1. Các bứơc khảo sát hàm số y=f(x)
i) Tập xác định: (nhận định thêm về hàm số chẳn, hàm
số lẻ,hàm số tuần hoàn)
ii) Sự biến thiên:
1) Tìm giới hạn ,tiệm cận ( nếu có )
3) Lập BBT xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến
5) Tính lồi lõm , điểm uốn:
( Tính y’’, lập bảng xét dấu y’’ )
iii) Đồ thị:
•
Tìm giao điểm (nếu có) của đồ thị với trục tung và trục
hoành các điểm phụ và vẽ đồ thị đi qua các điểm đã tìm.
2) Chiều biến thiên : ( Tính y’, kháo sát dấu y’ )
4) Cực trị ( nếu có )

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y= 2x
3
-3x
2
+1
Giải:
1)TXĐ: D=R
c) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=0; y
CĐ
=1, cực tiểu tại
x=1;y
CT
=0.

y’’=12x-6 ,y’’=0 ⇔ x= 1/2
e) Tính lồi lõm, điểm uốn
x -∞ 1/2 +∞
y’’ - 0 +
ĐT lồi Đ.uốn lõm
(1/2;1/2)
3) Đồ thị: y=0 ⇔(x-1)
2
(2x+1)=0 ⇔ x=1 , x=-1/2.
x=0 ,y = 1. (1;0) và(-1/2;0) là giao điểm của đồ thị với
trục hoành và.(0;1) giao điểm của đồ thị với trục tung.

6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6 -4 -2 2 4 6
1/2
1/2
I
-1/2
1

Chú ý 1: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm

Y 2 X 3 X 1
2 2 2
   
+ = + − + +
 ÷  ÷
   
3 2
3
Y 2X X
2
= −
1 1
I ;
2 2
 
 ÷
 
3 1 1
y x
2 2 2
 
= − − +
 ÷
 
3 5
y x
2 4
⇔ = − +

Ví dụ2: Khảo sát hàm số y = -x

y’’ + 0 -
ĐT lõm Đ.uốn lồi
(1;1)
e)Tính lồi lõm, điểm uốn
3)Đồ thị: Giao điểm với trục Ox: (2;0)
Giao điểm với trục Oy: (0;2)
Tiềp tuyến tại điểm uốn(1;1) là : y=1
Chú ý:

8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
21
y
x

Tóm tắt: y =ax
3
+bx
2
+cx+d (a ≠0)
•
Tập xác định R.
•

•
Nếu y’ =0 có nghiệm kép, hàm số đơn điệu, tiếp tuyến
tại điểm uốn cùng phương với trục hoành. Đồ thị có dạng
sau:
Nếu y’ =0 vô nghiệm, hàm số đơn điệu. Đồ thị có dạng sau:
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
8
6
4
2
-2
-4
-6

B(x
CĐ
,y
CĐ
) thì chia y cho y’ ta có :
2) Số giao điểm của đồ thị và trục hoành: (bằng số
nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm y =0).
Số nghiệm Hàm số
1
2
y
CĐ
.y
CT
=0
3
y
CĐ
.y
CT
< 0
Do đó, y = αx+β là đường thẳng đi qua hai điểm cực
đại và cực tiểu của đồ thị.
y = y’(ux+v) + αx+β⇒ y
CT
= αx
CT
+β và y
CĐ
= αx

lim lim (1 )
x x
x
x x
→± ∞ →± ∞
= − − = +∞
•
Đồ thị không có tiệm cận:
hambac4.gsp

x -∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ -3 +∞
-4 -4
e) Tính lồi lõm , điểm uốn:
y’’=12x
2
-4 , y’’ = 0 ⇔
3
3
3
3
x = ±
3
3
−
3
3
3
3