Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a) Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax + b
> 0 ( hoặc ax + b < 0: ax + b ≥ 0 ; ax + b ≤ 0 ) trong đó x là ẩn a, b là
các số đã cho a ≠ 0 .
b) Bất phương trình tương đương
ĐN: hai bất phương trình được gọi à tương đương nếu chúng có cùng
một tập hợp nghiệm.
Các phép biến đổi tương đương
+ Định lí 1: Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một
bất phương trình thì được một bất phương trình mới tương đương.
-

Hệ quả 1; Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất
phương trình thì được một bất phương trình tương đương.

-

Hệ quả 2: Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu
của nó thì được một bất phương trình tương đương.

+ Định lí 2:
- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì
được một bất phương trình tuơng đương.
- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổi
chiều của bất phương trình thì được một bất phương đương

II. Các dạng bài tập


2

< 2x ( x + 2) +4

b ) (x + 2 ) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) (x

+ tập
8) +
26sẽ làm cho học sinh hơi bối rối vì các em thấy lũy thừa của x khơng là
Bài
này
bậc nhất nên khơng biết làm như thế nào vì vậy giáo viên đưa ra một gợi ý nhỏ
cho các em: Hãy thực hiện các phép tính ở hai vế và thu gọn.

Hướng dẫn giải
a. ( x + 2 )

2

< 2x ( x + 2) + 4 ⇔ x2 + 4x + 4 < 2 x2 + 4x + 4

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

⇔ x2 < 2 x2 ↔ x2 > 0 ⇔ x > 0 hoặc x < 0.
Sau khi giải đến bất phương trình x 2 > 0 sẽ có nhiều học sinh biến đổi

⇔
≤
⇔ 2 − 4 x −16 ≤ 1 − 5 x
4
8
8
8
⇔ −4 x + 5 x ≤ 14 +1 ⇔ x ≤ 15
a;

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x / x ≤ 15}
x −1
x +1
3 x − 3 −12 4 x + 4 + 96
−1 ≥
+8 ⇔
≥
b) 4
3
12
12
⇔ 3 x − 4 x ≥ 100 +15 ⇔ −x ≥ 115 ⇔ x ≤ −115

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là; S = {x / x ≤ -115}
Qua bài tập này giáo viên cho học sinh rút ra cách giải bất phương trình có
chứa mẫu:

Bước 1: Quy đồng và khử mẫu
Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hạng tử bằng
số sang một vế và thu gọn bất phương trình.

Hướng dẫn giải
Bất phương trình có nghĩa khi a ≠ 0
x +1
x+2
x 1
x 2
+ ax >
− 2 x ⇔ + + ax > + − 2 x
a
a
a a
a a
⇔ ax + 2x >

2 1
−
a a

⇔ (a + 2) x >

1
a

-

Nếu a > - 2: a ≠ 0 thì nghiệm của bất phương trình là: x >

-

Nếu a < - 2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là: x

2
x
5
x
8
x 11
+
+
+
>
+
+
+
89 89 86 86 83 83 80 80
Làm như vậy cũng rất phức tạp nên giáo viên có thể cho học sinh
nhận xét về mối quan hệ giữa tử và mẫu của mỗi phân thức và hướng
dẫn học sinh tạo ra các phân thức có tử giống nhau bằng cách cộng
thêm

vào

mỗi

phân

thức

với

1


x + 91 x + 91 x + 91 x + 91
⇔
+
>
+
89
86
83
80
1
1
1 
 1
⇔ ( x + 91) 
+
−
− ÷> 0
 89 86 83 80 
⇔ x + 91 < 0 ⇔ x < −91
Bên cạnh các bài toán với yêu cầu cụ thể là giải bất phương trình thì
cịn những bài tốn mà để giải được nó thì phải đưa về bài tốn giải bất
phương trình. Bài tốn này địi hỏi học sinh phải có sự tư duy logic,
phân tích chặt chẽ.

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

⇔ 15 x +18 −12 x ≥ 15 x − 30 ⇔ −12 x ≥ −48
( 2)

⇔x≤4
Từ (1) và (2) ta có x ≤ 0 .
Bài tập mẫu

8: Tìm các số nguyên x thỏa mãn cả hai bất

phương trình
và
Hướng dẫn giải
Xét bất phương trình:

3x − 2 x
≥ + 0,8
5
2

⇔6 x − 4 ≥ 5 x + 8 ⇔6 x − 5 x ≥ 4 + 8 ⇔ x ≥12

(1)

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Xét bất phương trình:

0,2x )

b. Giá trị phân thức

1,5 − x
4x +5
nhỏ hơn giá trị phân thức
nghĩa là
5
2
1,5 − x
4 x +5

−22
⇔ x > −1
Vậy với x > - 1 thì Giá trị phân thức

1, 5 − x
nhỏ hơn giá trị phân thức
5

- Nếu m ≠ 0 thì

Vì x ≠ 1 nên

x=

2
1− m

2
≠ 1 ⇒ m ≠ −1
1− m

Nghiệm của phương trình là x =

2
với m ≠ +-1
1− m
m ≠ + − 1 m ≠ + − 1 m < 1
⇒
⇒
.
1 − m > 0  m < 1
 m ≠ −1

Phương trình có nghiệm dương khi 

Bài tập mẫu 12: Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A.
Tìm x để A > 0.


Vậy với x
0
2

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Giáo viên chú ý học sinh với một biểu thức trong đó có liên quan đế
giá trị của biểu thức thì bao giờ cũng phải tìm điều kiện để cho biểu
thức có nghĩa: các mẫu thức khác 0; phân thức chia khác 0. Sau khi tìm
được các giá trị của biến thì phải so sánh với điều kiện trước khi kết
luận.
Bài tập mẫu 13: Tìm các số nguyên a và b sao cho a2 - 2ab + b2 4a +7 < 0
Giáo viên hướng dẫn, dẫn dắt học sinh biến đổi vế trái của bất
đẳng thức sau đó đánh giá để tìm được a, b.
Hướng dẫn giải
Do a, b nguyên ta cộng 1 vào vế trái của bất đẳng thức đã cho ta
được
a2- 2ab + b2 - 4a +7 < 0



Từ đó học sinh có thể dựa vào đó để giải bài tốn.
Hướng dẫn giải

3x − 5
. Do đó
7

Theo đề bài, x là số nguyên lớn nhất không vượt qua

 3x − 5 
 7  = x ⇔

 3x − 5
− x

34 x + 19
− 2 x − 1 < 1 ⇔ 0 ≤ 12 x + 8 < 11
11
4
1
1
3
⇔ −8 ≤ 12 x < 3 ⇔ − ≤ 2 x < ⇔ − ≤ 2 x + 1

Nếu n = 70 thì tổng của 69 số cịn lại là 35

7
.69 ∉ N loại
17

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Nếu n = 69 thì tổng của 69 số cịn lại là 35

7
.68 = 2408 số bị xóa là
17

( 1 + 2 + 3 + …..+ 69 ) – 2408 = 7
Dạng 2: Bất phương trình chúa ẩn trong dấu GTTĐ.
Với dạng tốn này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu giá
trị tuyệt đối. Ta nhớ lại rằng: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng
chính nó nếu biểu thức khơng âm, bằng số đối của nó nếu biểu thức
âm.
│A│=

A nếu A≥ 0
-A nếu A < 0

Do đó để khử dấu giá trị tuyệt đối cần xét giá trị của biến làm cho

1 – 3x > 5 ⇔ −3 x > 5 − 1 ⇔ − 3 x > 4 ⇔ x
5 +1 ⇔ 3 x > 6 ⇔ x > 2
Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x > 2
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x > 2: x


3
,(2) có dạng
2


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là:

2
< x < 4.
3

Bài tập mẫu 2: Giải bất phương trình
a. │x│- x + 2 ≤ 2│x - 4│
(2)

(1)

b. │x - 1│+│x - 5│> 8

Hướng dẫn giải

a) Lập bảng xét dấu các biểu thức x và x - 4
x

0

x

-

x-4



x

1

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

5


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

x-1

-

x-5

-

0

+

│

+

│

b) │f(x) │ < g (x)

⇔ − g ( x ) < f ( x) < g ( x)

Dạng 2:
a) Với số a dương ta có: │f(x) │ > a

 f ( x) < −a
⇔
 f ( x) > a

 f ( x) < − g ( x )
b) │f(x) │ > g (x) ⇔ 
 f ( x) > g ( x )
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Dạng 3: │f(x)│ > │g(x)│ ⇔ [ f ( x)] > [ g ( x) ]
2

2

Bài tập mẫu 3: Giải bất phương trình
a) 3│2x - 1│ < 2x + 1
3x + 2 ( 2)

(1)


3(2 x − 1) < 2 x + 1 ⇔ 6 x − 3 < 2 x + 1 ⇔ 4 x < 4 ⇔ x < 1

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là

1
≤ x −2 x − 1 8 x > 2
1
x >
⇔
⇔
⇔

2
2
x
>
5


x > 5

2

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là x

8
2

Dạng 3: Bất phương trình tích, bất phương trình thương.
Với dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng
có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương. Khi sử dụng phép biến
đổi tương đương cần chú ý:
-

Tích (thương ) của hai số cùng dấu là số dương

-

Tích ( thương ) của hai số trái dấu là số âm.

0

+

0

+
x–5
+
(x – 2) ( x – 5 )

-

+
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x < 2 hoặc x > 5
Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương.
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

0


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

 x − 2 > 0
 x > 2


 x − 5 > 0 ⇔  x > 5 ⇔  x > 5
(x–2)(x–5)>0 

+

5

0

+

│

+

-

0

+

║

+

-

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x < -2; x > 5.
Bài tập mẫu 2: Giải các bất phương trình sau
a. x2 - 2x + 1 < 9

b. ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0
Hướng dẫn giải

+
x–4

-

│

+

0

-

0

+
(x + 2) ( x – 4 )

-

0

+
Nghiệm của bất phương trình là – 2 < x < 4
b. ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0

⇔ ( x − 3) ( x 2 + 3x + 9 ) ( x + 1) ( x 2 − x + 1) ( 3 − x ) ( x + 1) ≥ 0
⇔ ( x − 3) ( x + 1)

2


( x − 4 ) ( x 2 + 5)
⇔
( x + 1) ( x + 2 ) ( x − 4 )

>0⇔

x
x+2

(x

2

+ 5)

( x + 1) ( x + 2 )

> 0 ⇔ ( x + 1)( x + 2) > 0

-2
-

-1
0

+

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

>4

x2 + 2x + 2 x2 + 4 x + 5
b)
>
− 1 (2)
x+1
x+ 2
ĐK: x ≠ -1; x ≠ -2
(2)

x 2 + 2 x = 2 x2 + 4 x + 5 − x − 2 x 2 + 2 x + 2 x 2 + 3x + 3
⇔
>
⇔
>
x+1
x+ 2
x+1
x+ 2

x 2 + 2 x + 2 x 2 + 3x + 3
( x 2 + 2 x + 2)( x + 2) ( x 2 + 3x + 3)
⇔
−
>0⇔
−
>0
x +1
x+2

ĐK: xy ≠ 0; x ≠ y; x ≠ - y

 x 2 − xy + y 2   y 2 + x 2 − xy  x
A=
÷: 
÷:
 xy ( x + y )   x( x + y )( x − y )  y
=

x−y
y
= 1 − . Với A > 1
x
x

y
 xy < 0
