1
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
1. Định nghĩa
Biểu thức đại số là một tập hợp các số hoặc viết rõ hẳn hoặc biểu thị bằng chữ được nối liền
với nhau bởi dấu của các phép tính, ( cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa).
Chẳng hạn : 9 hoặc 9a hoặc
2
9 2a b−
hoặc
2
9 2a x by c− +
...
 Các chữ đại diện cho một số xác định được gọi là hằng số.
 Các chữ đại diện cho một số không xác định được gọi là biến số.
2. Giá trị của biểu thức
Giá trị của biểu thức đại số là kết quả khi thay các chữ trong biểu thức đại số bằng giá trị cụ
thể và thực hiện các phép tính.
Chẳng hạn :
Biểu thức 9a khi
1a
=
thì
9 9.1 9a
= =
.
Biểu thức
2
9 2a b−
khi
2a
= −

các số và các biến.
Chẳng hạn : 3 hoặc
3a
hoặc
2
3a x
hoặc
3
3a xy
...
 Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức.
 Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.
 Số 0 được gọi là đơn thức không, không có bậc.
2. Đơn thức đồng dạng : Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0, có cùng
phần biến và mỗi biến có cùng phần số mũ.
Chẳng hạn :
3ax
và
5ax−
;
2 3
2a y
và
2 3
7
2
a y−
...
Muốn cộng ( trừ ) các đơn thức đồng dạng ta cộng ( trừ ) các hệ số với nhau và giữ nguyên
phần biến.

c)
( )
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
5 4 3 5 4 3 2a m x a m x a m x a m x a m x− − = − − = −

2
d)
2 2 2 2 2
4 3 5 4 3 5 2
3 2 6 3 2 6 3
ax y ax y ax y ax y ax y
 
− + = − + =
 ÷
 
Ví dụ 2 : Tìm đơn thức
A
biết
a)
4 3
5 2
xy xy A= +
b)
2 2 2
5 7 4a xy A a xy a xy− = +
c)
3 2 3 2 3 2
5 2 11 9
7 3 21 7
x y A x y x y− = −

x y A x y x y− = −
⇔
3 2
2 5 11 9
3 7 21 7
A x y
 
= − +
 ÷
 
⇔
3 2 3 2
3 31 31
.
2 21 14
A x y x y= =
d)
2 3 2 3 2 3
2 3 5
3 4 2
am y am y A am y− = +
⇔
2 3
3 2 5
1
4 3 2
A am y
 
= − −
 ÷

7 2 14 9
5 3 15 5
a x A a x a x− = −
với
2a = −
,
1
3
x =
d)
2 3 2 3 2 3
1 3 5
3
2 4 3
am y am y A am y− = −
với
2
3
a =
,
3m = −
,
2y = −
.
Bài giải
a)
3 5 6x x x A
= − +
⇔ với
3x

am y am y A am y− = −
với
2
3
a =
,
3m
= −
,
2y = −
.
3. Nhân đơn thức
Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân phần biến với nhau. ( với số mũ
bằng tổng các số mũ ).
Muốn chia hai đơn thức, ta nhân đơn thức bị chia với nghịch đảo đơn thức chia.
Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính
a)
( )
2 2
3 . 2a x m x−
c)
( )
2 2 3
5 . . 3am x a mx amx−
b)
2
1 2 6
. .
2 3 5
xy xy

 
− = = −
 ÷
 
c)
( )
2 2 3 4 4 5
5 . . 3 15am x a mx amx a m x− = −
d)
3 2 3
2 2 2 3 2 3
4 3 5 4.3.5 5
. .
3 2 6 3.2.6 3
a m y
m y ax y a y a m y= =
Ví dụ 2 : Tìm đơn thức
A
biết
a)
2
4 2
.
5 3
xy x y A=
b)
2 2 2
.5 7 4A ax y a xy a xy= +
c)
3 2 3 2 3 2

ax y x
= + = ⇔ = =
c)
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
5 2 11 9 2 5 11 9
. .
7 3 21 7 3 7 21 7
x y xy A x y x y xy A x y x y x y− = + ⇔ = − −

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 5 11 9 15 11 27 23
.
3 7 21 7 21 21
xy A x y x y x y x y x y
− −
⇔ = − − = =

⇔
3 2 2
23 2 23
:
21 3 14
A x y xy x y= =
.
d)
2 3 2 3 2 3
3 2 5
.
4 3 2
my A am y am y am y− + =

3 5 6 .mx mx x A
= −
với
2m
= −
b)
2 3 2
.
5 2 3
xy A xy xy= −
với
1
2
x =
,
1
3
y = −
c)
2 2 2
7 2 14 9
: .
5 3 15 5
a x ax A a x a x= +
với
2a
= −
,
1
3

; với
2m
= −
thì
( )
1 2
. 2
3 3
A = − = −
.
b)
2 3 2
.
5 2 3
xy A xy xy= −
⇔
2 9 4 5
.
5 2.3 6
xy A xy xy
−
= =
⇔
5 2 25
:
6 5 12
A xy xy= =
với
1
2

2 2 3 2 3 2 3
3 1 5
. 3
4 2 3
a my A am y am y am y= − −
⇔
2 2 3 2 3 2 3
3 1 5 18 3 10 5
. 3
4 2 3 2.3 6
a my A am y am y am y
− −
 
= − − = =
 ÷
 
⇔
2
2 3 2
5 3 10
:
6 4 9
my
A am y a my
a
= =
với
2
3
a =

2 3a x xy+
hoặc
2 3
2 3 5ax bx a y+ −
hoặc
3 2
2 3 5 7x x x+ − +
 Bản thân đơn thức cũng là một đa thức.
 Mỗi đơn thức trong đa thức gọi là một hạng tử của đa thức.
 Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức đó.
2. Cộng trừ đa thức
 Muốn cộng hai đa thức với nhau ta viết đa thức nọ sau đa thức kia với dấu của chúng.
 Muốn trừ hai đa thức với nhau ta viết đa thức bị trừ và đa thức trừ với dấu ngược lại.
3. Nhân đơn thức với đa thức
( )
a b c d ab ac ad
+ + = + +
Quy tắc : Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của
đa thức rồi cộng các tích với nhau.
Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính
a)
( )
2 3 2
2 3 4 5 3x x x x− + −
b)
( ) ( )
2 2 2
8 3 4 3m x my y ny mxy− + − −

c)

c)
2 3 2 3 4 3 2
1 3 1 1
6 1 2
3 2 2 3
xy xy x y x y x y xy
 
+ − = + −
 ÷
 
d)
2 2 3 3 3 5 2 3 2
3 2 4 1 3 3
2
4 3 5 2 5 2
a x ax a x ax a x a x a x
 
− + − = − − +
 ÷
 
Ví dụ 2 : Rút gọn, rồi tính giá trị của biểu thức
a)
( ) ( )
A x x y x y x= + − −
với
3x = −
;
2y =
.
b)

0A
=
.
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 2 2 2 2 8 4 4 2 2B x x y y x y y y x x xy xy y y xy= + + + − + = + + + − −

2 2
8 6B x xy y= + +
với
1
2
x =
;
3
4
y = −
thì
2 2
1 1 3 3 9 9 5
8 6 2
2 2 4 4 4 16 16
B
     
= + − + − = − + =
 ÷  ÷  ÷
     
c)
( ) ( )

( ) ( )
3 4 3 2 6 5 0x x x x− − + =
⇔
2 2
12 9 12 10 0x x x x− − − =
⇔
19 0x
− =
⇔
0x
=
.
b)
( ) ( ) ( )
5 2 3 4 2 2 3 2 0x x x x x− + − + − =
⇔
2 2
10 15 4 8 6 4 0x x x x x− + − + − =
⇔
8 15 0x
− =
⇔
15
8
x =
.
c)
( ) ( ) ( )
3 2 2 1 5 3x x x x x x− + − = +
⇔

7 9 0x + =
vô nghiệm
x
.
4. Nhân đa thức với đa thức
( ) ( )
a b c d e ac ad ae bc bd be
+ + + = + + + + +
Quy tắc : Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với
từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính
a)
( ) ( )
2 2 2 2
8 3 4 2 3m x my y ny nx my− + − −
b)
2 3
1 3
2 3 6 1
3 2
ax ax ax a x
  
− + + −
 ÷ ÷
  

c)
1 1
2 2
2 2

2 12 3 2 18 3
2 3 2
a x a x ax a x a x ax ax a x= + − − − + + + −
2 3 4 3 2 2 2 4 2 3
1 1 9
2 12 3 20 3
2 3 2
a x a x ax a x a x ax a x= + − − − + + −
.
c)
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 4 4
2 2 4 4
x y x y x xy xy y x y
  
− + = + − − = −
 ÷ ÷
  
.
d)
( )
( )
2 3 2 2 3 2
2 3 4 5 1 8 10 2 12 15 3 8 22 17 3x x x x x x x x x x x− − + = − + − + − = − + −
.
Ví dụ 2 : Tìm x biết
a)
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 3 2 3 2 4 1x x x x x+ − + + − = +

⇔
2 2
2 3 6 3 2 3 2 9 4x x x x x x x− + − + − − + = −
⇔
2
3 12x =
⇔
2
4x =
⇔
1
2x = −
;
2
2x =
.
c)
( )
( ) ( )
2 2
3 3 2 3 7 1x x x x x x+ − − + = −
⇔
3 2 3 2
3 3 9 2 3 0x x x x x+ − − − =
⇔
3
9 0x x− =
⇔
( )
2

. 2a b a b a b a ab ba b a ab b+ = + + = + + + = + +
nên
( )
2
2 2
2a b a ab b
+ = + +
Bình phương của tổng hai số bằng bình phương số thứ nhất, cộng hai lần tích số thứ
nhất với số thứ hai, cộng bình phương số thứ hai.
Ví dụ 1 : Áp dụng tính
a)
( )
2
x y+
b)
( )
2
2a b+
c)
( )
2
2 3a b+
d)
( )
2
3 2x +

e)
( )
2

b)
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 2.2 . 4 4a b a a b b a ab b+ = + + = + +
c)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 3 2 2.2 .3 3 4 12 9a b a a b b a ab b+ = + + = + +
d)
( ) ( )
2 2
2 2
3 2 3 2.3 .2 2 9 12 4x x x x x+ = + + = + +
e)
( ) ( )
2 2
2 2
5 3 5 2.5.3 3 25 30 9y y y y y+ = + + = + +
f)
2 2
2 2
1 1 1 1
2. .
2 2 2 4
x x x x x
   
+ = + + = + +
 ÷  ÷

e)
2
49 70 25y y+ +
f)
2
1 2
9 3
y
y+ +
g)
2 2
4 3 9
a ay y
+ +
h)
3 2 4
6
2
3 9
a y y
a + +
i)
( )
2 2
4 12 9 2. 2 3 1a ax x a x+ + + + +
Bài giải
a)
( )
2
2 2

y y y y
   
+ + = + + = +
 ÷  ÷
   
g)
2 2 2
2 2
2. .
4 3 9 2 2 3 3 2 3
a ay y a a y y a y
     
+ + = + + = +
 ÷  ÷  ÷
     
h)
( )
2 2
3 2 4 2 2 2
2
6 3 3 3
2
2. .
3 9 3 3 3
a y y y y y
a a a a
   
+ + = + + = +
 ÷  ÷
   

, ...,
2
35 3.4.100 25 1225= + =
, ...,
2
95 9.10.100 25 9025= + =
.
2. Bình phương của một hiệu
Mặt khác ta có thể tính
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2 2
2. . 2a b a b a a b b a ab b− =  + −  = + − + − = − +
 
.
Hoặc
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
. 2a b a b a b a ab ba b a ab b− = − − = − − + = − +
nên
( )
2
2 2
2a b a ab b
− = − +
Bình phương của hiệu hai số bằng bình phương số thứ nhất, trừ hai lần tích số thứ
nhất với số thứ hai, cộng bình phương số thứ hai.
Ví dụ 1 : Áp dụng tính

g)
2
3 2
x y
 
−
 ÷
 
h)
( )
2
2 3
3a m−
Bài giải
a)
( )
2
2 2
2m n m mn n− = − +
b)
( ) ( )
2 2
2 2 2
3 2. .3 3 6 9a b a a b b a ab b− = − + = − +
c)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
3 2 3 2.3 .2 2 9 12 4a b a a b b a ab b− = − + = − +
d)

     
h)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 2 2 3 3 4 2 3 6
3 3 2.3 . 9 6a m a a m m a a m m− = − + = − +
.
Ví dụ 2 : Áp dụng tính
a)
2 2
2x xn n− +
b)
2 2
9 6a ay y− +
c)
2 2
9 12 4m am a− +
d)
2
16 40 25n n− +

e)
2
36 84 49y y− +
f)
2
1
2 4
4
m m− +

16 40 25 4 2.4 .5 5 4 5n n n n n− + = − + = −
e)
( ) ( )
2 2
2 2
36 84 49 6 2.6.7 7 6 7y y y y y− + = − + = −
f)
( )
2 2
2
2
1 1 1 1
2 4 2. .2 2 2
4 2 2 2
m m m m m
   
− + = − + = −
 ÷  ÷
   
g)
2 2 2
2 2
2. .
25 10 16 5 5 4 4 5 4
x xy y x x y y x y
     
− + = − + = −
 ÷  ÷  ÷
     
h)

Ví dụ 1 : Áp dụng tính
a)
2 2
x y−
b)
2 2
4a b−
c)
2 2
9 4a b−
d)
2
9 4x −

e)
2
25 16y−
f)
2
4
9
a −
g)
2 2
49 25
x y
−
h)
4 6
36 25a b−

4 2 2 2
.
9 3 3 3
a a a a
     
− = − = − +
 ÷  ÷  ÷
     
g)
2 2
2 2
.
49 25 7 5 7 5 7 5
x y x y x y x y
       
− = − = − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
h)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 6 2 3 2 3 2 3
36 25 6 5 6 5 . 6 5a b a b a b a b− = − = − +
Ví dụ 2 : Áp dụng tính
a)
( ) ( )
.x m x m− +
b)
( ) ( )
3 . 3a y a y− +

3 2 3 2
y x y x
   
− +
 ÷  ÷
   
Bài giải
a)
( ) ( )
2 2
.x m x m x m− + = −
b)
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
3 . 3 3 9a y a y a y a y− + = − = −
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
3 2 . 3 2 3 2 9 4x a x a x a x a− + = − = −
d)
( ) ( ) ( )
2
2 2
4 5 . 4 5 4 5 16 25m m m m− + = − = −
e)
( ) ( ) ( )
2
2 2

y x y x y x y x
       
− + = − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
4. Lập phương của tổng hai số
Vì
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
2 2 3 2 2 2 2 3
. 2 2 2a b a b a b a ab b a b a a b ab a b ab b+ = + + = + + + = + + + + +3 2 2 3
3 3a a b ab b= + + +
nên
( )
3
3 2 2 3
3 3a b a a b ab b
+ = + + +
Lập phương của tổng hai số bằng lập phương số thứ nhất, cộng ba lần tích của bình
phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số
thứ hai, cộng lập phương số thứ hai.
Ví dụ 1 : Áp dụng tính
a)
( )
3

3
3 5
x y
 
+
 ÷
 
h)
( )
3
2 3
3a b+
Bài giải
a)
( )
3
3 2 2 3
3 3x y x x y xy y+ = + + +

b)
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 3 2 2 3
3 3. .3 3. . 3 3 9 27 27a b a a b a b b a a b ab b+ = + + + = + + +
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 3 3. 3 .2 3.3 . 2 2 27 54 36 8a b a a b a b b a a b ab b+ = + + + = + + +
d)

         
+ = + + + = + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
h)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2 3
2 3 2 2 3 2 3 3 6 4 3 2 6 9
3 3 3. 3 . 3.3 27 27 9a b a a b a b b a a b a b b+ = + + + = + + +
.
Ví dụ 2 : Áp dụng tính
a)
3 2 2 3
3 3x x y xy y+ + +
b)
3 2 2 3
27 27 9m m n mn n+ + +
c)
3 2 2 3
64 240 300 125a a b ab b+ + +
d)
3 2
27 54 36 8x x x+ + +
e)
2 3
343 735 252 125y y y+ + +
f)
2 3
1
27 3

( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 2 3
27 54 36 8 3 3. 3 .2 3.3 .2 2 3 2x x x x x x x+ + + = + + + = +
e)
( ) ( ) ( )
2 3 3
2 3 3 2
343 735 252 125 7 3.7 .5 3.7. 5 5 7 5y y y y y y y+ + + = + + + = +
f)
3 2 3
2 3 2 3
1 1 1 1 1
3. . 3. .
27 3 3 3 3 3
y
y y y y y y
     
+ + + = + + + = +
 ÷  ÷  ÷
     
g)
3 2 2 3 3
3 2 2 3
3. 3. .
8 4 6 27 2 2 3 2 3 3 2 3
n an a n a n n a n a a n a
         
+ + + = + + + = +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷

Lập phương của hiệu hai số bằng lập phương số thứ nhất, trừ ba lần tích của bình
phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số
thứ hai, trừ lập phương số thứ hai.
Ví dụ 1 : Áp dụng tính
a)
( )
3
x m−
b)
( )
3
3m n−
c)
( )
3
3 2x a−
d)
( )
3
5 3x −
e)
( )
3
4 3y−
f)
3
1
3
x
 

3 3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 3 3. 3 .2 3.3 . 2 2 27 54 36 8x a x x a x a a x x a ax a− = − + − = − + −
d)
( ) ( ) ( )
3 3 2
2 3 3 2
5 3 5 3. 5 .3 3.5 .3 3 125 225 240 27x x x x x x x− = − + − = − + −
e)
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 2 3
4 3 4 3.4 .3 3.4. 3 3 64 144 108 27y y y y y y y− = − + − = − + −
f)
3 3 2
2 3 2 3
1 1 1 1 1
3. . 3. .
3 3 3 3 27 3
x
x x x x x x
     
− = − + − = − + −
 ÷  ÷  ÷
     
g)
3 3 2 2 3
3 2 2 3
3. . 3. .
3 2 3 3 2 3 2 2 27 6 4 8

6 8
8 2
m
m m− + −
g)
3 2 2 3
3 3
125 100 80 64
x x y xy y
− + −
h)
6 4 2 2 3
27 6 4 8
x x y x y y
− + −
Bài giải
a)
( )
3
3 2 2 3
3 3x x n xn n x n− + − = −
b)
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 2 2 3 2 3
27 27 9 3 3. 3 . 3.3 . 3a a x ax x a a x a x x a x− + − = − + − = −
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2 3 3
3 2 2 3

3. . 3. .
125 100 80 64 5 5 4 5 4 4 5 4
x x y xy y x x y x y y x y
         
− + − = − + − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
h)
3 2 3
2 3
6 4 2 2 3 2 2 2 2
3. . 3. .
27 6 4 8 3 3 2 3 2 2 3 2
x x y x y y x x y x y y x y
     
   
− + − = − + − = −
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷
   
     
6. Tổng các lập phương của hai số
Vì
( )
( )
2 2 3 2 2 2 2 3 3 3
a b a ab b a a b ab a b ab b a b+ − + = − + + − + = +
nên
( )
( )

x y
+
h)
6 9
216 125x b+
Bài giải
a)
( )
( )
3 3 2 2
.x y x y x xy y+ = + − +
b)
( ) ( )
( )
3
3 3 3 2 2
8 2 2 . 4 2a b a b a b a ab b+ = + = + − +
c)
( ) ( ) ( )
( )
3 3
3 3 2 2
27 8 3 2 3 2 . 9 6 4a b a b a b a ab b+ = + = + − +
d)
( ) ( )
( )
3
3 3 2
27 8 3 2 3 2 . 9 6 4x x x x x+ = + = + − +


     
 
h)
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
6 9 2 3 2 3 4 2 3 6
216 125 6 5 6 5 . 36 30 25x b x b x b x x b b+ = + = + − +
Ví dụ 2 : Áp dụng tính
a)
( )
( )
2 2
.x m x xm m+ − +
b)
( )
( )
2 2
3 . 9 3a y a ay y+ − +
c)
( )
( )
2 2
3 2 . 9 6 4x a x ax a+ − +
d)
( )
( )
2
4 5 . 16 20 25m m m+ − +
e)
( )

3 2 9 6 4
y x y y x x
   
+ − +
 ÷  ÷
   