2
23
x
x
+
2
π
1
2
+x
x
3
x
Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 12
PHẦN I : GIẢI TÍCH
I / Đạo hàm : Kiến thức : Qui tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (SGK), các bài toán
liên quan : + Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
+ Chứng minh đẳng thức
+ Giải pt, bất pt
• Áp dụng :
VD 1: Tính đạo hàm của y= cos
2
x – sin2x tại x =
Có y’ = -2cosx.sinx - 2cos2x
Nên y’( ) = -2cos . sin - 2cos2
 y’( ) = -1
BT tự giải : Tính đạo hàm của hàm số tại điểm
1/ y = sin2x tại x = π b/ y = tgx – cotgx tại x =
2/ y = (2x
2

+ x.cos
2
x.e
sinx

nên y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.e
sinx
= 2cosx.e
sinx
-x.sinx.e
sinx
+x.cos
2
x.e
sinx
–(e
sinx
+ x.cosx.e
sinx
)
cosx +x.sinx.e
sinx
-cosx.e
sinx
=0 (đpcm)
BT Tự giải :
1/ Cho y = e
x
.cosx cmr : 2y - 2y’ + y ” = 0
2/ Cho y = ln

π
4
π
3
π
4
π
4
π
4
π
4
π
4
π
73
24
+− xx
xx
xx
sincos2
2sincos
+
−
1
2
+x
Đề cương ôn tập môn toán lớp 12— THPT. 0977467739
A. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
1/ Điều kiện để h.số đơn điệu (đồng biến/nghòch biến)

3
– 3mx
2
(m+2)x –m đồng biến trên TXĐ
b/ y = mx
3
+x
2
+ (2m-1)x + 3m nghòch biến trên TXĐ
c/ y = nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
d/ y = đồng biến trên từng khoảng xác đònh
e/ y = nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
☺  HD : + Xét trường hợp đặc biệt nếu có (hệ số của x có mũ cao nhất bằng 0)
+ Giải điều kiện đồng biến, nghòch biến theo đặc điểm của hàm số đó.
2/ Cmr hàm số đơn điêïu (đồng biến, nghòch biến) :
VD : Cmr ∀m hàm số y = -x
3
+2mx
2
-2m
2
x +1 nghòch biến trên R
Giải : TXĐ : D= R
Để cm hàm số nghòch biến trên R ta cm y’ ≤ 0 ∀x ∈ R
Thật vậy : y’ = -3x
2
+4mx -2m
2
(y’ là tam thức bậc hai có hệ số a = -3 <0)
y’ có ∆’ = -2m

mx
mmx
+
+−
102
1
12
2
−
−−
x
mxx
2
2
+
++
x
mxmx
mx
mmx
−
++
12
2
12)2(
2
+
−+++
x
mxmx

Hàm
edx
cbxax
y
+
++
=
2
(d≠0) có CĐ và CT y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
Hàm
dcx
bax
y
+
+
=
không có cực trò
2/ ÁP DỤNG
VD : Tìm m để hàm số y =
1
12
2
−
−+−
x
mmxx
có CĐ và CT
Giải : TXĐ : D = R\{1}
y’=
2

4
+ 2(m-2)x
2
+m +1 có cực đại và cực tiểu
c/ y = có cực đại và cực tiểu
d*/ y = -x
3
+3mx -2m có cực đại tại x = 1
f*/ y = có cực tiểu tại x = 2
Cmr ∀m, hàm số
a/ y = x
3
+mx
2
-x +m-2 luôn có cực trò
b/ y = luôn có cực trò
☺  HD : Cm y’ = 0 có 2 nghiệm phâm biệt thuộc TXĐ
c*/ y = luôn có 2 điểm cực trò . Tìm m để khoảng cách giữa
hai điểm cực trò là nhỏ nhất.
C. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐỒ THỊ H.SỐ CÓ ĐIỂM UỐN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
3
1
2
2
−
+−
x
mmxx
mx
mxx

0
;y
0
) 
VD : Tìm m để đồ thò hàm số y = mx
3
+ 6x+ 2m
2
-1 có điểm uốn U(0;1)
Giải : TXĐ D=R
y’ = 3mx
2
+6 ; y” = 6mx
Điều kiện bài toán  
Kết luận : m =±1
• Bài tập tự giải
a. Tìm a và b để đồ thò hàm y = x
3
-ax
2
+bx -2 có điểm uốn U(
3
2
; -3)
b. Tìm m để đồ thò hàm y = x
4
- 2x

x
Có f(1) = 7 ; f(0) = 5 ; f(3) = -17
Vậy trên [0;3] hàm số đạt : GTLN là f(1) = 7 và GTNN là f(3) = -13
• Bài tập tự giải : Tìm GTLN và GTNN của
a/ f(x0) = x
3
-6x
2
+10 trên [-3;3]
b/ f(x) = -x
4
+2x
2
-4 trên [-2;2]
E/ VIẾT PT TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ (C) CỦA HÀM SỐ y = f(x)
1/ Dạng 1 : Tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x
0
;y
o
)
PP: PTTT của (C) tại M có dạng y = y’(x
0
)(x-x
0
) +y
0
Cần tìm hệ số góc y’(x
0
) rồi kết luận
(nếu chỉ biết hoành độ x

- Do điều kiện tiếp xúc nên hệ sau có nghiệm :



+=
=
bkxxf
kxf
)(
)('
- Giải hệ tìm b rồi kết luận
VD : Viết PTTT của (C ):
1
−
=
x
x
y
biết hệ số góc của tiếp tuyến là -1
Giải : Có
2
)1(
'
−
−
=
x
x
y
Gọi PTTT cần tìm : y = -x +b

1
)
PP : Gọi PTTT cần tìm : y =k(x-x
1
) + y
1
- Do điều kiện tiếp xúc nê hệ sau có nghiệm :



+−=
=
11
)()(
)('
yxxkxf
kxf
- Giải hêï tìm k rồi kết luận
VD : Viết PTTT của (C) :y = x
3
-6x
2
+3, biết tiếp tuyến đi qua điểm M (6;3)
Giải : Gọi PTTT cần tìm : y = k(x-6) +3
- Do điều kiện tiếp xúc nê hệ sau có nghiệm :






e/ y = -x
3
+6x
2
-3 vuông góc với đt (d) : y = -
9
1
(x-100)
5
(1)
(2)
2
63
2
−
+−
x
xx
1
22
2
+
++
x
xx
1
12
+
−
x

Giải : Pt (1)  x
3
-3x
2
= m -1
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường



−=
−=
1
3
23
my
xxy
Dựa vào đồ thi ta có
y
-1 0 1 2 3
x
-2
(d)
(C)
-4
6
+



−<

41
01
m
m
m
m
(d) và (C) có 2 điểm chung nên (1) có hai nghiệm
+ -4< m-1 < 0  -3<m< 1