ĐÁP ÁN TOÁN KHỐI A

Câu Lời giải Điểm
I.1.(1đ) Tập xác định: . 
Giới hạn tại vô cực: .
()
lim
x
fx
→±∞
=∞∓() ()
() ()
2
'66;'0
19;13.
fx x fx x
ff
=− + = ⇔ =±
−=− =
1.
−∞ 1
Bảng biến thiên:

x
− 1 +∞
f ’(x)

− + −


-
2
x
3

+

6
x

-

4
0,25

0,5


0,25
0,25 Số tiếp tuyến đi qua
A phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1).
Xét hàm số
()
ln 1
f
aaa=−−
. Ta có:

()
()
1
'1;
'0
fa
a
fa a
=−
=⇔=
1.

Bảng biến thiên của
()

2
2
ln 5ln 7
ln 5ln 6
2
1
1
ln 5ln 6 0,(1)
xx
xx
xx
x
x
xx
−+
−+
=⇔
⎡
=
⎢
=⇔
⎢
−+=
⎢
⎣

Mặt khác: (1)
2
3
ln 2
0,5 0,25
II.2.(1đ) Ta có:

00
cos12 cos18 4cos15 cos 21 cos24
cos12 cos18 2(cos36 cos 6 )cos24
cos12 cos18 2cos36 cos 24 2cos 24 cos 6
cos12 cos18 cos 60 cos12 cos30 cos18
13
cos60 cos30
2
oo ooo
oo ooo
oo oo o
oo o
oo
+− =
+− + =
+− −
+−−−−
+
=− − =−

tuyến tại C hiển nhiên là 2c. Vậy
2
ab
c
+
=
.
Độ dài
()
()
()()
2
22
22
1AB ba b a ba ab=−+− =− ++.
Phương trình đường thẳng AB:

()()
() ()
2
2
22
0.
xa ya
abxa ya
ba
ba
a b x y ab y a b x ab
−−
=⇔+−=−

⎟
⎜
−
+− −
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
−
===
++ ++ ++
2
1

Diện tích tam giác ABC: ()()
()
()
()
23
2
2
11
.1.
22 8
41
ba ba

b
a
a
xx
S a b x ab x dx a b abx
ba ba
ab abba
ba
ba
ab ab a abb
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
=+−− =+−−
⎟
∫
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
−−
.
− −− =
−
−
0,5

IV(1đ)
S

C’

D
′
D C
B’

A B S

C’
I

A
H C

(
)
()
(
)
()
22 2 2 2
222 22
2
2
2
2
12 12
312 12 3
12
11
.
3
12 1
x
yx yxxx yx
A
xyy xy
y
x
y
x
+
−+
==

() ()
()
()
2
22
2
2
11
;
4
1
41 1
21
'
4
21 2 21
;
1 241
'021 2
2, 1
44 4 4,(2)
(2) 8 0 8.
t
ft
t
tt
t
ft
t
ttttt

. Do đó, ta có bảng biến thiên sau:
()
lim 0
t
ft
→+∞
=
t
0 8
+
∞
()
'
f
t
+ 0 -

()
f
t
1/6
0 0

0,25

[
]
0;1/ 6
nên tập hợp
mọi giá trị của A là
1
0;
18
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
CHÚ Ý. Thí sinh có thể dùng bất đẳng thức để chỉ ra giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất tương ứng bằng 0 và 1/18 rồi kết luận rằng tập hợp
mọi giá trị của
A là
1
0;
18
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
Cách làm này không thật chặt chẽ vì không chỉ ra được


3 1) 2(2 3) 4 0
13 13 0 1.
tt
tt
−+ −−=⇔
−=⇒=

Vậy ta có . Dễ thấy điểm B ứng với giá trị t = 2 nên có
(
2; 1I −
(
)
5;1B
.
Tiếp theo,
()(
33.2;16;IC IM==−=−
)
3

   
nên có
()
8; 4C −
.


Như vậy, tập hợp tâm các mặt cầu đi qua
O và tiếp xúc với hai mặt
phẳng đã cho là đường tròn giao tuyến của mặt cầu
S và mặt phẳng R.
Nói cách khác, đó
là tập hợp các điểm có ba toạ độ x, y, z thoả mãn
hệ phương trình:

222
210
5.
xy
xyz
⎧
++=
⎪
⎪
⎨
⎪
++=
⎪
⎩

0,5

B
CC CCC=+ ; do đó

33 222
45 345
6
12
4.10 3.6.10 5
924 21
CC CCC
B
A
C
+
+
==
=.

0,5

Phần riêng theo chương trình Nâng cao

VIb.1(1đ)
Rút y từ phương trình của rồi thế vào phương trình của , ta được:
1
d
2

11
kk k
yk
kk
−
=+=
++Suy ra:

()
()
()
2
2
2
22
22
2
2
24 2
22
22
12
11
1
12 4
1.
11

⎝⎠
++
⎝⎠
+
−++
==
++

Vậy
giao điểm của hai đường thẳng di chuyển trên đường tròn tâm
O,
bán kính bằng 1. 0,5
0,5
VIb.2(1đ)
Giả sử S có phương trình . Do

⎩
Suy ra a = b = c = ½ và d = 0. Vậy mặt cầu S có phương trình:

222
0xyzxyz++−−−=
(tâm là I( ½, ½, ½), bán kính
111 3
444 2
R =++=
).

Tiếp theo, giả sử S’ có phương trình
. Do S’ đi qua A’, B’, C’,
222
2' 2' 2' ' 0xyz axbyczd++− − − += 0,25

−−+=
⎪
⎪
⎪
⎪
−−+=
⎪
⎪
⎩
.

Suy ra
51
'' ,' ''
44
ac b d== = =
1. Vậy mặt cầu S’ có phương trình:

222
515
10
222
xyz x y z++−−−+=
.
(tâm là I’( 5/4, 1/4, 5/4), bán kính
25 1 25
'1
16 16 16
R =++−
.


0,25
0,5 VIIb(1đ) Giả sử căn bậc hai của 15 + 112i là x + yi. Khi đó:

()
2


Đặt , thì (1) trở thành:
2
,( 0)xtt=≥

2
2
15 3136 0;
225 12544 12769 113 ;
15 113
64.
2
tt
t
−− =
Δ= + = =
+
==

Suy ra 8, 7.xy=± =±
Vậy
căn bậc hai của 15 + 112i có hai giá trị là
()
87.i±+
0,5