PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản
2
1) sin sin
2
2)cos cos 2 ,
u v k
u v k
u v k
u v u v k k
π
π π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= ⇔ = ± + ∈
¢
¢
3) tan tan ,
4) t t ,
u v u v k k
co u co v u v k k
π
π
= ⇔ = + ∈
= ⇔ = + ∈
¢

x – 3cosx = 0
4) sin
2
2x – 2cos
2
x +
3
4
= 0
5) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0
6) cos4x = cos
2
x
2. Phương trình bậc nhất theo sin và cos có dạng: asinx + bcosx = c
Cách giải: chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
sin cos
1
a b c
x x
a b a b a b
a b
do
a b a b
+ =

Ta được phương trình:
( )
2 2
2 2
os sin sin cos
sin
c
c x x
a b
c
x
a b
α α
α
+ =
+
⇔ + =
+

Ta đươc PT bậc nhất theo 1 hslg.
Ví dụ: Giải các phương trình:
( )
( ) ( )
( )
2
3
1) 3 sin cos 1
2) 2 cos2 2 sin 3
3)2sin 3 sin 2 3
4)3cos2 4sin 2 5

2cos
cos 2sin cos
10) 3
2cos sin 1
dh B
x x
x
x x x
x x
−
+
+ =
−
=
+ −
3. Phương trình dạng: asin
2
x + bsinxcosx + ccosx = d
Cách giải:
Cách 1: Dùng công thức hạ bậc để đưa về dạng 2
Cách 2: (biến đổi đưa về phương trình bậc hai
theo tan hoặc cot)
Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm của phương trình
hay không.
Khi cosx
≠
0 chia 2 vế phương trình cho cos
2
x ta
được: atan

( )
( )
0
0
1 2 3
1)sin 2 2)sin 2 3)sin 30
2 6 2 2
3
4)sin 3 5)sin 2 0 6)sin 3 1
4 2 4 6
3 1 2
7) cos 2 8)cos 2 9)cos 3 1
3 2 3 2 3
3 3
10) tan 2 3 11) tan 45 12) tan
3 3
x x x
x x x
x x x
x x x
π
π π π
π π π
π
 
= + = + =
 ÷
 
     
− = − − = − = −

c x c x
x x x
x x x x
π
π
− = − = + =
 
− = − − = + =
 ÷
 
 
+ = − + = − =
 ÷
 
− + = + + =
Bài 3: Giải các phương trình sau:
( )
0 0
1)sin 2 sin 50 2)sin 2 sin 3)sin 30 sin3
6
4)sin 3 sin 0 5)sin 2 sinx=0 6)cos 3 os2x
4 4 6
2
7) cos 2 cos 8)cos 2 cos3 0 9)cot cot 2
3 6 3 3
10) ta
x x x x x
x x x x c
x x x x x x
π

1)sin 2 cos 2)sin 2 cos 0 3)cos 30 sin 2 0
6
4) os 100 2 sin( 30 ) 0 5) tan 2 cot x 6)cot 3 tan 2x
4 6
7) tan .tan 2 1 8)cot 2 .cot 3 1 9) tan 3 .cot 1
x x x x x x
c x x x x
x x x x x x
π
π π
 
= + + = + + =
 ÷
 
   
− + + = − = − =
 ÷  ÷
   
= − = =
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) sin2x – 2cosx = 0 2) 2sin
2
x + cos3x = 1 3) 2cos
2
x + cos2x = 2
4) 8cos2xsin2xcos4x =
2
5) tan2x – tanx = 0 6) cos
2

2
2x + 7cos2x – 3 = 0 2) 5sin
2
x + 3cosx + 3 = 0 3) 6cos
2
x + 5sinx – 7 = 0
4) 3cos
2
x – 2sinx + 2 = 0 5)
2 4
1
sin cos
4
x x− + =
6) cos2x – 5sinx – 3 = 0
7) cos2x + cosx + 1 = 0 8) 3sin2x – 4cos4x = -1 9) 5cosx – 6cos2x = 2
10) 2cos
2
x – sin
2
x – 4cosx + 2 = 0 11) 9sin
2
x – 5cos
2
x – 5sinx + 4 = 0 12) cos2x + sin
2
x + 2cosx + 1 = 0
13) 3cos2x + 2(1 +
2
+ sinx)sinx – 3 -

2
2)
( )
sin 2 3 sin 2 1
2
x x
π
π
 
+ + − =
 ÷
 
3) 2sin
2
x +
3
sin2x = 3
4) 2cosx – sinx = 2 5) sin5x + cos5x = -1 6) sin
6
x + cos
6
x +
1
2
sin4x = 0
7) 1 + sinx – cosx –sin2x + 2cos2x = 0 8) 8cos
4
x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0
V. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1: Giải các phương trình sau:

1 2 3 2
1)cos3 2 cos 2)cos3 cos sin 3 sin
2 2
1
3)2 2 cos 3cos sin 0 4)2cos 2 8cos 7
4 cos
5)sin 2 2cos 2 1 sin 4cos 6)2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cos
7)sin 3 cos sin cos 3 sin cos 8)(1 s
x co x x x x x x
x x x x x
x
x x x x x x x x
x x x x x x
π
+
− + = − =
 
− − − = − + =
 ÷
 
+ = + − + + = +
− = − +
2 2
2
2
in )cos (1 cos )sin 1 sin 2
cos 2 1
9)(2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin 10)cot 1 sin sin 2
1 tan 2
cos2 sin 2

3 sin 1 14) sin cos 1 sin 2 cos sin
2
1 sin
15)tan 16)2sin cos2 cos 0
2 sin
3 cos2
17) 4cot 2 18)cos 2 3sin 2 2 3 sin 2cos 1 0
sin
tan 1 cos cos 2 cos3 2
19) tan 2 20)
cot3 cos cos2 3
x x x x x x x
x
x x x x
x
x
x x x x x
x
x x x x
x
x x x
π
+ + + = + −
+
 
− = + + =
 ÷
 
+
− = − + − + =

−
= − = +
− +
2
1
n sin 2
2
x x−
Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2
π
) của phương trình:
cos3 sin3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 

Bài 3: Tìm x
[ ]
0;14∈
nghiệm đúng của phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4= 0
Bài 4: Xác định m để phương trình 2(sin
4

∈
 
 
thỏa mãn phương trình
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
Bài 7: Cho phương trình: 4cos
3
x + (m – 3)cosx – 1 = cos2x
1. Giải phương trình khi m = 1
2. Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
;
2
π
π
 
−
 ÷
 
---Hết---
MỘT SỐ ĐỀ THI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các phương trình:

3 3
3
4 4
2
4
3 3 3
3
2
1) 24 12 6 2) 3 10 5
3) 9 ( 3) 6 4) 7 1
5) 5 1 2 6)2 3 2 3 6 5 8 0 ( 2009)
7) 3 2 2 1 8) 17 3
1 1
9) 1 2 1 10) 2
2
x x x x
x x x x
x x x x dh A
x x x x x
x x
x
x
+ + − = + + − =
− = − + − − =
− + − = − + − − = −
+ + − = + + − =
− + + = + =
−
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
3 3 3 3 4 4 2 2 2 2

+ + = = − + + =
  

+ + + + = −

+ + =

+ + = +
 
− −
 
+ + =
+ = +



+ + + = −


2
2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
( 09)
( 1) 3 0


−


+ + − =



+ + − =
+ + =
  
−
  
+ − + =
− + =
− =

 





+ + =

+ − = − + + + =
  
+
  
+ + − =

2 3 16
16) ( 03) 17) ( 03) 18)
2
2 8
3
2 1
3 2
19)
x y
x y y x
x x y x
x y
x y x
x x y y
x y
x y
y
y
x y
x xy y
x
x y
B A
x
x xy y
x
y x
y
x xy y



 
=
= +



− +
2
2 2 4 2 2 2
3 4
11 2 0
20) 21)
2 3 17 4 3 0
3 4
y
x y
x xy x y
x
x
x xy y x x y x y
y x
y

− =

 
= − + + =
  
  