TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2
TỔ TOÁN
-----  -----
NGUYỄN VĂN XÁ 


TÀI LIỆ
U THAM KH
Ả
O MÔN TOÁN


TẬP BA
MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI







ðề thi HSG môn Toán
Trang

1

MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI


1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009
Bài 1 (6 ñiểm)

1/ So sánh hai số 2009
2010
và 2010
2009
.
2/ Tìm giới hạn
2
0 3
3
1 1
lim
3 ( 1 4 1)
2 ( (1 6 ) 1 6 1)
x
x x
x x x
→
 

+ + + <
.
Bài 3 (4 ñiểm)
Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180
o
và các cạnh bên
SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3 .
Bài 4 (4 ñiểm)

1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng
2 2 2
1 2 2+ 3
+ - m + n + p
m n p
≤
.
2/ Giải hệ phương trình
3 3 2
3 3 2
3 3 2
( ) 14
( ) 21
( ) 7
x y x y z xyz
y z y z x xyz
z x z x y xyz

Tìm các hệ số a
0
, a
1
, a
2
, …,

a
n
.


2.

KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007

Câu 1:
(4
ñ
i
ể
m)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:

(4
ñ
i
ể
m)
Cho dãy s
ố

{ }
n
x
tho
ả
mãn:
0
3
1 1
3
3 2
n n n
x
x x x
+ +
=



− = +



2
(1) 5
4
( ) ( ) 4 , 0 .
f
f x x f x x x
x
=



− = − ∀ >



Câu 4:
(4
ñ
i
ể
m)

Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng cho hình vuông ABCD c
ạ
nh a và
ñ

.
2)

T
1
= 2.MA + MB + MC + MD.
Câu 5:
(4
ñ
i
ể
m)
Cho t
ậ
p h
ợ
p A =
{
0,1,2,…,2006
}
. M
ộ
t t
ậ
p con T c
ủ
a A
ñượ
c g
ọ

ậ
p con “ngoan ngoãn” bé nh
ấ
t c
ủ
a A ch
ứ
a 2002 và 2005.


3. THI HSG BẮC NINH LỚP 12 NĂM HỌC 2007 – 2008
Câu 1:
Tìm a
ñể
t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố

2
( )
2
a x
f x
a x
+

2 2
1
1
x x y x y
x y x xy

+ − =

− + = −

.
Câu 3:

Cho x
≥
1, y
≥
2, z
≥
3. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th

ệ
n ABCD. Ch
ứ
ng minh
3
2
288.
S
V
>
Câu 5:

Gi
ả
i PT nghi
ệ
m nguyên
2 2 2 2
8 2 .
x y x y xy
− − =
Câu 6:

Tìm hàm s
ố
kh
ả
vi f : (-1 ; 1)
→


Cho hàm s
ố
f(x) có
ñạ
o hàm trên
R
và th
ỏ
a mãn f(2x) = 4cosx.f(x) – 2x,
∀
x
∈
R
. Tính f

’(0) b
ằ
ng
ñị
nh
ngh
ĩ
a.
Câu 2

1.

Cho
△
ABC. Tìm giá tr

y x y x

− + =

− − =

.
Câu 3

1.

Bi
ệ
n lu
ậ
n theo k s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2 1 2
(1 )ln 1 0.
2 2 1
k kx
x
kx k

Câu 4

Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. G
ọ
i G là tr
ọ
ng tâm t
ứ
di
ệ
n và x, y,
z, t l
ầ
n l
ượ
t là kho
ả
ng cách t
ừ
G
ñế
n các m
ặ
t ph
ẳ
ng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC).

ả
s
ử

c < b < a . H
ỏ
i ba
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng
os , os , os
a c b c c c
α β γ
có th
ể
d
ự
ng
ñượ
c m
ộ
t tam giác hay không ?


5. THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12 BẮC NINH 2008
Bài 1
Tính g

ñộ
, phút, giây) nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình 3cos2x + 4cos3x = 1.
Bài 3
V
ớ
i m
ỗ
i n
∈
N
*
ñặ
t f(n) = (n
2
+ n + 1)
2
+ 1 và a
n
=
(1). (3)...(2 1)
(2). (4)... (2 )
f f n
f f f n
−

2
3 0
2
x
x
e sinx
− + − = .
Trang

3
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

4
Bài 6

M
ộ
t
ñấ
t n
ướ
c có 80 sân bay mà kho
ả

ñế
n
sân bay nào g
ầ
n nh
ấ
t. Trên b
ấ
t kì sân bay nào c
ũ
ng không th
ể
có quá n máy bay bay
ñế
n. Tìm n.
Bài 7
Hình chóp t
ứ
giác
ñề
u có tâm m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p trùng v
ớ

úng h
ệ
ph
ươ
ng trình
( ) 6
( ) 30
( ) 12
xy x y
yz y z
zx z x
+ =


+ =


+ =

.
Bài 9

Trên b
ả
ng có 2008 s
ố

1 2 2008
, ,...,
2008 2008 2008

ậ
y s
ố
còn l
ạ
i trên b
ả
ng là s
ố
nào ?
Bài 10

Cho hai
ñườ
ng tròn (O
1
; R
1
), (O
2
; R
2
) c
ắ
t nhau. Bi
ế
t r
ằ
ng O
2

ỉ
s
ố

1
2
R
R
.


6. CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG 12 TOÀN QUỐC (2007 – 2008)
Bài 1
Tìm m
ñể
2 3 4 3 ,
x x x
mx x
+ + ≥ + ∀ ∈
R
.
Bài 2

Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho
ñườ
ng tròn (C) x

i ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m nguyên
2 2
24( ) 10( ) 5 2 1040 2 3 2
x y x y y x
+ + + + + = + +
.
Bài 4

Cho
△
ABC có góc
ˆ
A tù. D
ự
ng
△
ABD vuông cân t
ạ
i D và
△
ACE vuông cân t
ạ
i E sao cho C, D khác
phía so v
ớ
i AB còn B, E cùng phía so v

Tìm gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a dãy ( )
n
x
cho b
ở
i
1
2
1
1
2
, *.
2 1
n
n
n
x
x
x n N
x
+

≠


+
và th
ỏ
a mãn f(x
24
) + f(x
10
) = 2007(x
24
+ x
10
),
∀
x
∈
R
.
Bài 7

Trên bàn có 2007 viên bi g
ồ
m 667 bi xanh, 669 bi
ñỏ
, 671 bi vàng. C
ứ
m
ỗ
i l
ầ
n l

– 3x + 3.
a – Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua A(1 ;
1
2
) và ti
ế
p xúc v
ớ
i (P).
b – M là
ñ
i
ể
m b
ấ
t kì thu
ộ
c
ñườ
ng th

ỏ
a mãn
2 2 2
2
1
a b c
ab bc ca

+ + =

+ + =

. Áp d
ụ
ng h
ệ
th
ứ
c VIET ch
ứ
ng minh a, b, c
∈
[-
4
3
;
4
3
].
Bài 3

x x m
+ + − = có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
Bài 4
Cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD,
ñ
i
ể
m M b
ấ
t kì. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
. .
MA AD MB BC
=

. b.
. .
MA MC MB MD

. Suy ra 1 + cos2
α
= 2cos
2
α
.
Bài 1 (1
ñ
i
ể
m) Tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố

a.
2
2 4
2 3
x x
y
x
− −
=
+
. b.

y x x
= − +
.
b – Dùng
ñồ
th
ị
trên bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2
2 3 0
x x m
− + =
.
Bài 3
(2
ñ
i
ể

n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang

6
Bài 4
(2
ñ
i
ể
m) Các c
ạ
nh AB và CD c
ủ
a t
ứ
giác ABCD kéo dài thì vuông góc v
ớ
i nhau. Hãy tính di
ệ
n tích
c
ủ
a t
ứ
giác này n
ế
u AB = 12cm, BC = 17cm, CD = 4cm, DA = 5cm.

ứ
ng minh r
ằ
ng AM ⊥DE.


9. THI HSG LỚP 10 THPT YÊN PHONG 2 (ñợt 1)
Câu 1 Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a.
3
3
1 2 2 1
x x
+ = − . b.
2
2
1 1
3
x x x x
+ − = + − .

Câu 2
Gi
ả
i h
ệ

. 3.
2 2 2
2 3
2 0
2 3 4 0
x y x y
x y x

− + =

+ + − =

.
Câu 3
Tìm m
ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình x
2
+ mx + m
2
+ 6m < 0 có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ

ệ
n tích
△
MBN
ñạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t.
Câu 5
Cho hai
ñườ
ng tròn (O) và (O’),
ñ
i
ể
m M n
ằ
m ngoài c
ả
hai
ñườ
ng tròn này. D

nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
+ +
=
+ +
.
Bài 2
Ch
ứ
ng minh
0 0
4cos36 cot7 30' 1 2 3 4 5 6+ = + + + + + .
Bài 3
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
3
2

y l
ầ
n l
ượ
t các
ñ
i
ể
m A, B, C. G
ọ
i H là hình chi
ế
u c
ủ
a
O trên (ABC). G
ọ
i , ,
α β γ
l
ầ
n l
ượ
t là góc g
ữ
a OH v
ớ
i Ox, Oy, Oz. Ch
ứ
ng minh r

a/ Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
.
b/ Xác
ñị
nh m
ñể
hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
và các giá tr
ị
c
ự
c tr
ị
cùng d
ấ
u.
Bài 2 Cho m > 1 và ba s
ố

− − = có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
0
x
trên
ñ
o
ạ
n [1 ;2] và
0
9
8
x
>
.
Bài 4

a/ Cho F(-3 ;0) và (
△
) 3x + 25 = 0. Tìm qu
ỹ
tích
ñ
i
ể
m M trong m
ặ

α
- sin
α
+ 1 = 0 (
α
∈
R
).


12. THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001)
Bài 1 (4
ñ
i
ể
m) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1.

(2
ñ
i
ể
m) sinx(cos2x + cos6x) + cos
2
x = 2.
2.

n
u
u n
u
+
= ∈
−
N
*.
1.

Ch
ứ
ng minh u
n
< 0,
∀
n
∈
N
*.
2.

V
ớ
i m
ỗ
i n
∈
N

n
và u
n
.
Bài 3
(4
ñ
i
ể
m) Gi
ả
i h
ệ

27 4
1 1 5
4 27 6
1
log log
6
27 4 1
x x
y
x
y x

+ =




ố
c
ộ
ng có công sai không chia
h
ế
t cho 6 thì s
ố
bé nh
ấ
t trong chúng là 3.
Bài 5 (4
ñ
i
ể
m) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, th
ể
tích b
ằ
ng 1cm
3
. Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng SA, SB, SC
ñ
ôi m
ộ