Slide 4 Đại số Tuyến Tính – Không gian Vecto – Lê Xuân Thanh – UET – Tài liệu VNU - Pdf 70

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Không gian vec-tơ

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

0
y

x
1

2
3
4
5
6

1 2 3 4 5 6
u = (2, 3)

Phép cộng hai vec-tơ:

u + v = (u1, u2) + (v1, v2) := (u1+ v1, u2+ v2).

Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈ R:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2

Một vec-tơ là

một đoạn thẳng có hướng
xuất phát từ gốc tọa độ
tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi

một đoạn thẳng có hướng
xuất phát từ gốc tọa độ
tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi
tọa độ điểm đích:

u = (u1, u2).

0
y

x
1

2
3
4
5
6

1 2 3 4 5 6
u = (2, 3)

2u = (4, 6)

Phép cộng hai vec-tơ:

u + v = (u1, u2) + (v1, v2) := (u1+ v1, u2+ v2).

xuất phát từ gốc tọa độ
tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi
tọa độ điểm đích:

u = (u1, u2, u3).

Phép cộng hai vec-tơ:

u+v = (u1, u2, u3)+(v1, v2, v3) := (u1+v1, u2+v2, u3+v3).

Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈ R:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tính chất

Cho 0 = (0, 0, 0), u, v, w∈ R3, c, d∈ R. Ta có

u + v∈ R3.

u + v = v + u.

(u + v) + w = u + (v + w).

u + 0 = u.

∃ − u ∈ R3: u + (−u) = 0.

c· u ∈ R3.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Định nghĩa không gian vec-tơ

Tập hợp V̸= ∅ là không gian vec-tơ trên R nếu V được trang bị

Phép cộng vec-tơ:

+: V× V → V
(u, v)7→ u+v,

Phép nhân vec-tơ với vơ hướng:

◦:R × V → V
(c, u)7→ c◦u,

thỏa mãn các tiên đề sau:

1 u+v = v+u ∀ u, v ∈ V,

2 (u+v)+w = u+(v+w) ∀ u, v, w ∈ V,

3 ∃ 0 ∈ V : u+0 = u ∀ u ∈ V,

4 ∀ u ∈ V ∃ u′∈ V : u+u′= 0,

5 c◦(u+v) = c◦u+c◦v ∀ c ∈ R, u, v ∈ V,
6 (c + d)◦u = c◦u+d◦u ∀ c, d ∈ R, u ∈ V,
7 c◦(d◦u) = (cd)◦u ∀ c, d ∈ R, u ∈ V,

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ví dụ

xn


+

. . .y1

yn

 =




x1+ y1
..
.

xn+ yn




 , c◦




x1
..




x1
..
.
xn




là một khơng gian vec-tơ với các phép tốn



x1
..
.
xn


+

. . .y1

yn

 =






</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ví dụ

Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ

với phép cộng và phép nhân thông thường.

Tập hợpRn các hàng n-thành phần thực [x1, . . . , xn]

là một khơng gian vec-tơ với các phép tốn

[x1, . . . , xn]+[y1, . . . , yn] = [x1+ y1, . . . , xn+ yn],

c◦[x1, . . . , xn] = [cx1, . . . , cxn] (với c∈ R).

Tập hợpRn các cột n-thành phần thực




x1
..
.
xn




 , c◦




x1
..
.
xn


 =



cx1
..
.
cxn



</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Ví dụ

Tập hợp Mm,n các ma trận thực m hàng, n cột

là một không gian vec-tơ với các phép tốn thơng thường:

(aij)m×n +(bij)m×n = (aij+ bij)m×n,

với hệ số thực,

có bậc KHƠNG Q n

là một khơng gian vec-tơ với các phép tốn thơng thường:

(anxn+ . . . + a0)+(bnxn+ . . . + b0) = (an+ bn)xn+ . . . + (a0+ b0),
c◦(anxn+ . . . + a0) = canxn+ . . . + ca0 (với c∈ R).

Chú ý:

Khẳng định trên không đúng nếu đặt điều kiện

“đa thức có bậc chính xác bằng n”.

Khẳng định trên vẫn đúng nếu bỏ điều kiện
“đa thức có bậc≤ n”.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ví dụ

Cho (V,+,·), (W, +,·) là các khơng gian vec-tơ. Tập hợp

V× W := {(v, w) | v ∈ V, w ∈ W}

là một không gian vec-tơ với các phép toán

(v, w)+(v′, w′) = (v+v′, w + w′),

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Một số tính chất

uj


 =∑m

i=1
n

∑

j=1

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Không gian vec-tơ con

2 Mơ tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

là một khơng gian vec-tơ con củaR2

(với các phép tốn thơng thường).

Tập hợp

W ={(x1, 0, x3)| x1, x3∈ R}

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Ví dụ

Cho trước x0, y0 ∈ R. Tập hợp

W ={(x, y) | (x, y) = t(x0, y0), t∈ R}

là một không gian vec-tơ con củaR2

(với các phép tốn thơng thường).

Tập hợp

W ={(x1, 0, x3)| x1, x3∈ R}

là một không gian vec-tơ con củaR3

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Ví dụ

Nếu V là một khơng gian vec-tơ

thì 0 và V là các khơng gian vec-tơ con (tầm thường) của V.

W ={x ∈ Rn | Ax = 0}

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Ví dụ

Nếu V là một khơng gian vec-tơ

thì 0 và V là các khơng gian vec-tơ con (tầm thường) của V.

Pn(x) là không gian vec-tơ con của Pn+1(x).

Pn(x) là không gian vec-tơ con của P(x).

Tập hợp

W ={A∈ Mn,n | A = AT}

là không gian vec-tơ con của Mn,n.

Cho A∈ Mm,n, và 0 = [0, . . . , 0]t∈ Rn. Tập hợp

W ={x ∈ Rn | Ax = 0}

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Ví dụ

Nếu V là một khơng gian vec-tơ

thì 0 và V là các không gian vec-tơ con (tầm thường) của V.

Pn(x) là không gian vec-tơ con của Pn+1(x).

W ={x ∈ Rn | Ax = 0}

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Tổ hợp tuyến tính

Cho (V, +,·) là một không gian vec-tơ trên R.

1 2

]

, u4=
[

−2 0

1 3

]

.

Vec-tơ u1là một tổ hợp tuyến tính của u2, u3, u4do

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Tổ hợp tuyến tính

Cho (V, +,·) là một không gian vec-tơ trên R.

Cho S ={u1, . . . , un} ⊂ V.

Vec-tơ v∈ V là một tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ trong S

nếu

v = c1· u1+ . . . + cn· un,

V = span(S).

Khi đó ta cũng nói V sinh bởi S.

Ví dụ 1: Trong khơng gianR3xét các vec-tơ

e1=[1, 0, 0], e2=[0, 1, 0], e3=[0, 0, 1].

Tập hợp S ={e1, e2, e3} là một hệ sinh của R3 vì

mỗi vec-tơ v = [v1, v2, v3]∈ R3 đều là tổ hợp tuyến tính của e1, e2, e3:

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Hệ sinh

Tập hợp S được gọi là một hệ sinh của V nếu

V = span(S).

Khi đó ta cũng nói V sinh bởi S.

Ví dụ 2: Trong không gianR3xét các vec-tơ

u1=[1, 0, 0], u2=[0, 1, 0], u3=[0, 0, 1], u4=[0, 0, 2].

Tập hợp S ={u1, u2, u3, u4} là một hệ sinh của R3vì

mỗi vec-tơ v = [v1, v2, v3]∈ R3 đều là tổ hợp tuyến tính của u1, . . . , u4:

v = v1· u1+ v2· u2+

Tập hợp S ={e1, e2} KHƠNG là hệ sinh của R3vì

vec-tơ v = [0, 0, 1]∈ R3 khơng thể là tổ hợp tuyến tính của e1, e2.
̸ ∃ c1, c2∈ R : v = c1· e1+ c2· e2.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

và hệ phương trình (tuyến tính thuần nhất) này có nghiệm duy nhất

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Ví dụ

Các vec-tơ e1= [1, 0], v2= [0, 1] trongR2

là độc lập tuyến tính vì

c1e1+ c2e2= 0 ⇔ [c1, c2] = [0, 0] ⇔ c1= c2= 0.

Hệ vec-tơ v1= [1, 2, 3], v2= [0, 1, 2], v3= [−2, 0, 1] trong R3

là độc lập tuyến tính vì hệ thức

c1v1+ c2v2+ c3v3= 0
tương đương với

c1 − 2c3= 0

2c1+ c2 = 0

3c1+ 2c2+ c3= 0

và hệ phương trình (tuyến tính thuần nhất) này có nghiệm duy nhất

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Ví dụ

Trong khơng gian vec-tơ P2xét các vec-tơ

v1
v2

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Ý nghĩa hình học

Hai vec-tơ v1, v2∈ R3 là

độc lập tuyến tính⇔ v1, v2khơng đồng phương (a);

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Ý nghĩa hình học

Ba vec-tơ v1, v2, v3∈ R3 là

độc lập tuyến tính⇔ v1, v2, v3khơng đồng phẳng (hình trái);

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Tính chất

Cho (V, +,·) là một không gian vec-tơ.

Hệ một vec-tơ v∈ V phụ thuộc tuyến tính ⇔ v = 0.

Chứng minh ⇒:

v phụ thuộc tuyến tính ⇒ tồn tại c ̸= 0 sao cho c · v = 0.

Nhân hai vế với c−1 ta có

v = (c−1c)· v = c−1(c· v) = c−1· 0 = 0.

u = c1· v1+ . . . + cn· vn (với ci∈ R)

thì biểu diễn này là duy nhất.

Hệ vec-tơ v1, . . . , vn∈ V phụ thuộc tuyến tính

⇔ (ít nhất) một vec-tơ vi là tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ

cịn lại.

Nếu S ={v1, . . . , vn} độc lập tuyến tính,

thì mọi tập hợp con của S cũng độc lập tuyến tính.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Tính chất

Cho (V, +,·) là một khơng gian vec-tơ, và n > 1.
Hệ vec-tơ v1, . . . , vn∈ V độc lập tuyến tính

⇔ mỗi vec-tơ u ∈ V, nếu tồn tại biểu diễn

u = c1· v1+ . . . + cn· vn (với ci∈ R)

thì biểu diễn này là duy nhất.

Hệ vec-tơ v1, . . . , vn∈ V phụ thuộc tuyến tính

⇔ (ít nhất) một vec-tơ vi là tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ

cịn lại.

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Cơ sở của không gian vec-tơ

Cho (V, +,·) là một không gian vec-tơ.

Tập hợp các vec-tơ B ={v1, . . . , vn} là một cơ sở của V nếu

(i) B là một hệ sinh của V, và






0
1
..
.
0





, . . . , en=





0
0
..
.
1




]

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Cơ sở chính tắc

Các vec-tơ

e1=






1
0
..
.
0





, e2 =







1, x, x2, . . . , xn

lập thành một cơ sở (chính tắc) của Pn.

Các vec-tơ
[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Cơ sở chính tắc

Các vec-tơ





, . . . , en=





0
0
..
.
1






lập thành một cơ sở (được gọi là cơ sở chính tắc) của Rn.

Các vec-tơ

1, x, x2, . . . , xn

lập thành một cơ sở (chính tắc) của Pn.

Các vec-tơ

B là cơ sở của Rn

⇔ c1v1+ . . . + cnvn=u có nghiệm duy nhất∀ u ∈ Rn

⇔ det(v1, . . . , vn)̸= 0 (theo quy tắc Cramer).

Ví dụ: Do

1 0 1
2 1 0
3 2 1

Các vec-tơ [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] lập thành một cơ sở.
Các vec-tơ [1, 2, 3], [0, 1, 2], [1, 0, 1] cũng lập thành một cơ sở.

Nhận xét:

(i) Mỗi khơng gian vec-tơ có thể có nhiều cơ sở.

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Nhận xét về số vec-tơ trong cơ sở

Trong không gian vec-tơ R2:

Các vec-tơ [1, 0], [0, 1] lập thành một cơ sở (chính tắc).
Các vec-tơ [1, 1], [0, 1] cũng lập thành một cơ sở.
Trong không gian vec-tơ R3:

Các vec-tơ [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] lập thành một cơ sở.
Các vec-tơ [1, 2, 3], [0, 1, 2], [1, 0, 1] cũng lập thành một cơ sở.
Nhận xét:

(i) Mỗi khơng gian vec-tơ có thể có nhiều cơ sở.

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Nhận xét về số vec-tơ trong cơ sở

Trong không gian vec-tơ R2:

Các vec-tơ [1, 0], [0, 1] lập thành một cơ sở (chính tắc).
Các vec-tơ [1, 1], [0, 1] cũng lập thành một cơ sở.
Trong không gian vec-tơ R3:

d1v1+ d2v2+ . . . + dnvn= 0
với

di= c1ik1+ c2ik2+ . . . + cmikm (i = 1, . . . , n).
Do S độc lập tuyến tính, nên di= 0 (i = 1, . . . , n).

Ta thu được hệ n phương trình tuyến tính thuần nhất theo m ẩn k1, . . . , km.

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Tính chất về số vec-tơ trong các cơ sở

Cho V là một khơng gian vec-tơ.
Nếu V có một cơ sở gồm n vec-tơ,
thì mọi cơ sở của V đều có n vec-tơ.

Chứng minh: Giả sử

S1={v1, . . . , vn}

là một cơ sở gồm n vec-tơ của V, và

S2={u1, . . . , um}

là một cơ sở khác của V.

Theo tính chất độc lập tuyến tính cực đại của cơ sở:

S1là cơ sở, S2 độc lập tuyến tính =⇒ m ≤ n.
S2là cơ sở, S1 độc lập tuyến tính =⇒ n ≤ m.

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Số chiều của khơng gian vec-tơ

Thật vậy, giả sử S phụ thuộc tuyến tính. Ta có thể bỏ đi một số vec-tơ trong S
để thu được tập hợp S1gồm k < n vec-tơ độc lập tuyến tính. Khi đó

span(S) = span(S1).

Như vậy V = span(S1), và do S1độc lập tuyến tính, nên S1cũng là cơ sở của V.

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ con

2 Mô tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận
Không gian hạt nhân, số khuyết

 .

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Ví dụ

Trong khơng gian vec-tơR2 xét

cơ sở chính tắc B′ =

{[
1
0
]
,
[
0
1
]}
,

cơ sở B =
{[
1
0
]
,
[
1
2
]}
,

cơ sở chính tắc B′ =

{[
1
0
]
,
[
0
1
]}
,

cơ sở B =
{[
1
0
]
,
[
1
2
]}
,

vec-tơ x =
[
5
4

ma trận chuyển cơ sở B1 sang cơ sở B2 nếu

uj = c1jv1+ . . . + cnjvn.

Theo ngơn ngữ tích ma trận:

(u1. . . un) = (v1. . . vn)C.

Ví dụ: C =



1 0 12 1 0
3 2 1


 là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của

R3 sang cơ sở gồm 3 vec-tơ


12

3

 ,


01

Không gian vec-tơ con

2 Mô tả khơng gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận

Không gian hạt nhân, số khuyết

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Hạng của ma trận

Cho A = (aij)m×n là một ma trận.

Vec-tơ hàng thứ i của A là

ri=[ai1 ai2 . . . ain].

Vec-tơ cột thứ j của A là

cj =

[

amj= αm1d1j+ . . . + αmkdkj.

Đặt αi=[α1i . . . αmi]t. Ta thu được dạng rút gọn của hệ phương trình trên:

cj= d1jα1+ . . . + dkjαk.

Như vậy, mỗi vec-tơ cột của A đều là tổ hợp tuyến tính của k vec-tơ α1, . . . , αk. Do đó

span(c1, . . . , cn) = span(α1, . . . , αk),

và hệ quả là dim(span(c1, . . . , cn)) = dim(span(α1, . . . , αk))≤ k,
tức là dim(không gian cột của A)≤ dim(không gian hàng của A).

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

Một số tính chất khác

rank(A) = rank(At).
Chứng minh:

Vec-tơ hàng (cột) của A tương ứng với vec-tơ cột (hàng) của At.

Nếu ma trận A tương đương theo dòng với ma trận B,
thì khơng gian hàng của B cũng là không gian hàng của A.

Chứng minh:

Biến đổi sơ cấp theo hàng không làm thay đổi tương quan độc lập
tuyến tính / phụ thuộc tuyến tính giữa các vec-tơ hàng của ma trận.

Áp dụng:

Chứng minh:

Biến đổi sơ cấp theo hàng không làm thay đổi tương quan độc lập
tuyến tính / phụ thuộc tuyến tính giữa các vec-tơ hàng của ma trận.

Áp dụng:

rank(A) = rank(B), với B là dạng bậc thang thu gọn của A.

Ví dụ:

A =



1 23 6 −2 1−5 4

1 2 0 3



 → B =


1 2 00 0 1 31

0 0 0 0


 .

N(A) ={x ∈ Rn| Ax = 0}

được gọi là không gian hạt nhân của A.

Số chiều của N(A) được gọi là số khuyết của A:

nullity(A) = dim(N(A)).

Tính chất: Nếu A là một ma trận cỡ m× n, thì

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Chứng minh tính chất

Giả sử rank(A) = r.
Biến đổi sơ cấp theo hàng:

A → B =

[

Ir C

0 0

]

.

Ta có

Cho A∈ Mm,n và b∈ Rm. Giả sử Ax = b có nghiệm.

Mọi nghiệm x của hệ phương trình Ax = b đều có thể biểu
diễn dưới dạng

x = xp+ xh,

trong đó

xp là một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính khơng thuần

nhất Ax = b (nghiệm riêng),

xh là một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Ví dụ

Giải hệ phương trình

x1 − 2x3+ x4= 5
3x1+ x2− 5x3 = 8

x1+ 2x2 − 5x4=−9

Lời giải: Ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình là



13 01 −2−5 10 58

x3
x4



 =





2s− t + 5
−s + 3t − 7

s
t




 = s





2
−1
1
0

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80></div>

Trích đoạn Tổ hợp tuyến tính Ví dụ Các vec-tơ e 1 = [ 1 , 0 ], v 2 = [ 0 , 1 ] trong R phụ thuộc tuyến tính ⇒ tồn tại c ̸= sao cho · = 0 Nhân hai ế ớic−1ta có Nhận xét về số vec-tơ trong cơ sở Cơ sở trong không gian vec-tơ hữu hạn chiều

Nhờ tải bản gốc

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Slide 4 Đại số Tuyến Tính – Không gian Vecto – Lê Xuân Thanh – UET – Tài liệu VNU - Pdf 70

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Học thêm