Trần Hoàng Tuấn
Lý thuyết số và ứng dụng của nó
Xét ước chung lớn nhất của hai số nguyên a và b ,ký hiệu là: ƯCLN(a,b)
Ta biết rằng có thể biểu diễn chúng dưới dạng như sau:
. .s a t b+
Trong đó: s, t lần lượt là hai số nguyên
Như vậy , ta thấy rằng ƯCLN(a,b) có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp tuyến tính với
các hệ số nguyên của a và b.
VD: ƯCLN(35;295) = 5 và 5 = 17.35 – 2.295
1. Định lý 1: Nếu a và b là hai số nguyên dương, sẽ tồn tại các số nguyên s và t sao cho:
ƯCLN(a,b) = s.a + t.b
Chứng minh: vận dụng thuật toán Euclid, ta xét ví dụ trên như sau:
295 = 8.35 + 15 → 15 = 295 – 8.35
35 = 2.15 + 5 → 5 = 35 – 2.15
15 = 3.5
Do đó: 5 = 35 – 2.(295 – 8.35) = 17.35 – 2.295
→ ƯCLN(35;295) = 17.35 – 2.295
Các phương pháp khác có thể giải nhanh hơn nhưng ta dùng phương pháp này để phát triển
một số kết quả có ích.
Bây giờ ta vận dụng vào việc chứng minh rằng nếu một số nguyên dương có một dãy thừa số
nguyên tố, trong đó các số nguyên tố đực viết theo thứ tự không giảm dần, thì dãy phân tích
đó là duy nhất.
Trước hết, ta cần phát triển một số kết quả về tính chia hết.
a. Hệ quả 1: Nếu a,b và c là các số nguyên dương sao cho ƯCLN(a,b) = 1 và a|bc, thì a|c
CM: Vì ƯCLN(a,b) = 1 , nên theo Định lý 1 sẽ có các số nguyên s và t sao cho:
s.a + t.b = 1
→ s.a.c + t.b.c = c
( Vận dụng định lý về phép chia hết quý vị tự chứng minh )
b. Hệ quả 2: Nếu p là số nguyên tố và p|a
1
a

, với p
i
và q
j
là các số nguyên thỏa mãn điều kiện
p
1
≤p
2
≤…≤p
s
và q
1
≤q
2
≤…≤q
t
Khi loại bỏ tất cả các số nguyên tố chung, ta được hai dãy số lũy thừa:

1 2 1 2
. ... . ...
u v
i i i j j j
p p p q q q=
Trong đó không có số nguyên tố nào có mặt ở hai vế của đẳng thức, đồng thời u và v đều là các
số nguyên dương. Theo Hệ quả 2, có thể suy ra
1
i
p
chia hết cho