ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI –KHỐI B
CÂU I:
1. Khảo sát (xét sự biến thiên ,vẽ đồ thò) hàm số :
2
1
1
x x
y
x
  


.
Gọi đồ thò là (C)
2. Chứng minh rằng với mọi gía trò của m ,đường thẳng y=m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A ,B .Xác đònh giá trò của
m để độ dài đoạn AB ngắn nhất.
CÂU II:

Giải các phương trình sau đây:
1.
2
4 1 4 1 1x x   

2.
2
sin 3 cos .cos 2 .( 2 )x x x tg x tg x 

3.
2 2
72 6( 2 )
x x x x

1. Chứng tỏ rằng H là tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABC và
SA BC

2. Tính thể tích hình chóp
CÂU V:

Cho các số a ,b ,c kháckhông thoả mãn
0
7 5 3
a b c
  

Chứng minh rằng đồ thò hàm số y=ax
4
+bx
2
+c luôn cắt trục hoành Ox tại ít nhất một điểm có hoành độ thuộc
khoảng (0 ,1)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI – Khối B
Câu I:
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:

2
x x 1
y (C)
x 1
  




x 1
x


 BBT:

 Đồ thò:
2) Chứng minh rằng
 đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Xác đònh m để độ dài đoạn
AB ngắn nhất.
Phương trình hoành độ giao điểm:

2
2
2
2 2
2
x x 1
m
x 1
x x 1 m x m
x (m 1) x m 1 0
(m 1) 4(m 1) m 2 m 5
(m 1) 4 0, m
  



P
    
   2 2 2
2 2
2
A B ( m 1) 4(m 1) m 2m 5
A B (m 1) 4
A B (m 1) 4
Min(A B) 2 khi m+1=0 m= -1
        
   
   
  

Câu II:
1) Giải phương trình:
2
4x-1 4 x 1 1  

 Điều kiện:

2
1
x
4 x 1 0
4
1 1


2
2 4 x
f'(x) 0
4 x 1
4 x 1
  


 f(x) tăng khi

1
x
2

Mặt khác:
1
( ) f(x)=1=f
2
 

 
 
Phương trình

Do đó phương trình có đúng một nghiệm
1
x
2


 Khi đó:
Phương trình
2
2
sin x sin 2 x
sin 3 x cos x cos 2 x
cos 2 x
cos x
 
  
 
 
 2
2 2
2
sin x
sin 3x cos 2 x cos x sin 2 x
cos x
sin 3x cos x cos 2 x sin x sin 2 x cos x
2sin 3 x cos x (2 cos 2 x sin x) sin x (2sin 2 x cos x) cos x
2sin 3 x cos x (sin 3 x sin x) sin x (sin 3 x sin x) cos x
sin 3x cos x sin 3x sin x sin x sin x cos x
sin
 
  
 
 


 


 


loại
nhận
loại

Đáp số:
x ( )k k Z

 

3) Giải:
2 2
x x x x
P .A 72 6(A 2P )  

Điều kiện:
x 2, x Z 

Khi đó: Phương trình
2 2
x x x x
P .A 72 6 A 12P   


    
vì x 2)

Câu III:

1) Tìm x để P = x(1 – x)(x – 3)( 4 – x) nhỏ nhất
Ta có: P = x(4 – x)(1 – x)(x – 3)
=(4x – x
2
)(4x – x
2
- 3)
Cách 1:
Đặt t = 4x – x
2
= 4 – (x – 2)
2
≤ 4
Khi đó P = t(t – 3)= t
2
– 3t
Ta có:
 
3
P' = 2t 3, P' = 0 t =
2

Bảng biến thiên:

4 x x
2 4 4
P    
 
 
     
 
 
 
 
 

Vậy:
2
9 3
MinP 4 x x 0
4 2
     4 6
x
2

 

Câu IV:
Tìm họ nguyên hàm:
I tg x cotg x d x
3 6


Vậy:
tg x tg x
3 3
I 1 d x
2
tg
3
 

 
   
  
   
 
   
 
 
 
 
 
3
x ln cos x ln cos x c
3 3 3
cos x
3
3

H
P
N

1) H là tâm đường tròn nội tiếp  ABC.
HM BC
SM BC
SH BC
vẽ
ta có


 




 Góc của (SBC) và (ABC) là SMH = 60
0

Tương tự vẽ HNAB; HPAC thì góc


0
SNH=SPH=60

 SHM = SHN = SHP  HM = HN = HP
 H là tâm đường tròn nội tiếp ABC.

ABC cân  HAM với MI là trung điểm BC.