Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho
(m 1)x m
(Cm) : y
xm
−+
=
−
.
Đònh m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x
0
= 4 thì
song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục.

y
|
= =
|
m
f(x)
2
2
m
(x m)
−
−

Để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm với đường phân giác
2
():y xΔ =− , ta phải có:

3m 1 3
−
⎧⎫
=∉
⎨⎬
+
⎩⎭
,1−

2
|
2
4m
y
(x m)
=
+

Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x
2
22
000
2
0
4m
14m(xm) xmx 3m
(x m)
=⇔ = + ⇔ = ∨ =−
+



•

tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1
m=−1
•

1
m
5
=−
tiếp tuyến tại
3
,0
5
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
có pt :
3
yx
5
= −

Cho
m
(C): y x 1
x1

⎨
⎪
−=
+
⎪
⎩
0

00
m
x1 k(x1)(1x)ky
x1
1
x1 k(x1)
x1
⎧
−+ = + − + +
⎪
⎪
+
⇔
⎨
⎪
+− = +
⎪
⎩+

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

00

y2
y2(x1)k
k
x1
x1
m1
(1 k)(m 1)
y2(x1)k (1k)(m1)
x1
+
⎧
+
⎧
=+− +
⎪
≠
+
⎪
⎪
+
⇔⇔
⎨⎨
+
⎛⎞
⎪⎪
=− +
+− + = − +
⎜⎟
⎩
⎪

2
= -1 và khác
0
0
y2
x1
+
+

0
0
22
00
y2
k
x1
m0
(x 1) (y 2) 4m
+
⎧
≠
⎪
+
⇔⇒
⎨
⎪
++ + =
⎩
>


0
0
T
x5
4
Ky 1
x1
(x 3)
=
⎡
=⇔−=− ⇒
⎢
=
−
⎣

•00 1
x1y 1(T):y x=⇒ =−⇒ =−
•00 2
x5y3(T):y x=⇒ =⇒ =−+8
{ } { }
12
(T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩= ∩=


⎛⎞ ⎛⎞
++
⇔− =− − ∈ − =− −
⎜⎟ ⎜⎟
−− −−
⎝⎠ ⎝⎠
(x)

0
0
2
2
00
00
0
(x )
x1
x10
g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0
(a 1)x 2(a 2)x a 2 0
≠
⎧
−≠
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
= −−+ ++=
−−+ ++=
⎩

12
12 1212
x2x2 xx2(xx)4
yy 0 0 0(1)
x1 x1 xx (xx)1
⎛⎞⎛⎞
++ +++
⇔<⇔ <⇔ <
⎜⎟⎜⎟
−− −++
⎝⎠⎝⎠

Trong đó x
1
,x
2
là nghiệm của có
0
g(x ) 0=
12
12
2(a 2)
xx
a1
a2
xx
a1
+
⎧
+=

⎪
−<≠
⎭Cho hàm số có đồ thò (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thò (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M đi qua gốc toạ độ
32
y2x 3x 12x1=+−−Ta có
|2
00
y 6x 6x 12 , M(x ,y )=+− ⇒
tiếp tuyến tại M
(C)∈

|2 32
00 0 0 0 0 0 0
0
(x )
yy (x x ) y (6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)
=−+=+−−++−−

(T) qua gốc toạ độ O(0,0)
32 2
00 0 00
:4x3x10 (x1)(4xx1)0
++=⇔+ −+=

⎟
là điểm bất kỳ thộc (C) .
Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc
2
0
0
|
(x )
k y (x 1) (1)==−

Do (T) vuông góc với đường thẳng
12
yx
33
=− +

k3
⇒=
Khi đó
2
00
x13 x 2
−= ⇔ =±
Vậy
12
4
A2, ,A(2,0)
3
⎛⎞
−

x2x3
k
(x 1)
⎧
−+
=
⎪
−
⎪
⇔
⎨
−−
⎪
=
⎪
−
⎩
có nghiệm
22
(x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x
x1
⎧
−−+=−−
⇔
⎨
≠
⎩
2
x6x30
x3 6
Cho hàm số
32
y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)=−−−++−
1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1
2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

1.m =1
2.
3
(C): y x 3x ; A(a,2) (d) : y 2 (d) : y k(x a) 2=− ∈ =⇒ = −+
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
3
2
x3xk(xa)2
3x 3 k
⎧
− =−+
⎨
−=
⎩

2
x1
f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0
=−
⎡
⇔
⎢

++++≠
⎩
⎪
≠−
⎩

Vậy điểm cần tìm là A(a,2)
;
2
aa2a
3
<− ∨ > ∧ ≠−
1
1Cho hàm số , đồ thò (C). Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến đến (C)
42
yx2x=− + −

Gọi A(0,a) , (d) là đường thẳng qua A dạng
Oy∈ :y kx a= +

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ :
42
42
3
x2x1kxa
3x 2x 1 a 0 (1)

1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng
yk(x1)= −
là tiếp tuyến của (C) khi hệ
32
2
x3x2k(x1
3x 6x k
⎧
−+=−
⎨
−=
⎩
)
3
b
có nghiệm
3
(x 1) 0 x 1 k 3⇔− =⇒=⇒=−
Vậy có 1 tiếp tuyến (d) : kẻ đến (C)
y3x=− +
2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng
y3x= −+

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ :
32
2
x3x2 3xb
3x 6 3
⎧
−+=−+

x=
.CMR hoành độ các giao điểm của
tiếp tuyến (d) với đồ thò là nghiệm của phương trình
22 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0− ++−=

2.Tìm tất cả các giá trò của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thò tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm
qũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ

1.Gọi
44
22
(a)
|
(a)
a5 a5
Ma, 3a (C) y 3a y 2a(a 3)
22 22
⎛⎞
−+∈⇒=−+⇒ = −
⎜⎟
⎝⎠
2

Tiếp tuyến tại M có phương trình
242
35
y2a(a 3)x a 3a
22
=−−++

⎪
⇔
⎨⎨
≠
++−≠
⎪
⎩
⎩

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Khi đó
K
42
KKK
xa;x3;x
K
75
yx9x
22
⎧
=− ≤ ≠
⎪
⎨
=− + +
⎪
⎩
1

Vậy quỹ tích trung điểm K là đường cong

(4 4m)(4m 4) 1 m m
44
⇔− −=−⇒=∨=

Cho hàm số
x1
y
x1
+
=
−
có đồ thò (C) . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ có thể kẻ
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Gọi A(0,a) qua A có phương trình
Oy∈ (d)⇒ ykxa= +

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
2
2
2
x1
kx a
x1 2x
x1
a(a1)x2(a1)xa10(1
2
x1 (x1)
k
(x 1)


a1 0 a 1
a1A(a,1
'0 2a20
⎧
−≠ ≠
⎧
⇔⇔=−⇒
⎨⎨
Δ= + =
⎩
⎩
)−

Cho hàm số
x1
y
x1
−
=
+
có đồ thò (C)
Tìm trên đường thẳng y = x những điểm sao cho có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thò và góc giữa 2
tiếp tuyến đó bằng
4
πGọi M(x
0

⇔
⎨
Δ= + − + + − =
⎩
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc
4
π

(2)⇔
có 2 nghiệm phân biệt thỏa
2
12 12
12 12
kk kk
tan 1 1
1k.k 4 1k.k
⎛⎞
−−
π
= =⇔ =
⎜⎟
++
⎝⎠

0
0
22
2

⎣⎦⎣⎦
⎩

0
0
2
0
x1
M( 7, 7)
x7
x18
M( 7, 7)
⎧
≠−
−−
⎧
⎪
⇔⇔=±⇒
⎨⎨
+=
⎩
⎪
⎩Cho Parabol . Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp
tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 góc 45
2
(P) : y 2x x 3=+−
0


22
1 2 12 12
(k k) 4kk (1 kk)
⇔+ − =+
(3)
Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tạo nhau góc 45
0
khi (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa (3)
|
2
2
k
m3
18m 25 0
16m 112m 193 0
44(8m25)(8m26)
<−⎧
Δ=− − = ⎧
⇔⇔
⎨⎨
+ +=
−+=+
⎩
⎩

314 314
mm
44
+−

Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4
Gọi (T) là đường thẳng
Qua A(a,4)
có dạng: y k(x a) 4
Có hệ số góc là k
⎧
= −+
⎨
⎩

Và mọi đường thẳng (T
1
) và (T
2
) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng :
12
yk(xa)4vàyk(xa)4=−+ =−+
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Do (T
1
) và (T
2
) tạo nhau 1 góc 45
0
khi
0
12
12
kk

⎧
−≠
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎡⎤
−− − =
Δ= − − − =
⎪
⎪
⎣⎦
⎩
⎩
Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 45
0
khi phương trình (2) có 2 nghiệm k
1
,k
2
(k 1)≠

và thỏa mãn hệ thức (1)
2
k0
4(a 2)
k
(a 1)
=
⎧
⎪

⎨⎨
−
⎡⎤
⎪⎪
+ −=
=+−+ +=
⎩
⎢⎥
⎪
−
⎣⎦
⎩

a12
a12
⎡
=− −
⇔
⎢
=− +
⎢
⎣
2
2

Vậy
12
A( 1 2 2,4), A( 1 2 2,4)−− −+
⎛⎞
⇒=− −−
⎜⎟
−
⎝⎠
uur

Như vậy là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI
AI
uur
Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A , có hệ số góc
|
2
00
0
(x )
4
ky 1 a 1,1
(x 1) (x 1)
⎛⎞
==− ⇒=−
⎜
−−
⎝⎠
r
2
4
⎟
là vectơ chỉ phương của (d) ; do đó
(d) (AI) a.AI 0

2
x3x2
y
x
−+
=
.Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp
tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau

Gọi M(1,m) .Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng :
x1∈=
yk(x1)m= −+

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ
2
2
2
x3x2
k(x 1) m
x
x2
k
x
⎧
−+
=−+
⎪
⎪
⎨
−

⎪
⎪
⇔Δ=− + >
⎨
⎪
−−
⎪
=−
⎪
⎩

22
12 1 2 12 12
m2
m0
(xx ) 2 (x x ) 2xx 4 (xx )
⎧
≠−
⎪
⎪
⇔<
⎨
⎪
⎡⎤
−+− +=−
⎪
⎣⎦
⎩
22
2m0

−≠ <
⎧
⎪
⇔⇔⇔=
⎨⎨
++=
=− ±
⎪
⎩
⎩
7−±

Vậy
12
M(1, 3 7),M(1, 3 7)−− −+Cho hàm số .Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ
thò (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
3
yx 3x=+
2

Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành
Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng :
yk(xm)= −

(d) là tiếp tuyến (C) khi
32
2

1
m0
m0
3
<−
⎡
⎧
Δ= + +>
⎢
⇔⇔
⎨
⎢
− <≠
≠
⎩
⎣