Trường THPT An Lão Tổ: Tốn - Tin
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
Để cm một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n∈ N ta khơng thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên được vì tập
hợp số tự nhiên là vơ hạn. Song ta có thể tiến hành các bước kiểm tra như sau
Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0
Bước 2 : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k ≥0 bất kì suy ra nó đúng
với n=k+1 .
Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥2 ta có đẳng thức :
a
n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2
b +…..+ b
n-1
)
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp .
* Khi n=2 ta có a
2
-b
2
=(a-b)(a+b) là đúng
* Giả sử đẳng thức đúng khi n=k . Tức là ta có : a
k
-b
k
=(a-b)(a

= a
k
(a-b)+ b(a
k
-b
k
) = a
k
(a-b) + b(a-b)(a
k-1
+a
k-2
b +…..+ b
k-1
)
= (a-b)[ a
k
+ b(a
k-1
+a
k-2
b +…..+ b
k-1
)] = (a-b)(a
k
+a
k-1
b +…..+ b
k
) = VP

2n 2
4.3 32n 36 64
+
+ − M
Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥1 ta ln có: (n+1)(n+2)…(2n)
M
1.3.5…(2n-1)
Bài 7 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta ln có: n
3
+2n
M
3
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta ln có:
n
16 15n 1 225− − M
A. CHIA HẾT SỐ NGUN
1. Định nghĩa: Cho hai số ngun bất kì a và b (b
≠
0). Tồn tại một và chỉ một cặp số ngun (q, r) sao
cho a = bq + r với
0 r b≤ <
.
* Nếu r = 0 thì a chia hết cho b: a
M
b
⇔
a = kb a, b, k
∈ ¥
* Nếu r
≠

m thì a
±
b
M
m
a
±
b
M
m mà a
M
m thì b
M
m
a
M
m, b
M
n thì ab
M
nm
a
M
m thì a
n

M
m
n


M
m
* Trong n số ngun liên tiếp (n∈N
*
) có một và chỉ
một số chia hết cho n.
* Trong n+1 số ngun bất kì (n∈N
*
) chia cho n thì
có hai số chia cho n có cùng số dư.
* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho một số ngun tố
p ta có thể xét mọi trường hợp về số dư của n chia
cho p.
* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân
tích m thành tíchcác thưac số đơi một ngun tố
cùng nhau rồi lần lượt chứng tỏ A(n) chia hết cho
từng thừa số đó.
* Để CM f(x) chia hết cho m thơng thường ta phân
tích f(x) thành nhân tử rồi xét số dư khi chia x cho
m.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI :
Bồi dưỡng học sinh THCS 1 GV: Lỡ Ngọc Sơn
Trường THPT An Lão Tổ: Tốn - Tin
1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p
Ví dụ : A(n) = n(n
2
+1)(n
2
+4) chia hết cho 5
n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5

a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q
b/ Nếu p và q khơng ngun tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng minh B(n) chia hết
cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q
3/ Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n)
M
m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và chứng minh
mỗi hạng tữ chia hết cho n.
4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n)
M
m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng
m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n)
+ Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức :
a
n
– b
n

M
a – b ( a
≠
b) n bất kỳ.
a
n
– b
n

M
a – b ( a
≠
- b) n chẵn.

n lẻ
c) n
4
+ 4n
3
-4n
2
-16n
M
384 với
∀
n chẵn
Bài 2. CMR: a)
4 2
n n 12− M

b)
2
n(n 2)(25n 1) 24+ − M
c) Chữ số tận cùng của số tự nhiên n và n
5
là giống nhau.
d)
3 3
(a b) 6 (a b ) 6+ ⇔ +M M
e) Cho n > 2 và (n, 6) = 1. CMR
2
n 1 24− M

g)

M
g(x)
hoặc f(x) - g(x)
M
g(x).
Cách 4 : Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia
Bài 1. Xác định các hằng số a ; b sao cho:
a) 4x
2
- 6x + a
M
(x-3)
b) 2x
2
+ x + a
M
(x+3)
c) x
3
+ ax
2
- 4
M
(x
2
+ 4x + 4)
d) 10x
2
- 7x + a
M

2n – 1
c/ n
3
– 2
M
n – 2
d/ n
3
- 3n
2
+ 3n - 1
M
n
2
+n + 1
e/n
4
– 2n
3
+ 2n
2
– 2n + 1
M
n
4
– 1
Bài 4: Tìm số dư phép chia x
99
+ x
55

2
d/ 8x
9
- 9x
8
+ 1
M
(x – 1)
2
I. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUN

1. Dạng 1: Phương trình bậc nhất.
a. Phương trình dạng: ax + by = c (a,b,c ngun)
* Cách giải: - Tách cá hệ số về tổng các số chia hết cho a hoặc b (Số nào có GTTĐ lớn hơn)
- Sử dụng dấu hiệu và tính chất chia hết của một tổng để tìm ra một ẩn .
Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình ban đầu tìm nghiệm còn lại.
- Kết luận nghiệm
Bài tập mẫu: Tìm nghiệm ngun của phương
trình: 2x + 3y = 11
Giải:
Cách 1: 2x + 3y = 11
1 y
x y 5
2
−
⇒ = − + +

x ngun khi
1 y 2 hay y = 2t + 1 t− ∈M ¢
⇒




=


nghiệm tổng qt
0 1
0 1
x x b t
y y a t
= −


= +


Vậy nghiệm phương trình là:
x 4 – 3t
y 2t 1
=


= +
Ví dụ 1 Giải phương trình: 11x + 18 y = 120
Hướng dẫn giải
11x + 18 y = 120  11x + 22y – 4y = 121 – 1

7 12
27 12
x t
y t
= −


= −


Với điều kiện nghiệm ngun dương ta có:
7 12 0
27 12 0
x t
y t
= − >


= − >

=> t = 2
Vậy nghiệm ngun của phương trình là
2
3
x
y
=


=

Bồi dưỡng học sinh THCS 3 GV: Lỡ Ngọc Sơn
Trường THPT An Lão Tổ: Tốn - Tin
Cách 1: Rút y theo x: y =
5 11 5
2
2 3 2 3
x x
x x
+ +
= +
+ +

(Do x ngun nên 2x + 3 khác 0)
Vì y ngun => x + 5
M
2x + 3 => …. 7
M
2x + 3
Lập bảng ta có: các cặp (x; y) là: (-1;6); (-1; -2);
(2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng.
Cách 2. Đưa về phương trình ước số:
Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là số
đã biết. Đặt ĐK để có x ngun.
Ví dụ 2 Tìm các nghiẹm ngun của phương trình.
x
2
+ 2y
2
+3xy –x – y + 3 =0 (1)
Hướng dẫn giải

- y
3
= xy + 8 (1)
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
. 8x y x xy y− + + =
Ta có x khác y vì
nếu x = y => x
2
+ 8 = 0 Vơ lý.
Vì x; y ngun =>
1x y− ≥
=>
2 2
8x xy y xy+ + ≤ +
=> x
2
+ xy + y
2

8xy≤ +
(2)
Nếu xy + 8 < 0=> (2)  (x + y)
2

≤
-8. Vơ nghiệm.
N ếu xy +8 > 0 => (2)  x
2

là bình
phương của một phân số.
Hướng dẫn giải
Giả sử
−
−
17
9
x
x
=
 
 ÷
 
2
a
b
Với a, b ngun, b khác 0 và
(a, b) = 1.
Nếu a = 0 => x = 17.
Nếu a khác 0. Ta có (a
2
, b
2
) = 1 => x – 17 = a
2
.k; x –
9 = b
2
.k (k ngun)

II. BÀI TẬP:
1. Tìm nghiệm ngun của phương trình:
a) 2x + 3y = 11
b) 3x + 5y = 10
2. Tìm tất cả các nghiệm ngun dương của
phương trình: 4x + 5y = 65
3. Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên một
số chia hết cho 7, một số chia hết cho 11.
4. Tìm số ngun dương bé nhất chia cho 100
dư 1, chia cho 98 dư 11.
5. Có 37 cây táo có số quả bằng nhau, 17 quả
hỏng, số còn lại chia đều cho 79 người.
Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả?
I. Tính chất cơ bản của BĐT :
a) a < b, b < c
⇒
a < c b) a < b
⇔
a +c < b+ c.
Bồi dưỡng học sinh THCS 4 GV: Lỡ Ngọc Sơn
Trường THPT An Lão Tổ: Tốn - Tin
c) a< b
⇔
a.c < b.c (với c > 0)
a< b
⇔
a.c > b.c (với c < 0)
d) a < b và c < d
⇒
a+c < b + d.

2 2
0 n
n n
a b a b
+
< < ⇔ < ∈ ¢
II. BĐT Cauchy: (Cơ–si)

a,b 0
2
a b
ab
+
≤ ∀ ≥
Đẳng thức
2
a b
ab
+
=
xảy ra khi và chỉ khi a = b.
a, b, c 0
3
+ +
≤ ∀ ≥
a b c
abc
Hệ quả:
1
a + 2

c) |a|-|b|
≤
|a+b|
≤
|a| + |b|.
II. BĐT Bunhinacơpxki
Cho a, b, x, y là các số thực, ta có:
≥++
))((
2222
yxba
(ax + by)
2
Đẳng thức xảy ra khi:
a b
x y
=
Tổng qt: Cho 2n số thực:
1 2 1 2
, ,.., ; , ,..,
n n
a a a b b b
Ta có:
1 1 2 2
| .. | + + + ≤
n n
a b a b a b

2 2 2 2 2 2
1 2 1 2

; a
2; …;
a
n..
Ta có:
1 2 1 2
a ... ...
a
n n
a a n a a a+ + + ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2
a ...
n
a a= = =
Bài 1:
Cho hai số dương a và b . Chứng minh : (a+b)(
b
1
a
1
+
) ≥ 4
Giải:
Vì a, b l hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:
(a+b) 2 ab
1 1 1
+ 2
a b ab
1 1 1

2. Cho x+2y = 2 , chứng minh x
2
+ y
2
≥
5
4
Bài 3
Cho ba số dương a, b, c.
Chứng minh rằng:
( )
1 1 1
9a b c
a b c
 
+ + + + ≥
 ÷
 
Bồi dưỡng học sinh THCS 5 GV: Lỡ Ngọc Sơn
Trường THPT An Lão Tổ: Tốn - Tin
Bài 4: Cho
3
ab+bc+ca
, , 0. C/m:
3
a b c abc≥ ≥
Bài 5: Cho a,b,c >0. C/m:
ab bc ca
a b c
c a b

2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a
++
≥
+
+
+
+
+
Bài 11: CM với mọi n ngun dương thì:
2
1
2
1
...
2
1
1
1
>++
+
+
+ nnn

2

≥
5.
Bài 15: Cho a, b là hai số thỏa mãn đi: a + 4b = 1.
CM: a
2
+ 4b
2

≥

5
1
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 16: CM:
3
1
2222
22222
<
++−
+++−
Bài 17: Chứng minh:
a)
≥++
))((
2222
yxba
(ax + by)

1
++++=
S
.
CMR: S khơng là số tự nhiên.
Bài 20: a) Cho x, y dương. CMR:
yxyx
+
≥+
411
.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
b) Tam giác ABC có chu vi
2
cba
P
++
=
.







++≥
−
+
−

2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Bài 23: CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì

9
111
≥






++
cba
.
Bài 24: CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca
≤
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)

211
≥
+
++
baba
Bài 29: CMR nếu:
a)
51
≤≤
a
thì
105413
≤−+−
aa
b) a + b
2;01;0
=+≥+≥
bab
thì
2211
≤+++
ba
Bài 30: Cho biểu thức
4 3 4 3
5 4 3 2
3 1
1 1
4

1

+
b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
< 2.
Bài 32: Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. CMR :
9
1
1
1
1
≥






+



1) Định nghĩa: Là số có dạng
2
,n n∈ ¢
.
2) Tính chất:
1. Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1
2. Nếu a=3k thì
( )
2
0 mod9a ≡
; Nếu
3a k
≠
thì
( )
2
1 mod3a ≡
3. Giữa các bình phương của hai số ngun liên tiếp khơng có số chính phương nào
4. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; khơng thể có chữ số tận cùng
bằng 2, 3, 7, 8
5. Nếu hiệu của hai số ngun bằng 2n thì tích của chúng thêm n
2
sẽ là số chính phương.
6. Nếu ab chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương.
HD: G/s ab= c
2
và gọi d=(a,c) suy ra a=a
1
d; c=c
1

thì a khơng là số chính
phương.
2. Khi phân tích ra thừa số ngun tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số ngun tố với số mũ chẵn.
3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Khơng có số chính phương nào có
dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n
∈
N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Khơng có số chính phương nào có
dạng 3n + 2 (n
∈
N).
5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. DẠNG1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số ngun x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4

= (x
2

= (x
2
+ 5xy + 5y
2)2

V ì x, y, z
∈
Z nên x
2

∈
Z, 5xy
∈
Z, 5y
2

∈
Z
⇒
x
2
+ 5xy + 5y
2

∈
Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 ln là số chính phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n
∈