Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 8
Bài tập 1: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:
.M = a ( a + b ) ( a + c ); N = b ( b + c ) ( b + a ); P = c ( c + a ) ( c + b ).
Bài tập 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) ( x + a ) ( x + b ) = x
2
+ ( a + b ) x + ab;
b) ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x
3
+ ( a + b + c ) x
2
+ (ab + bc + ca) x + abc.
Bài tập 3: Cho a + b + c = 2p.
Chứng minh đẳng thức: 2bc + b
2
+ c
2
a
2
= 4p ( p q )
Bài tập 4:
Cho biểu thức: M = ( x - a ) ( x - b ) + ( x - b ) ( x - c ) + ( x - c ) ( x - a ) + x
2
Tính M theo a,b,c biết rằng x =
2
1
a +
2
1
b +
2

+ 2xy + y
2
-4x - 4y + 1.
Bài tập 9. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= m. Tính giá trị của biểu thức sau theo m:
A = ( 2a + 2b - c )
2
+ ( 2b + 2c - a )
2
+ ( 2c + 2a - b )
2
.
Bài tập10. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
a) ( a + b + c )
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= ( a + b)
2
+ ( b + c)
2

2
+ y
2
) = ( a x + by )
2
Với x,y khác 0 thì
x
a
=
y
b
Bài tập 13.
Chứng minh rằng nếu: ( a
2
+ b
2
+ c
2
) ( x
2
+ y
2
+ z
2
) = ( a x + by + cz )
2
Với x,y,z khác 0 thì
x
a
=

= 3 (ab + bc + ca ).
Bài tập 16. Tính giá trị biểu thức: a
4
+ b
4
+ c
4
, biết rằng a + b + c = 0 và:
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
1
a) a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 ; b) a
2
+ b
2
+ c
2
=1.
Bài tập 17. Cho a + b + c = 0. Chứng minh a
4
+ b
4
+ c
4

;
b)
( )
( )
cabcabcbacbaabccba
++++=++
222333
3
;
Bài tập 19. Cho a + b + c = 0 chứng minh rằng
abccba 3
333
=++
.
Bài tập 20. Cho x + y = 0, x. y = b tính giá trị của biểu thức sau theo a, b.
a) x
2
+ y
2
b) x
3
+ y
3
c) x
4
+ y
4
d) x
5
+ y

Bài tập 22. Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức: A = a
3
+ b
3
+3ab(a
2
+ b
2
) + 6 a
2
b
2
(a + b) .
Bài tập 23. Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: B= a
3
+ b
3
+ c(a
2
+ b
2
) - abc .
Bài tập 24. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau nếu;

)()()(
222
bacacbcba
++
.
Bài tập 25. Chứng minh rằng nếu a

)()()())()(( accbbaabcmacbmbcam
+++=+++
Bài tập 29. Cho
1
22
=+
ba
,
1
22
=+
dc
,
0
=+
bdac
, chứng minh rằng:
0=+ cdab
.
Bài tập 30. Cho biết x, y, z # 0, và
( )
222
222
2
cba
zyx
czbyax
++=
++
++

bac
ca
acb
bc
cba
ab
B
+
+
+
+
+
=
.
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
2
Bài tập 33. Cho biết
2
111
;2
111
222
=++=++
cba
cba
. Chứng minh rằng:
abccba
=++
.

a
++
.
Bài tập 35. Cho
2222
)( cbacba
++=++
và a, b, c # 0. Chứng minh rằng:
abc
cba
3111
333
=++
.
Bài tập 36. Cho
b
c
c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++=++
chứng minh trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.
Bài tập 37. Cho a, b, c khác nhau đôi một và

222
222
+
+
+
+
+
=
;
c)
abc
c
acb
b
bca
a
M
222
22
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
.





+
a
c
c
b
b
a
1.1.1
.
Bài tập 39.Cho a.b. c = 1, và
cba
cba
111
++=++
.Chứng minh rằng trong ba số a,b,c tồn tại một số bằng 1.
Bài tập 40. Chứng minh rằng nếu
azyx
=++
và
azyx
1111
=++
thì tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a.
Bài tập 41. Các biểu thức
zyx
++

Bài tập 43. a) cho a.b.c = 2. Rút gọn biểu thức:
22
2
12
++
+
++
+
++
=
cac
c
bbc
b
aab
a
M
;
b) cho a.b.c = 1. Rút gọn biểu thức:
111
++
+
++
+
++
=
cac
c
bbc
b

222
++=
b)
222
2
222
2
222
2
bac
c
acb
b
cba
a
B

+

+

=
.
Bài tập 46. Tính giá trị biểu thức sau, biết rằng
0
=++
cba
.
=
A

a
cb
c
ba
.
.
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
3
Bài tập 47. Chứng minh rằng nếu
))(())((
22
abcaacbabcbbca
=
và các số a, b, c và a b khác 0
thì
cba
cba
111
++=++
.
Bài tập 48. Cho
0,0,0
=++=++=++
z
c
y
b
x
a






=
+
+
+
+
+
1
ba
c
ac
b
cb
a
. Chứng minh rằng:








=
+
+

cb
a
. Chứng minh rằng:








=

+

+

0
)()()(
2
2
2
2
2
2
ba
c
ac
b
cb

; d)
5
5
1
x
x
+
.
Bài tập 53. Cho a, b, c thoả mãn a, b, c # 0, và
0
=++
cabcab
. Tính
abc
accbba
P
))()((
+++
=
.
Bài tập 54. Cho a, b, c thoả mãn
))()(( accbba
+++
# 0 và
ba
c
ac
b
cb
a

222
111
zyx
P ++=
.
Bài tập 56.Rút gọn biểu thức.
a)
))((
1
))((
1
))((
1
bcaccbabcaba
A

+

+

=
b)
))((
1
))((
1
))((
1
bcacccbabbcabaa
B


+

+

=

Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 8 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên NHa
năm 2007
4