Buổi 4:
-ÔN TẬP KIẾN THỨC QUAN TRỌNG LỚP 7
I.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
1.Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song:
Nếu một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có:
- Một cạp góc so le trong bằng nhau, hoặc
- Một cặp góc đồng vị bằng nhau, hoặc
- Một cặp góc so le ngoài bằng nhau, hoặc
- Một cặp góc trong cùng phía bù nhau, hoặc
- Một cặp góc ngoài cùng phía bù nhau
thì hai đường thẳng a và b song song với nhau.
2.Tiên đề Ơclit :
a) Tiên đề:
Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với
đường thẳng đó.
b) Hệ quả:
- Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt
đường thẳng còn lại.
- Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song
với nhau.
3.Tính chất của hai đường thẳng song song:
Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tạo ra:
- Hai góc so le trong bằng nhau;
- Hai góc đồng vị bằng nhau;
- Hai góc trong cùng phía bù nhau;
- Hai góc so le ngoài bằng nhau;
- Hai góc ngoài cùng phía bù nhau.
4.Quan hệ giữa vuông góc và song song:
ba
cb
ca

*Định lí 2: Hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau nhưng cạnh thứ ba
không bằng nhau thì cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại.
4.Các đường thẳng đồng quy trong tam giác:
a) Trung tuyến:
Trong một tam giác ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm
của tam giác. Điểm này cách đỉnh một đoạn bằng hai lần khoảng cách từ nó đến
trung điểm của cạnh đối diện.
b) Phân giác:
+ Tính chất tia phân giác của góc:
Một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc và
ngược lại, một điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của
góc ấy.
+ Người ta cũng nói: Tập hợp (hoặc quỹ tích) các điểm cách đều hai cạnh của góc
là tia phân giác của góc ấy.
+ Các tia phân giác của các góc trong của tam giác:
Trong một tam giác, các phân giác trong đồng quy tại một điểm ; điểm này cách
đều ba cạnh của tam giác. Người ta gọi điểm này là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác.
c) Đường cao:
19
Trong tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của
tam giác.
d) Trung trực:
+ Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng:
Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút
của đoạn thẳng đó. Ngược lại, một điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì
nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
+ Người ta cũng nói: Tập hợp (hay quỹ tích) các điểm cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
+ Các đường trung trực của một tam giác:

-Ngược lại, một tam giác mà có hai trong bốn đường (trung tuyến, phân giác,
đường cao, trung trực) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
c) Tam giác đều:
*Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau
*Tính chất:
- Trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau (và bằng 60
0
)
-Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng 60
0
thì tam giác đó là một tam giác đều.
-Một tam giác cân có một góc bằng 60
0
là một tam giác đều.
-Trong một tam giác đều thì trọng tâm, trực tâm, giao điểm của các đường phân
giác trong, giao điểm của các đường trung trực là những điểm trùng nhau tại một
điểm mà người ta gọi là tâm của tam giác.
6.Các trường hợp bằng nhau của tam giác:
+ Cạnh – cạnh – cạnh
+Cạnh – góc – cạnh
+ Góc – cạnh – góc
21
HÌNH HỌC 8
CHỦ ĐỀ 1:
TỨ GIÁC
I.MỤC TIÊU:
- Học sinh được củng cố các khái niệm tứ giác, hình thang, hình thang cân, hình
bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
- Biết vận dụng thành thạo tính chất của các từ giác đặc biệt.
- Biết vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thang, hình

;
∠
D = 90
0
.
Tính góc A và góc ngoài của tứ giác tại đỉnh A?
22
x A D
B
C
120
0
60
0
90
0
Giải:
Tổng các góc trong của tứ giác ABCD:
∠
A +
∠
B +
∠
C +
∠
D = 360
0
∠
A = 360
0

0
-
∠
A = 180
0
– 90
0
= 90
0
*Bài tập 2:
a)Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình 1.
b)Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình 2.
(Tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài)
Giải:
a)Tổng các góc trong tứ giác ABCD:
∠
A +
∠
B +
∠
C +
∠
D = 360
0

∠
D = 360
0
– (
∠

0
b +
∠
B = 180
0

⇒
b = 180
0
-
∠
B = 180
0
– 90
0
= 90
0
c +
∠
C = 180
0

⇒
c = 180
0
-
∠
C = 180
0
– 120


a + b + c + d = (180
0
-
∠
A) + (180
0
-
∠
B) + (180
0
-
∠
C) + (180
0
-
∠
D)
= 720
0
– (
∠
A +
∠
B +
∠
C +
∠
D) = 720
0

A b B
C
c
Hình 2
B
C
A
Trong
∆
ACD có : AC < AD + CD
Trong
∆
ABC có : AB < BC + AC
Suy ra: AB < BC + AC < BC + CD + AD
AB < BC + CD + AD
b) Chứng minh: AC + BD < AB + BC + CD + AD
Trong
∆
ACD có : AC < CD + AD
Trong
∆
ABC có: AC < AB + BC
Cộng vế theo vế: 2AC < AB + BC + CD + AD
AC <
2
ADCDBCAB
+++
(1)
Trong
∆

∠
D ?
Giải:
a) Chứng minh AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD:
AB = AD (gt)
⇒
A thuộc đường trung trực của BD.
Có CB = CD (gt)
⇒
C thuộc đường trực của BD
Vậy AC là đường trung trực của BD.
b)Tính
∠
B;
∠
D :
∆
ABD cân tại A (AB = AD)
⇒
∠
ABD =
∠
ADB
∆
CBD cân tại C (CB = CD)
⇒

∠
CBD =
∠

D = 360
0

∠
B +
∠
D = 360
0
– (
∠
A +
∠
C) = 360
0
– (100
0
+ 60
0
) = 200
0
Do đó :
∠
B =
∠
D = 100
0
*Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD, phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau
tại E; phân giác ngoài của góc A và góc B cắt nhau tại F.
Chứng minh:
∠

∠+∠−
=






∠
+
∠
Trong tứ giác ABCD:
∠
C +
∠
D = 360
0
– (
∠
A +
∠
B)
25
C
D
B
A
D
C
E

; CB = CD. Trên tia đối của
tia DA lấy điểm E sao cho DE = AB. Chứng minh:
a)
∆
ABC =
∆
EDC.
b)AC là phân giác của góc A.
Giải:
a)Chứng minh
∆
ABC =
∆
EDC
Ta có: BA = ED(gt)
BC = DC(gt)
∠
B +
∠
ADC = 180
0

∠
EDC +
∠
ADC + 180
0
⇒
∠
B =

BAC =
∠
CAE
Vậy AC là phân giác của góc A.
*Bài tập 4: Cho tứ giác ABCD, AB + BD ≤ AC + CD. Chứng minh: AB < AC
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong
∆
OAB có: OA + OB > AB
Trong
∆
ODC: OC + OD > CD
Cộng vế theo vế , ta được:
OA + OC + OB + OD > AB + CD
⇒
AC + BD > AB + CD
Ta có: AC + CD ≥ AB + BD (gt)
Cộng vế theo vế:
26
C
B
A
D
E
A B
C
D
O
2AC + BD + CD > 2AB + CD + BD

ADCDBCAB
+++
Vậy :
ADCDBCABODOCOBOA
ADCDBCAB
+++<+++<
+++
2
.
b)Khi O là điểm bất kỳ của miền trong tứ giác:
Trong
∆
OAB : OA + OB > AB .
Trong
∆
ODC: OD + OC > DC
Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD
Tương tự: OA + OB + OC + OD > AD + BC.
Suy ra:
OA + OB + OC + OD >
2
ADCDBCAB
+++
Vậy bất đẳng thức :
OA + OB + OC + OD >
2
ADCDBCAB
+++
đúng.
Xét bất đẳng thức:

C
D
O
HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
I.HÌNH THANG:
1.Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
2.Tính chất: Trong một hình thang, hai góc kề một cạnh bên thì bù nhau.
*Nhận xét:
+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai
cạnh đáy bằng nhau.
+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và
bằng nhau.
*Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là hình thang , ta c/m nó có hai cạnh đối song
song.
3.Hình thang vuông:
*Định nghĩa: Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.
*Chú ý: Để c/m một hình thang là hình thang vuông, ta c/m nó có một góc vuông.
II.HÌNH THANG CÂN:
1.Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Tứ giác ABCD là hình thang cân
⇔
AB//CD và
DC
∠=∠
(hoặc
)BA
∠=∠
2.Tính chất:
- Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

∠
B = 2
∠
C
. Tính các góc của hình thang.
Giải:
ABCD là hình thang, AB//CD
∠
A +
∠
D = 180
0
(Hai góc kề cạnh bên bù nhau)
∠
A -
∠
D = 20
0
(gt)
Suy ra:
∠
A = 100
0
và
∠
D = 80
0
∠
B +
∠

ABCD là hình thang, AB//CD.
∠
A +
∠
D = 180
0

⇒
∠
D = 180
0
-
∠
A
∠
D = 180
0
– 130
0
= 50
0
∠
B +
∠
C = 180
0

⇒

∠

Suy ra
∆
ABC cân tại B.
⇒

∠
BAC =
∠
BCA
Mà AC là phân giác của góc A, nên:
∠
BAC =
∠
CAD
Suy ra:
∠
BCA =
∠
CAD
Do đó: BC //AD.
Vậy tứ giác ABCD là hình thang.
*Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho
AM =
2
1
BC; N là trung điểm cạnh AB. Chứng minh:
a)Tam giác AMB cân.
b)Tứ giác MNAC là hình thang vuông.
Giải:
a) Chứng minh

CAN = 90
0
Suy ra: Tứ giác MNAC là hình thang vuông.
3.Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình thang cân trong tính toán và
chứng minh:
*Bài tập 5: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD; AB < CD) , kẻ các đường cao
AE; BF của hình thang. Chứng minh DE = CF.
Giải:
Xét hai tam giác vuông AED và BFC:
∠
D =
∠
C (ABCD là hình thang cân)
AD = BC (ABCD là hình thang cân)
31
A
D
B
C
A
B
C
M
N
A B
D E F C
Suy ra:
∆
AED =
∆

∠
BDC
⇒
∆
DEC cân tại E.
Suy ra: ED = EC .
Mặt khác: DB = AC (ABCD là hình thang cân)
DB = DE + EB và AC = EC + EA
Suy ra: EB = EA .
*Bài tập 7: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD; AB > CD). CD = a và
∠
A +
∠
B =
2
1
(
∠
C +
∠
D) . Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC.
a)Tính các góc của hình thang.
b)Chứng minh AC là phân giác của
∠
DAB.
c)Tính diện tích của hình thang.
Giải:
a) Tính các góc của hình thang:
Ta có: ABCD là hình thang cân, AB//CD
Suy ra:

1
∠
D . Thay vào ta có:
∠
A + 2
∠
A = 180
0
.
32
A B
E
D C
A B
D E F C
⇒
∠
A = 60
0
=
∠
B và
∠
D =
∠
C = 120
0
.
b)Chứng minh AC là phân giác
∠

0
Vậy :
∠
DAC =
∠
CAB (cùng bằng 30
0
)
⇒
AC là phân giác
∠
DAB.
c)Tính diện tích hình thang:
∠
DCA =
∠
C -
∠
ACB = 120
0
– 90
0
= 30
0
Suy ra:
∆
ADC cân tại D (
∠
DAC =
∠

2
a
.
Vậy AB = a + 2.
2
a
= 2a.
Áp dụng định lý Pi-ta-go: AD
2
= AE
2
+ DE
2
DE
2
= AD
2
– AE
2
= a
2
-
4
3
4
22
aa
=
DE =
2

A
E
B C
D
AB = AC (
∆
ABC cân tại A)
BABD
∠=∠
2
1
(BD là phân giác
∠
B)
∠
ACE =
2
1
∠
C (CE là phân giác
∠
C)
∠
B =
∠
C (
∆
ABC cân tại A)
⇒
∠

0
A
∠−
.
Suy ra:
∠
AED =
∠
B
⇒
ED // BC
⇒
BEDC là hình thang
Hình thang BEDC có
∠
B =
∠
C nên là hình thang cân.
ED // BC
⇒

∠
EDB =
∠
DBC (so le trong)
Mặt khác:
∠
DBC =
∠
DBE (BD là phân giác

Ta có: AB // CD (gt)
Suy ra:
∠
BAC =
∠
ACD (so le trong)
∠
ABD =
∠
BDC (so le trong)

⇒

∠
BAC =
∠
ABD
∆⇒
AEB cân tại E.
⇒
EB = EA (2)
Từ (1) và (2) , cộng vế theo vế : ED + EB = EC + EA
⇒
BD = AC
34
A B
E
D C