10

Chơng II: Các tiên đề của Cơ học lợng tử.
Toán tử, hàm riêng và trị riêng

2.1. Các đại lợng quan sát đợc và các toán tử
a) Tiên đề 1
Nội dung: Mỗi đại lợng quan sát đợc hay biến số động lực
A

trong Cơ học lợng tử tơng ứng với một toán tử
A

sao cho phép đo
A
thu đợc các giá trị đo đợc
a
là các trị riêng của
A

, nghĩa là các
giá trị
a
là những giá trị mà phơng trình trị riêng

aA
=

có
nghiệm


x
p
x
i
=


h
, (1)
trong đó
x
p
là các giá trị khả dĩ mà ta sẽ thu đợc khi đo thành phần
trên trục
x
của xung lợng; hàm sóng
( )
x

tơng ứng với một giá trị
xác định của xung lợng
( )
x
p
là hàm mà
( )
dxx
2

là xác suất tìm thấy

h
p
k
=
. Nh vậy
( )
x

là
hàm tuần hoàn theo
x
.
Ta hy tìm bớc sóng

:
( )

+
=
xikikx
ee
=

kik sincos
+




=

có bớc sóng là bớc sóng De Broglie

h
.
Vậy hàm riêng và trị riêng của toán tử xung lợng là
( )
ikx
k
Aex
=

;
kp
h
=
. (2)
c) Toán tử năng lợng
H


Toán tử tơng ứng với năng lợng là toán tử năng lợng hay
toán tử Hamilton
H

, trong đó
p
r
đợc thay bởi
p



=

. (4)
Đây chính là phơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời
gian.
12
Xét hạt tự do:
2
22
22


==
mm
p
H
h
. (5)
Đối với hạt tự do một chiều, ta có phơng trình trị riêng
( ) ( )
xEx
xm

=



2
22


là hàm riêng của toán tử
H

tơng ứng với trị riêng năng
lợng
m
k
E
2
22
h
=
.
( )
k
h
chính là xung lợng của hạt tự do vì với hạt tự do thì năng
lợng
m
k
m
p
E
22
222
h
==
.
Ta nhận thấy rằng hàm


thì

cũng là hàm riêng của
H

.
Thật vậy, do

là hàm riêng của
p

r
nên ta có


kp h
r
=

.
Do đó
( )
( )
( )
( )

m
k
p

cũng là hàm riêng của
H

.
Cả năng lợng và xung lợng của hạt tự do có các giá trị liên
tục:
m
k
E
2
22
h
=
;
kp
h
=
; (7)
nghĩa là chúng là trị riêng của bất cứ số sóng
k
nào.
Hàm riêng tơng ứng là

( )
ikx
k
Aex =

.
Nếu hạt tự do ở trạng thái này thì phép đo xung lợng chắc


. Mật độ xác suất cùng bằng
một hằng số cho mọi
x
. Vậy xác suất tìm thấy hạt ở bất cứ vị trí nào,
từ
=
x
tới
+=
x
là nh nhau.
Chú ý rằng
E
và
t
là các biến bổ sung:
h

tE
.
; nghĩa là nếu
năng lợng bất định một lợng
E

thì thời gian cần để đo
E
sẽ bất
định bởi
E

2.2. Phép đo trong Cơ học lợng tử (Tiên đề 2)
Nội dung: Phép đo biến số động lực
A
thu đợc giá trị
a
đa
hệ về trạng thái
a

, trong đó
a

là hàm riêng của toán tử
A

tơng
ứng với trị riêng
a
.
Ví dụ: hạt tự do chuyển động một chiều. Ta không biết hạt ở
trong trạng thái nào. ở một thời điểm bất kì, ta đo xung lợng của
hạt và đợc giá trị
kp
h=
. Phép đo này đa hệ về trạng thái
k

. Phép
đo xung lợng ngay sau đó chắc chắn thu đợc giá trị
kp

( ) ( )
'''

xxxxxx
=

(trong bểu diễn toạ độ).
Trong đó
( )
'
xx


là hàm delta Dirac.

2.3. Tiên đề 3
(Thiết lập sự tồn tại của hàm trạng thái và mối liên hệ của nó
với các tính chất của một hệ)