Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
………………………………………………………………………………………………………
Bài 1 : Chuyên Đề Tiếp
Ví dụ 1:
Cho hàm số
3 2
3 2 5 ( )y x x x C= − + −
. viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1
Bài giải :
Với x = 1
y⇒ =
- 4
(1, 5)M⇒ −

( )C∈

' 2 '
3 6 2 (1) 1y x x y= − + ⇒ = −
; vậy tiếp tuyến tại M có dạng :
1( 1) 5 4y x y x= − − − ⇔ = − −
Ví dụ 2 : (Dự bị D2006)
cho hàm số
3
( )
1
x
y C
x
+
=
−

− −
, tiếp tuyến tại M có dạng (d) :
2
0 0 0
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0 0
3 5 3
4 4 4
( ) ( )
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x x
y x x y y x x y x
x x x x x
+ + −
− − −
= − + ⇔ = − + ⇔ = +
− − − − −
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 . suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :
2
0 0
2 2
0
0 0
0
0
0
1
5 3
4

=
−
 
−
=


Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ :
2
0 0
0
2 2
0
0 0
5 3
4
2 1
(2 1,1)
( 1) ( 1)
1
1
x x
y x
x x
B x
x x
y
y

+ −

x
x x
x x
x
M l
x x
y y
y
x
+ −
+

= = =


−
⇒

+

− +
+
= = =

−

(đpcm)
Ví dụ 3 : (D2005)
Cho hàm số
3 2

Cách giải :
* tính
' '
( )y f x=
; tính
'
0
( )k f x=
( hệ số góc của tiếp tuyến )
* tiếp tuyến tại M có dạng :
0 0
( )y k x x y= − +

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Ví dụ 4 : (ĐH Thương Mại 2000)
Cho hàm số
3
3 1 ( )y x x C= − +
, và điểm
0 0
( , )A x y ∈
(C) , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại
điểm B khác điểm A . tìm hoành độ điểm B theo
0
x
Bài giải :
Vi điểm
0 0
( , )A x y ∈

x x
x
x x
x x
− + = − − − + ⇔ − + = ⇔ − + =
=

− =

⇔ ⇔ ≠


= −
+ =


Vậy điểm B có hoành độ
0
2
B
x x= −
Khi sử lý các bài toán dạng này thông thường hệ số góc k cho ở dạng gián tiếp thông thường bài toán cho tiếp
tuyến song với đường thẳng :
1
y k x m= +

⇒
hệ số góc của tiếp tuyến
1
k k=

=
+
( tuy nhiên các em phải chứng minh khi sử dụng , xem cuốn: giúp trí nhớ Toán
học , Nguyễn Dương 2008)
Một số ví Dụ Điển Hình
Ví Dụ 1 : (ĐH Ngoại Ngữ 2001)
cho hàm số
3
1 2
3 3
y x x= − +
, viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1 2
( )
3 3
y x d= − +
http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009
Dạng 2 : Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số
( )y f x=
(C) khi biết trước hệ số góc của nó
Nếu hệ số góc của tiếp tuyến là k ta có thể lập tiếp tuyến bằng 2 cách sau
Cách 1 :
Tiếp tuyến (d) có dạng
y kx m= +
( k đã biết )
(d) tiếp xúc (C )
'
( ) (1)
( ) (2)
f x kx m

……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d)
⇒
tiếp tuyến có dạng :
3y x m= +
Điều kiện tiếp xúc :
3
2
1 2
3 (1)
3 3
1 3 (2)
x x x m
x

− + = +



− =

có nghiệm
3
3
2
1 2
4
1 2
14

 
= − =
=




= −


Với
14
3
m = −
tiếp tuyến có dạng
14
3
3
y x= −

Với m = 6 tiếp tuyến có dạnh y = 3x +6
Ví dụ 2 : (ĐH cảnh sát 1998)
Cho hàm số
2
3 3
2
x x
y
x
+ +

+ +

= −

+

có nghiệm
2x ≠ −
(2)
2
3
2
4 16 15 0
5
2
x
x x
x

= −

⇔ + + = ⇔


= −



Với
3

1
1
3
k =
; tiếp tuyến có hệ số góc
2
k

Áp dụng công thức (*) :
0
1 2
1 2
tan30
1
k k
k k
−
=
+
dễ dàng tính được
2
k
Sau đó áp dụng dạng 2 lập tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc ta tìm được 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của
bài toán đó là :
1 2 2
11 3 11 3
( ) : 4 ; ( ) : 3 ; ( ) : 3
3 3
d y d y x d y x
+ −

f x x f x x
= = + −
= + = ⇔ = −

( 1)f⇒ − =
-12
Bảng biến thiên :
x
0
−∞
-1
+∞
f’(x
0
)
- 0 +
f(x)

-12
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
0 0 0
min ( ) 12 1 , 16f x x y= − ⇔ = − =

Vậy tại điểm có
( 1,16)M −
thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị )
Cach khác :
Ta có :
2 2
0 0 0 0

2
2
( 6) 5 (1)
2
4
(2)
( 2)
x
k x
x
k
x
+

= + +

−


−

=
−


có nghiệm
2x ≠

Thế (2) vào (1) ta được :
2

( )y f x=
và điểm
0 0
( , )A x y
viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua
điểm A
Cách giải :
bước 1 : tiếp tuyến đi qua
0 0
( , )A x y
có dạng :
0 0
( )y k x x y= − +
bước 2: điều kiện tiếp xúc
0 0
'
( ) ( ) (1)
ó
( ) (2)
f x k x x y
c
f x k
= − +


=

nghiệm
bước 3: giải hệ này ta tìm được k
⇒


Điều kiện tiếp xúc :
3 2
2
1 4 4
2 3 ( ) (1)
ó
3 9 3
4 3 (2)
x x x k x
c
x x k

− + = − +



− + =

nghiệm
Thay (2) vào (1) ta được :
3 2 2 3 2
0
1 4 4 8
2 3 ( 4 3)( ) 3 11 8 0
3 9 3 3
1
x
x x x x x x x x x x
x


Vậy từ A vẽ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
Ví dụ 3 : (dự bị B 2005)
Cho hàm số :
2
2 2
( )
1
x x
y C
x
+ +
=
+
, chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điêm I của
hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C )
Bài giải:

2
2 2 1
1
1 1
x x
y x
x x
+ +
= = + +
+ +
tiệm cận đứng x = -1 ; tiệm cận xiên y = x +1 . gọi I là giao điểm của hai
đường tiệm cận trên


+

có nghiệm
1x
≠ −
Thay (2) vào (1) ta được :
2 2
2
2 2 2
( 1) 2 0
1 ( 1)
x x x x
x
x x
+ + +
= + ⇔ =
+ +
(vô nghiệm ) vậy từ I không kẻ được tiếp
tuyến nào tới đồ thị hàm số (đpcm)
http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009