Luyện thi ĐH chất lượng cao Ng Dương 093 252 8949
………………………………………………………………………………………………………
Bài 1 : Chuyên Đề Tiếp Tuyến
Ví dụ 1:
Cho hàm số
3 2
3 2 5 ( )y x x x C= − + −
. viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1
Bài giải :
Với x = 1
y⇒ =
- 4
(1, 5)M⇒ −

( )C∈

' 2 '
3 6 2 (1) 1y x x y= − + ⇒ = −
; vậy tiếp tuyến tại M có dạng :
1( 1) 5 4y x y x= − − − ⇔ = − −
Ví dụ 2 : (Dự bị D2006)
cho hàm số
3
( )
1
x
y C
x
+
=
−

− −
, tiếp tuyến tại M có dạng (d) :
2
0 0 0
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0 0
3 5 3
4 4 4
( ) ( )
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x x
y x x y y x x y x
x x x x x
+ + −
− − −
= − + ⇔ = − + ⇔ = +
− − − − −
Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 . suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :
2
0 0
2 2
0
0 0
0
0
0
1
5 3
4

=
−
 
−
=


Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ :
2
0 0
0
2 2
0
0 0
5 3
4
2 1
(2 1,1)
( 1) ( 1)
1
1
x x
y x
x x
B x
x x
y
y

+ −

0
0
0 0
0
1 2 1
2 2
7
à trung diem AB
1
1 3
2 2 1
A B
M
A B
M
x
x x
x x
x
M l
x x
y y
y
x
+ −
+

= = =



song song với đường thẳng 5x - y = 0
Bài giải :
' 2
y x mx= − ⇒
hệ số góc tiếp tuyến tại M
'
( 1) 1k y m= − = +
, để tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x –
y = 0
1 5 4k m m⇔ = + = ⇒ =Ví dụ 4 : (ĐH Thương Mại 2000)
Cho hàm số
3
3 1 ( )y x x C= − +
, và điểm
0 0
( , )A x y ∈
(C) , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại
điểm B khác điểm A . tìm hoành độ điểm B theo
0
x
Bài giải :
Vi điểm
0 0
( , )A x y ∈
(C)
3
0 0 0

x x
− + = − − − + ⇔ − + = ⇔ − + =
=

− =

⇔ ⇔ ≠


= −
+ =


Vậy điểm B có hoành độ
0
2
B
x x= −
Dạng 2 : Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số
( )y f x=
(C) khi biết trước hệ số góc của nó
Nếu hệ số góc của tiếp tuyến là k ta có thể lập tiếp tuyến bằng 2 cách sau
Cách 1 :
Tiếp tuyến (d) có dạng
y kx m= +
( k đã biết )
(d) tiếp xúc (C )
'
( ) (1)
( ) (2)

Khi sử lý các bài toán dạng này thông thường hệ số góc k cho ở dạng gián tiếp thông thường bài toán cho
tiếp tuyến song với đường thẳng :
1
y k x m= +

⇒
hệ số góc của tiếp tuyến
1
k k=
. Nếu bài toán cho tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng :
2
y k x m= +

⇒
hệ số góc của tiếp tuyến
2
2
1
( . 1)k do k k
k
−
= = −
.
Nếu bài toán cho tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :
'
y k x m= +
một góc là
α
, các em có thể dùng công

Điều kiện tiếp xúc :
3
2
1 2
3 (1)
3 3
1 3 (2)
x x x m
x

− + = +



− =

có nghiệm
3
3
2
1 2
4
1 2
14
4
3 3
2,
3 3
3
2


= −


Với
14
3
m = −
tiếp tuyến có dạng
14
3
3
y x= −

Với m = 6 tiếp tuyến có dạnh y = 3x +6
Ví dụ 2 : (ĐH cảnh sát 1998)
Cho hàm số
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng :
y = -3x +2
Bài giải :
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 2

có nghiệm
2x ≠ −
(2)
2
3
2
4 16 15 0
5
2
x
x x
x

= −

⇔ + + = ⇔


= −



Với
3
3
2
x m= − ⇒ = −
tiếp tuyến có dạng :
3 3y x= − −


k

Áp dụng công thức (*) :
0
1 2
1 2
tan30
1
k k
k k
−
=
+
dễ dàng tính được
2
k
Sau đó áp dụng dạng 2 lập tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc ta tìm được 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của
bài toán đó là :
1 2 2
11 3 11 3
( ) : 4 ; ( ) : 3 ; ( ) : 3
3 3
d y d y x d y x
+ −
= = + = +
Ví dụ 4 : (ĐH Ngoại Thương 1998)
Cho hàm số
3 2
3 9 5 ( )y x x x C= + − +
. trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc

−∞
-1
+∞
f’(x
0
)
- 0 +
f(x)

+∞
+
∞
-12
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
0 0 0
min ( ) 12 1 , 16f x x y= − ⇔ = − =

Vậy tại điểm có
( 1,16)M −
thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị )
Cach khác :
Ta có :
2 2
0 0 0 0
( ) 3 6 9 3( 1) 12 12 min 12,k f x x x x k= = + − = + − ≥ − ⇒ = −
đạt được khi

0 0
1 12x y= − ⇒ = −


( 2)
x
k x
x
k
x
+

= + +

−


−

=
−


có nghiệm
2x ≠

Thế (2) vào (1) ta được :
2
2
0
2 4
( 6) 5 6 0
6
2 ( 2)

có dạng :
0 0
( )y k x x y= − +
bước 2: điều kiện tiếp xúc
0 0
'
( ) ( ) (1)
ó
( ) (2)
f x k x x y
c
f x k
= − +


=

nghiệm
bước 3: giải hệ này ta tìm được k
⇒
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Với x = 6
1
4
k→ = −
tiếp tuyến có dạng :
1 7
4 2
y x= − +
Như vậy ta kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán


− + = − +



− + =

nghiệm
Thay (2) vào (1) ta được :
3 2 2 3 2
0
1 4 4 8
2 3 ( 4 3)( ) 3 11 8 0
3 9 3 3
1
x
x x x x x x x x x x
x
=



− + = − + − + ⇔ − + = ⇔ =


=


Với x = 0
3k

=
+
, chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điêm I
của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C )
Bài giải:

2
2 2 1
1
1 1
x x
y x
x x
+ +
= = + +
+ +
tiệm cận đứng x = -1 ; tiệm cận xiên y = x +1 . gọi I là giao điểm của hai
đường tiệm cận trên
( 1,0)I⇒ −
Đường thẳng (d) qua I có dạng :
( 1)y k x= +
(d) là tiếp tuyến của (C )
2
2
2
2 2
( 1) (1)
1
2
(2)

x x x x
x
x x
+ + +
= + ⇔ =
+ +
(vô nghiệm ) vậy từ I không kẻ được tiếp
tuyến nào tới đồ thị hàm số (đpcm)
Một số ví dụ điển hình :
Ví dụ 1 : (D2007)
Cho hàm số
2
( )
1
x
y C
x
=
+
tìm điểm M
( )C∈
sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ
tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
Bài giải :

0
0 0 0
0

= − + ⇔ = − + ⇔ = +
+ + + +
Gọi
( ) oxA d= ∩

⇒
tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :
2
0
2
2
0
2 2
0
0 0
2
2
( ,0)
( 1) ( 1)
0
0
x
y x
x x
A x
x x
y
y

= +

( 1) ( 1)
0
x
y x
x
x x
B
x x
y
x x
x

= +
=


⇔ ⇒
+ +
 
=
+ +


=

Tam giác OAB vuông tại O ; OA =
2 2
0 0
x x− =
; OB =

2
1 1
. 4 ( 1)
2
2 ( 1) 4
2 1 2 1 1( )
1 1
x x x x
x y
x
x x
x
x x x x vn
x y

 
= + − − =
= − ⇒ = −

= ⇔ = + ⇔ ⇔ ⇔
 

+
= − − + +
 
 
= ⇒ =

Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán :
1 2

của (C) tạo thành một tam giác cân
Ví dụ 4: (dự bị B2007)
Cho hàm số
1 ( )
2
m
m
y x C
x
= − + +
−
tìm m để hàm số có cực đại tại A và tiếp tuyến của
( )
m
C
tại A cắt
trục oy tại B mà tam giác OAB vuông cân
Ví dụ 5: (học viện BCVT 1998)
Cho hàm số
3
12 12 ( )y x x C= − +
. tìm trên đường thẳng y = - 4 những điểm mà từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến
phân biệt tới đò thị ( C)
Bài giải :
Điểm
M
nằm trên đường thẳng y = -4 nên M( m , - 4)
Tiếp tuyến qua M có dạng :
( ) 4y k x m= − −


 
=

⇔

= + − + − =

Để từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
2≠
2 2
4
(4 3 ) 8(8 6 ) 0 3 8 16 0
4
(2) 24 12 0 24 12 0
3
2
m
m m m m
m
g m m
m
 < −



 
= − − − > + − >


⇔ ⇔ ⇔

Vấn Đề 5: Tiếp Tuyến Của Đồ Thị
bài 1: cho hàm số
2
2 10
2( 1)
x x
y
x
− +
=
−
. viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1.
bài 2 : cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
− −
=
+
. viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục ox
bài 3: cho hàm số
3
1
x
y
x
+

sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M vuông góc với đường thẳng
IM
( Dự Bị B2003)
bài 5 : cho hàm số
2
3
x
y
x
+
=
+

( )C
. viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
, biết rằng tiếp tuyến cắt hai đường tiêm
cận của
( )C
tại hai điêm A, B sao cho tam giác
OAB
vuông tại O ( Khối A 2009)

Bài 6: cho hàm số
3 2
2 3 5y x x= − +
viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến đi qua
19
( , 4)
12

. viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua
3
(0, )
2
A
Bai10: cho hàm số :
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
. qua điểm
4 4
( , )
9 3
A
kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
(ĐH Ngoại Ngữ 1998)
Bài 11 : cho hàm số
2
2 2
( 1)
x x
y
x
+ +
=
+
. chứng minh rằng từ giao điểm của hai đường tiệm cận không kẻ được tiếp
tuyến nào tới đồ thị của hàm số (B 2005)

2 1
1
x
y
x
−
=
−
, gọi I là tâm đối xứng của đồ thị . tìm điểm M thuộc đồ thị ,sao cho tiếp tuyến tại
M vuông góc với đường thẳng
IM
( Dự bị B2003)
Bài 16: cho hàm số :
3
1 2
( )
3 3
y x x C= − +
tìm trên đồ thị những điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng
1 2
3 3
y x= − +
(ĐH Ngoại Ngữ 2001)
Bài 17: cho hàm số
1
( )
1
x
y C

y C
x
=
−
, Viết phương trình tiếp tuyến
( )d
của đồ thị cắt hai đường tiệm cận tại
A,B sao cho tam giác IAB cân , I là giao điểm của hai đường tiệm cận ( D2007_dự bị)
Bài 20: cho hàm số
3
12 12 ( )y x x C= − +
tìm trên đường thẳng y = 4 mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến
phân biệt tới đồ thị
( )C
( HV Bưu Chính Viễn Thông 1998)
Bài 21: cho hàm số
3 2
3 2 ( )y x x C= − + −
Tìm trên
( )C
những điểm mà từ đó kẻ được duy nhất một tiếp
tuyến với đồ thị hàm số
( )C
( HV Bưu Chính Viễn Thông 1999)
Bài 22: cho hàm số
2
( )
1
x
y C