhắc đến kí hiệu "nghi vấn" i là Hamilton. Cụ
thể, ông đã diễn tả mỗi số phức bởi một cặp số thực (có thứ tự) thông thường.
Vì tập hợp số thực là tập hợp con của tập hợp số phức C nên khi xác định
các phép tính số học cơ bản trên các số phức ta cần đòi hỏi rằng khi áp dụng
cho các số thực các phép toán đó đưa lại kết quả như kết quả thu được trong
số học các số thực. Mặt khác, nếu ta mong muốn các số phức có những ứng
dụng trong các vấn đề của giải tích thì ta cần đòi hỏi rằng các phép toán cơ
bản được đưa vào đó phải thoả mãn các tiên đề thông thường của số học các
số thực.
Định nghĩa 1.1. Một cặp số thực có thứ tự (a; b),a∈ R,b ∈ R, được gọi
18 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn
là một số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và
phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:
i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức: (a; b)=(c; d) ⇔

a = c
b = d.
Chú ý rằng đối với hai số phức bằng nhau (a; b) và (c; d) ta có thể viết
(a; b) ≡ (c; d) (nếu muốn nhấn mạnh đây là quan hệ đồng nhất giữa hai cặp số
thực sắp thứ tự) hoặc (a; b)=(c; d) (nếu muốn nói rằng đây là quan hệ bằng

tức là đồng nhất bằng tổng a + c theo nghĩa thông thường.
3) iii) - iv). Theo tiên đề iii), tích các số thực a và b được xét như những
cặp (a;0) và (c;0) là bằng cặp
(ac− 0 · 0; a · 0+0· c)=(ac;0)
và theo tiên đề iv) ta có (ac;0)≡ ac. Như vậy
(a; 0)(c;0)= (ac;0)≡ ac,
tức là đồng nhất bằng tích a với c theo nghĩa thông thường.
Như vậy tiên đề iv) tương thích với các tiên đề i), ii) và iii).
Ta cũng lưu ý các công thức sau đây được suy trực tiếp từ iii) và iv):
λ(a; b)=(λa; λb),λ∈ R.
Thật vậy, từ iv) và iii) ta có:
λ(a; b)=(λ; 0)(a; b)=(λa − 0 · b; λb +0· a)=(λa; λb).
Nếu λ = m ∈ N thì theo ii) ta có
(a; b)+(a; b)=(2a;2b);
20 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn
(2a;2b)+(a; b)=(3a;3b),...
tức là (ma; mb) là kết quả phép cộng liên tiếp m số hạng bằng (a; b).
Điều đó phù hợp với biểu tượng thông thường là phép nhân với số tự nhiên
tương ứng với phép cộng m số hạng bằng nhau. Dễ dàng thấy rằng các tiên đề
ii) và iii) là tương thích với nhau và các quy luật thông thường của các phép
tính thực hiện trên các số vẫn được bảo toàn khi chuyển sang số phức (đương
nhiên phải cắt bỏ các quy luật có quan hệ tới tính chất sắp được tuyến tính).
Từ định nghĩa suy ra trong tập hợp C phép cộng và phép nhân có tính chất
kết hợp và giao hoán ; phép nhân liên hệ với phép cộng theo luật phân bố ;
phép cộng có phép tính ngược là phép trừ và do đó tồn tại phần tử 0 là cặp
(0 ; 0) vì (a; b) + (0; 0) = (a; b), ∀a, b ∈ R.
Vai trò đơn vị trong tập hợp số phức C là cặp (1; 0) vì theo tiên đề iii)
(a; b)(1; 0) = (a; b).
Hai số phức z =(a; b) và ¯z =(a;−b) được gọi là liên hợp với nhau. Ta có
z¯z =(a; b)(a;−b)=a

(a) R ⊂ C.
(b) Phương trình x
2
+1=0có nghiệm trong C. Đó là cặp (0 ; 1) và (0 ;
-1).
Dưới dạng cặp các phép toán trên C được thực hiện theo các quy tắc
1.2. Các dạng biểu diễn số phức
21
(i). (a
1
; b
1
)+(a
2
; b
2
)=(a
1
+a
2
; b
1
+b
2
);(a
1
; b
1
)−(a
2

b
2
+ a
2
b
1
);
(iii).
(a
1
; b
1
)
(a
2
; b
2
)
=

a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2

Bây giờ ta trở về với cách viết thông thường (hay dưới dạng Descartes) đối
với số phức. Rõ ràng là mọi số phức (a; b) ∈ C đều biểu diễn được dưới dạng
(a; b)=(a; 0) + (0; b)=(a;0)+(b; 0)(0; 1) = a + bi,
trong đó cặp (0; 1) được kí hiệu bởi chữ i.
Từ tiên đề iii), suy rằng
i
2
= (0; 1)(0; 1) = (0 · 0− 1· 1; 0 · 1+1· 0)=(−1; 0) = −1.
Như vậy ta đã trở về với cách viết thông thường đối với số phức (a; b) dưới
dạng a + bi nhưng giờ đây đơn vị ảo i có ý nghĩa hoàn toàn hiện thực vì nó là
một trong các cặp số thực mà các phép tính trên chúng được định nghĩa bởi
các tiên đề i), ii), iii) và iv), đó chính là cặp (0; 1). Thậm chí, có thể xem nhân
tử i bên cạnh số thực b như một dấu hiệu chỉ rõ số thực b là thành phần thứ
hai của số phức (a; b).
Thành phần thứ nhất của số phức z = a + bi được gọi là phần thực của số
đó và được kí hiệu Re z, thành phần thứ hai được gọi là phần ảo và được kí
hiệu là Im z. Cần nhấn mạnh rằng phần ảo cũng như phần thực của số phức
là những số thực.