Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện - Pdf 72

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. [1H3-2.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho tứ diện đều ABCD Tính góc giữa vectơ.
DA



và BD


A. 60 B. 90 C. 30 D. 120

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng.

Chọn D

Vì ABCD là tứ diện đều ADB là tam giác đều ADB60

Vẽ DE BD  . Khi đó DA BD,   DA DE,  ADE180  ADB120

   

Cách 1:

Ta có

  2

2
1

2 .

2 2



 



  



  



  

OM OA OB a

OM BC OB

BC OC OB .

2 2 2

  

BC OB OC a và

2 2

1 1 2

2 2 2

   a

OM AB OA OB

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Do đó:

   

a

.
Cách 2:

Nguyễn Ngọc Thảo ; Fb: Nguyễn Ngọc Thảo

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Ta có: O0;0;0 , A0; ;0a  , B a ;0;0 , C0;0;a ,

; ;0
2 2
 
 
 
a a
M
.

Khi đó ta có:   ;0; 



BC a a

, 2 2; ;0

 

2
. 2.
2


a
a
a 1
2

  


; 120

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BC OM

ABCD là hình vng. Tính góc giữa A C và BD.

A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .

Lời giải

Tác giả: Đặng Phước Thiên; Fb: Đặng Phước Thiên

Chọn A

Vì ABCD là hình vng nên BDAC.

Mặt khác AAABCD  BDAA.

Ta có '  

BD AC

BD AA C BD A C

BD AA



 

   








  




Mặt khác ta lại có AB CD nên IJ EFIF JE. Hay tứ giác IJEF là hình thoi. Suy ra
IEJF.

Vậy góc giữa IE và JF bằng 900.

Câu 7. [1H3-2.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hình chóp S ABC. có SA SB và CA CB . Góc
giữa hai đường thẳng SC và AB bằng

A.30o. B. 45o. C.60o. D.90o.

Lời giải

Tác giả: Trần Lê Cường; Fb: Thầy Trần Lê Cường

Chọn D

Ta có SA SB và CA CB nên các tam giác SAB và CAB lần lượt là các tam giác cân tại S
và C.

Gọi H là trung điểm của AB (tham khảo hình vẽ), suy ra SH và CH là các đường trung

. 90. B. 45. C. 60. D. 30.

Lời giải

Tác giả:Trần Công Diêu; Fb:Trần Cơng Diêu

Cách 1. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng
BCD .

Ta có ABAC AD nên suy ra H là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác BCD .

Lại có

 

 
60

BAD BAC BC BD

H BM AH ABM



   

    .

        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        

.
Chọn A

Câu 9. [1H3-2.3-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho hình
chóp .S ABCD có đáy là một hình vng, SA vng góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình

chiếu vng góc của A lên các đường thẳng SB , SD . Gọi P là giao điểm của SC và AMN
. Khi đó góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng

A. 6



. B. 2



BDSA (do SAABCD).

Suy ra BDSAC mà APSAC nên suy ra BDAP.  2

Từ  1 và  2 suy ra MN AP hay góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng 2



Bài tập tương tự:

Câu 10. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là một hình vng, SA vng góc với đáy. Gọi M là hình
chiếu vng góc của A lên đường thẳng SB . Khi đó góc giữa hai đường thẳng AM và SC
bằng

A. 6



. B. 2



. C. 3



. D. 4



. B. 2



. C. 3



. D. 4


.
Ghi nhớ:
●
//
a b
c b
c a

 


 .
●
 
 
d



  
 .

Câu 12. [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho hình lập phương
.

ABCD A B C D    . Góc giữa hai đường thẳng CD và AC bằng

A. 30 . B. 90 . C. 60 . D. 45 .

Lời giải

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ta có:

CD C D

CD AC

CD AD

 



 

 

Tương tự với các cặp cạnh đối còn lại.

Bài tập tương tự

Câu 14. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 15. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD, , đơi một vng góc với nhau. Số đo góc giữa hai đường
thẳng AB và CD bằng:

A.300. B.90 .0 C.600. D.45 .0

Ghi nhớ: Tứ diện đều có các cặp cạnh đối vng góc.

Câu 16. [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho tứ diện .S ABC có

; 2

SA SB SC  ABAC a BC a . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

A. 0. B. 120 . C. 60 . D. 90 .

Lời giải
Chọn C.

Gọi M N P lần lượt là trung điểm của , ,, , BC SB SA . 
Góc giữa AB và SC là góc giữa PN và MN .

định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Góc giữa hai đường thẳng B D  và AA bằng 60 .
B. Góc giữa hai đường thẳng AC và B D  bằng 90 .
C. Góc giữa hai đường thẳng AB và D C bằng 45 .
D. Góc giữa hai đường thẳng D C và A C  bằng 60 .

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Hiền; Fb: Lê Hiền

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

● ABCD A B C D.     là hình lập phương nên AAA B C D    AAB D 
AA B D  ,  90

   nên đáp án A sai.

● Do B D BD // nên AC B D,    AC BD,  90 (vì ABCD là hình vuông).

● Do AB CD// nên AB D C,    CD D C,  DCD 45 (vì CDD C  là hình vng).

● Do D C A B //  nên D C A C ,    A B A C ,   BA C  60 (vì A BC  là tam giác đều cạnh
2

AB ).

Câu 18. [1H3-2.3-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình lăng
trụ ABC A B C.   có độ dài cạnh bên là 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a ,

AA B C  ,  BB BC,  IBB

 .

Xét tam giác vuông ABC : BC AB2AC2 2a 2

BC

BI a

  

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Xét tam giác vuông AA I : A I'  AA2 AI2  4a2 a2 a 3.

Xét tam giác vuông A IB : B I  A B 2A I 2  a23a2 2a.

Áp dụng định lí coscho tam giác BIB: cos IBB

2 2 2

2. .

BI BB IB

BI BB

 

 

Câu 19. [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có I J, tương ứng là
trung điểm của BC và BB. Góc giữa hai đường thẳng AC và IJ bằng

A. 45. B. 60. C. 30. D. 120.

Lời giải

Tác giả: Phan Chí Dũng ; Fb: Phan Chí Dũng

Chọn B

Gọi K là trung điểm của AB vì ABCD là hình vng nên KI AC// , suy ra góc giữa AC và
IJ bằng góc giữa KI và IJ .

Ta có

1 1 1

; ;

2 2 2

IK  AC IJ  B C KJ  AB

vì ABCD A B C D.     là hình lập phương nên

AC B C  AB suy ra KI IJ JK suy ra tam giác IJK là tam giác đều, suy ra ·KIJ   .60

 
 
 
 

thì:  u u1; 2
 

- Nếu  

0
1; 2 90
u u  

thì:  

1 2
180 u u;

  

 
.

CÙNG MỨC ĐỘ

5
os

5
c  

. C.

1
os

2
c  

. D.

3
os

2
c  

Lời giải

Gọi K là trung điểm của AB vì ABCD là hình vng nên KI AC// , suy ra góc giữa AC và
IJ bằng góc giữa KI và IJ .

Ta có IK a 2,

 

Câu 22. [1H3-2.3-4] (Ngô Quyền Hà Nội) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có .    AB a và
2

 

AA a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng 

A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .

Lời giải

Tác giả: Trần Đình Thái ; Fb: Đình Tháii

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Gọi E là điểm đối xứng của A qua B.

Ta có AB B E/ /  và AB B E a   suy ra ABEB là hình bình hành.

/ /
AB BE

  AB BC,  BE BC,  EBC.

Xét tam giác BB E có BBB E  BB E vuông tại B.

2 2 2 2 2 3

    AB BC, 60 .

Vậy góc giữa đường thẳng AB và BC bằng 60 .

Câu 23. [1H3-2.4-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho tứ diện
đều ABCD . Khi đó góc giữa AB và CD bằng:

A.120. B.0. C.90. D.60.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Bích; Fb: Bich Nguyen

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Giả sử tứ diện ABCDđều cạnh a .

Ta có :    

 

2 2

. . .

cos , cos ,

CB CA CD

  2 2

2 2

. .cos . .cos .cos 60 .cos 60

CA CD ACD CB CD BCD a a

a a

 

  

 

Vậy góc giữa AB và CD bằng 90 .

Bài tập tương tự :

Câu 24. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD
và BCD vng góc với nhau. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD và BC

A. 30° B. 60° C. 90° D. 45°

Câu 25. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là trung

  

/ / '

, ', '

/ / '
a a

a b a b
b b



 




</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

 
0  a b, 90

*Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm (thuộc một trong hai đường
thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng song song với đường còn lại.

*Nếu u u1, 2
 

u u khi

a b

khi

 

   




    


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

 

Câu 26. [1H3-2.4-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam
giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

A. 120. B. 60. C. 90. D. 30.

Lời giải.

Tác giả: Văn Bùi Vũ; Fb: Van Tuan Vu.

Chọn C.
Cách 1 .

Gọi E là trung điểm của CD. Ta có: BCDcân tại B , do đó CDBE.

ACD

 cân tại A , do đó CDAE.

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
.

( Vì ABADAC, BAD BAC  60).

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

Câu 27. [1H3-2.4-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình lập phương ABCD EFGH có cạnh.
bằng a . Tính               AC EF.

A. 2a2. B. a 2. C.

2
2

2
a

. D. a2.

AC EF EG EF  . .cos ; 

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

EG EF EG EF EG EF. .cosGEF 2. .cos 45
a a  a2.

Câu 28. [1H3-2.4-2] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Cho lăng trụ tam
giác đều ABC A B C.    có tất cả các cạnh đều bằng a. Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng

BC và AB là

A. 
1

2 . B. 

        
.

Vì BBABC BBBC BB BC'. 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
do đó
2
2 0

. . cos 60

2
a
AB BC BA BCa 

   
   

   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

. Do đó chọn đáp án D.

Câu 29. [1H3-2.4-2] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam
Định Lần 1) ] Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vng cạnh là 2a ; cạnh SA a và
vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD . Tính cos với  là góc tạo bởi hai đường
thẳng SB và AM .

A. 
2

5. B.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Xét NPC có 
5
2
a
NP 
,
33
2
a
PC 

, NC a 5.

Khi đó

 2 2 2 2

cos cos

2 . 5

NP NC PC

PNC

NP NC

     

a
AM SB

a a a a

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.

Câu 30. [1H3-2.4-2] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho tứ diện ABCD có AC3a,BD4a. Gọi M
, N lần lượt là trung điểm của ADvà BC . Biết AC vng góc với BD. Tính MN.

A.
5
2

MP QN AC

QM NP BD

BD AC





 

 nên tứ giác MPNQ là hình chữ nhật có

3
2

a
MP NQ 

,
2

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

+ Ta tính được

2 2 5

2
a

Chọn A

Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của AC AD BC, ,

 

/ / , / / ( , ) ( , )

MN CD MP AB AB CD MN MP

   .

Ta có:

5
2
MN MP

(các đường trung bình).
( . . )

ABC DCB c c c  APDP

  (2 đường trung tuyến tương ứng)

PAD

  cân tại P PN  AD PN  PD2  ND2

Theo công thức đường trung tuyến ta có:

2 . 2. 25

MN MP PN

cosPMN

MN MP

 

  

 90 ( , ) 

PMN AB CD PMN

    



7 24

 

Câu 32. [1H3-2.4-2] (Lê Q Đơn Điện Biên Lần 3) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     . Tính góc
giữa AC và BD .

A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 120 .

Lời giải

Tác giả: Hà Lê; Fb: Ha Le

Chọn A

Cách 1:

Vì ABCD là hình vng nên BDAC.

Mặt khác AA ABCD  AABD.

Ta có

BD AC
BD AA





A. 60 B. 90 C. 120 D. 45

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng.

Chọn A

* Ta có   2

. ( ). . .

cos ,

.
.

SC AB SA AC AB SA AB AC AB
SC AB

a a a

SC AB
 
  
        
        
        
        

 đều nên SAB 60  (SA AB, ) 120 
 

. . .cos120

2
a

SA AB a a 

   
 
   
2
2
1
2

cos , , 120 ( , ) 180 120 60

2
a

SC AB SC AB SC AB

a


A. cos 4
3
.



B.  60 . C.  30 . D. cos 4
1
.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Ghi nhớ:
  .
cos ,
.
u v
u v
u v

 
 
 

Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v là vectơ chỉ phương của đường thẳng b

và u v,  
 

thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  nếu 0   90 và bằng 180  

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

  

Lấy    1  2 ta được:

     

2IJ  IA IB   AD BC   DJ CJ AD BC

Hay    

1 1

2 2

IJ  AD BC  AD AC AB 

. . . 60 . . 60 0

2 2

IJ CD AD AC AB AD AC

AD AD AC AC AD AC AB AD AB AC

AB AD cos AB AC cos

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23></div>

Nhờ tải bản gốc

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện - Pdf 72

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Học thêm