Chuyªn ®Ị 1: C¸c bµi to¸n vỊ biªn ®ỉi c¨n b¹c hai
Đề 1:
• Câu 1 :
Chứng minh : số A =
26
4813532
+
+−+
là một số nguyên.
Hướng dẫn câu 1: A =
( )
( )
1
26
26
26
132532
2
2
=
+
+
=
+
+−+
• Câu 2 :Cho a,b,c là các số thực không âm.
Chứng minh : a+ b + c =
.cbabcacab
==⇔++
• Hướng dẫn câu 2


xz2
; x + y - z =
xy2
Do đó ta có :
0
22
1
2
1
2
1111
=
−+
=−+=
−+
+
−+
+
−+
xyz
zyx
xyxzyz
zyxyxzxzy
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trò x,y,z thỏa mãn điều kiện :
zyxzyx
+−=+−
Hướng dẫn câu 4:
zyxzyx
+−=+−

xx
ta có : -3
(
)
33
2
=++
yy
(
3
2
+−
xx
)
⇔
(
)
(
)
)2(33
22
+−−=++
xxyy
Nhân hai vế (1) cho
3
2
+−
yy
ta có -3
(

Cách 2: 1 suy ra
( ) ( )
(
)
01111111
2
2
2
2
2
222
=−−⇔−−=−⇔−−=−
yxxyyxxyyx
Suy ra
11
222
=+⇒−=
yxxy
Câu 7: Cho ba số thực x, y, z khác 0 và
zyzxyx
+++=+
(1)
Chứng minh :
0
111
=++
zyx
Hướng dẫn câu 7:
Điều kiện x+y, y + z và x+z ≥0
Bình phương hai vế (1) ta có

.2
111111
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
++=
++
+++=








++
• Câu 9: a) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : A =
xx
+
b) Tìm giá trò nhỏ nhất và giá trò lớn nhất của biểu thức :B =
xx
+−
3
• Hướng dẫn câu 9 :
a) điều kiện để tồn tại
x
là x ≥ 0 do đó A =

x
−
3
suy ra y
2
= 3-x Do đó B = 3-y
2
+ y =
4
13
2
1
4
13
2
≤






−−
y
• Câu 10 :Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A = x
2
y với các điều kiện x,y là số dương
và 2x + xy = 4.
• Hướng dẫn câu 10 :
Ta có A =

+
−<
+
1
11
2
)1(
1
kkkk
b) Chứng minh rằng :
2
)1(
1
.......
34
1
23
1
2
1
<
+
++++
nn
, với mọi số nguyên dương n .
Câu 2: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 2002-2003)
Tính : T =
61230
1062315417
+

−++
Câu 8: (84/1001)
Cho số x =
33
549549
−++
a) Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phnwơng trình : x
2
- 3x - 18 = 0 .
b) Tính x .
Câu 9: (87/1001)chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức sau:
a)
15252
33
=−++
b)
6
8
33
3223223
>






−++
( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007)
Câu 10: ( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007)

2
+ c
2
≥
abccabbca
++
ĐỀ 3:
• Câu 1 :
Cho A =
20002001;19992000
−=−
B
;So sánh A và B.
Hướng dẫn : Ta có :
20002001
1
20002001
20002001
20002001
19992000
1
19992000
19992000
19992000
+
=
+
−
=−=
+

Do đó ta có : x=2001; y = 2002 ; z= 2003
• Câu 4 : ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 1 năm 2002-2003 Hà Nội)
Chứng minh đẳng thức :
1
2
3
11
2
3
1
2
3
11
2
3
1
=
−−
−
+
++
+
Hướng dẫn:
Ta có VT =
1
33
32
33
32
4

là một nghiệm của phưong trình:
x
4
- 16x
2

+ 32 = 0
Hướng dẫn: Ta có
:
03216
166438)336(4)32(4
)3362322()8(
833623228
33623228
2
0
4
0
4
0
2
0
22
2
0
0
2
0
2
0

−=>+=
a
1
thì 0a với
Phương trình đã cho tương đương a+
6
1
=
a
⇔ a
2
-6a + 1 =0 có nghiệm a
1
= 3-2
223;2
2
+=
a
- Với a
1
= 3-2
;2
suy ra
2)223()223(
223
1
223)223(
21
−=⇒+=+=
+

5
1
4
1
1
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1
++++++++++++=
B
• Câu 8 :Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức :
A =
x
x
x
x 2002
2
2001
−
+
+
−
Hướng dẫn:

2003
1
20022003
22
+
+
+
=
+
+
+
p dụng bất đẳng thức côsi ta có :
20022003
2003
≥+≥+
b
2002
và b
a
a
Do đó A ≤
2002
1
2003
1
+
; Đẳng thức xảy ra khi
4004
2002
2003

a) Tính giá trò biểu thức : P = x
3
+ y
3
- 3(x+y) + 2004.
Trong đó
3333
221721217;223223
−++=−++=
yx
.
b) Rút gọn :
P =
20072003
1
...
1713
1
139
1
95
1
51
1
+
++
+
+
+
+